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11. 质量为$60kg$的工人用如图甲所示的滑轮组运送货物上楼，滑轮组的机械效率随货物重力变化的图像如图乙所示，机械中摩擦力及绳重忽略不计。若工人在$1min$内将货物匀速向上提高了$6m$，作用在钢丝绳上的拉力为$400N$。求：
（1）拉力$F$的功率；
（2）动滑轮受到的重力；
（3）滑轮组对货物所做的有用功。
（1）拉力$F$的功率；
（2）动滑轮受到的重力；
（3）滑轮组对货物所做的有用功。
答案
【解析】：
### （1）求拉力$F$的功率
由图甲可知，$n = 3$，则绳端移动的距离$s=nh = 3\times6m = 18m$。
拉力做的总功$W_{总}=Fs = 400N\times18m = 7200J$。
拉力$F$的功率$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{7200J}{60s}=120W$。
### （2）求动滑轮受到的重力
由图乙可知，当$G = 300N$时，滑轮组的机械效率$\eta = 60\%$。
因为机械中摩擦力及绳重忽略不计，根据$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}=\frac{Gh}{Gh + G_{动}h}=\frac{G}{G + G_{动}}$，可得$60\%=\frac{300N}{300N + G_{动}}$。
解方程$0.6\times(300N + G_{动})=300N$，$180N + 0.6G_{动}=300N$，$0.6G_{动}=300N - 180N$，$G_{动}=200N$。
### （3）求滑轮组对货物所做的有用功
由$F=\frac{1}{n}(G + G_{动})$可得，此时货物的重力$G'=nF - G_{动}=3\times400N - 200N = 1000N$。
滑轮组对货物所做的有用功$W_{有}=G'h = 1000N\times6m = 6000J$。
【答案】：
（1）$120W$；
（2）$200N$；
（3）$6000J$。
### （1）求拉力$F$的功率
由图甲可知，$n = 3$，则绳端移动的距离$s=nh = 3\times6m = 18m$。
拉力做的总功$W_{总}=Fs = 400N\times18m = 7200J$。
拉力$F$的功率$P=\frac{W_{总}}{t}=\frac{7200J}{60s}=120W$。
### （2）求动滑轮受到的重力
由图乙可知，当$G = 300N$时，滑轮组的机械效率$\eta = 60\%$。
因为机械中摩擦力及绳重忽略不计，根据$\eta=\frac{W_{有}}{W_{总}}=\frac{Gh}{Gh + G_{动}h}=\frac{G}{G + G_{动}}$，可得$60\%=\frac{300N}{300N + G_{动}}$。
解方程$0.6\times(300N + G_{动})=300N$，$180N + 0.6G_{动}=300N$，$0.6G_{动}=300N - 180N$，$G_{动}=200N$。
### （3）求滑轮组对货物所做的有用功
由$F=\frac{1}{n}(G + G_{动})$可得，此时货物的重力$G'=nF - G_{动}=3\times400N - 200N = 1000N$。
滑轮组对货物所做的有用功$W_{有}=G'h = 1000N\times6m = 6000J$。
【答案】：
（1）$120W$；
（2）$200N$；
（3）$6000J$。
12.（2024 江苏常州）《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作。小艺在阅读时发现书中记录了一种在井上打水的工具“桔槔”，如图甲所示，“桔槔”应用了初中物理所学的杠杆知识。图乙是“桔槔”的简化模型图，通过在轻质“桔槔”上挂配重石块可以将井中的水桶打捞出来。其中$OB$长度为$1m$，$OA$长度为$3m$，木桶的重力为$10N$，容积为$20L$。某次打捞时将$100N$的石块悬挂在$C$点，石块恰能匀速提升装满水的木桶至图示位置，若过程中不考虑水溢出，（$\rho _{水}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}$，$g$取$10N/kg$）求：
（1）木桶中水的重力；
（2）$C$点距$A$点的距离；
（3）若将配重更换为$50N$的石块，在$A$端固定悬挂，提升装满水的木桶时，人向上拉桶时绳上的最小力。
（1）木桶中水的重力；
（2）$C$点距$A$点的距离；
（3）若将配重更换为$50N$的石块，在$A$端固定悬挂，提升装满水的木桶时，人向上拉桶时绳上的最小力。
答案
【解析】：
### （1）计算木桶中水的重力
已知木桶容积$V = 20L=20dm^{3}=0.02m^{3}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$和$G = mg$可得，水的重力$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}Vg$。
将$\rho _{水}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}$，$V = 0.02m^{3}$，$g = 10N/kg$代入，可得$G_{水}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times0.02m^{3}\times10N/kg = 200N$。
### （2）计算$C$点距$A$点的距离
木桶和水的总重力$G_{总}=G_{水}+G_{桶}=200N + 10N=210N$。
根据杠杆平衡条件$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$，设$OC$长度为$l_{1}$，$OB$长度$l_{2}=1m$，$F_{1}=100N$，$F_{2}=G_{总}=210N$，则$100N\times l_{1}=210N\times1m$，解得$l_{1}=2.1m$。
$C$点距$A$点的距离$l_{AC}=OA - OC=3m - 2.1m = 0.9m$。
### （3）计算人向上拉桶时绳上的最小力
设人向上拉桶时绳上的最小力为$F$，根据杠杆平衡条件$F_{石}l_{1}+F\times OA=G_{总}\times OB$，$F_{石}=50N$，$l_{1}=2.1m$，$OA = 3m$，$G_{总}=210N$，$OB = 1m$，则$50N\times2.1m+F\times3m=210N\times1m$。
$105N\cdot m+3F\cdot m = 210N\cdot m$，$3F\cdot m=210N\cdot m - 105N\cdot m$，$3F\cdot m = 105N\cdot m$，解得$F = 35N$。
【答案】：
（1）$\boldsymbol{200N}$
（2）$\boldsymbol{0.9m}$
（3）$\boldsymbol{35N}$
### （1）计算木桶中水的重力
已知木桶容积$V = 20L=20dm^{3}=0.02m^{3}$，根据$\rho=\frac{m}{V}$和$G = mg$可得，水的重力$G_{水}=m_{水}g=\rho_{水}Vg$。
将$\rho _{水}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}$，$V = 0.02m^{3}$，$g = 10N/kg$代入，可得$G_{水}=1.0\times 10^{3}kg/m^{3}\times0.02m^{3}\times10N/kg = 200N$。
### （2）计算$C$点距$A$点的距离
木桶和水的总重力$G_{总}=G_{水}+G_{桶}=200N + 10N=210N$。
根据杠杆平衡条件$F_{1}l_{1}=F_{2}l_{2}$，设$OC$长度为$l_{1}$，$OB$长度$l_{2}=1m$，$F_{1}=100N$，$F_{2}=G_{总}=210N$，则$100N\times l_{1}=210N\times1m$，解得$l_{1}=2.1m$。
$C$点距$A$点的距离$l_{AC}=OA - OC=3m - 2.1m = 0.9m$。
### （3）计算人向上拉桶时绳上的最小力
设人向上拉桶时绳上的最小力为$F$，根据杠杆平衡条件$F_{石}l_{1}+F\times OA=G_{总}\times OB$，$F_{石}=50N$，$l_{1}=2.1m$，$OA = 3m$，$G_{总}=210N$，$OB = 1m$，则$50N\times2.1m+F\times3m=210N\times1m$。
$105N\cdot m+3F\cdot m = 210N\cdot m$，$3F\cdot m=210N\cdot m - 105N\cdot m$，$3F\cdot m = 105N\cdot m$，解得$F = 35N$。
【答案】：
（1）$\boldsymbol{200N}$
（2）$\boldsymbol{0.9m}$
（3）$\boldsymbol{35N}$
