1. 下列条件中,能使菱形 ABCD 为正方形的是()
A. AB = AD
B. AB⊥BC
C. AC⊥BD
D. AC 平分∠BAD

B

2. 下列说法不正确的是()
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

B

3. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先把活动学具制作成图 3 - 1 - 3 - 2 - 2①所示的菱形,并测得∠B = 60°,接着把活动学具制作成图 3 - 1 - 3 - 2 - 2②所示的正方形,并测得正方形的对角线 AC = $\sqrt{2}$cm,则图 3 - 1 - 3 - 2 - 2①中对角线 AC 的长为______cm。

1

4. 如图 3 - 1 - 3 - 2 - 3,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 平分∠ACB,过点 D 分别作 DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为点 E,F。
(1) 证明：四边形 DECF 是正方形；
(2) 若 AC = 6cm,BC = 8cm,求四边形 DECF 的面积。

(1) 证明：$ ∵ DE ⊥ BC $，$ DF ⊥ AC $，$ ∠ACB = 90^{\circ} $，
$ ∴ ∠DFC = ∠FCE = ∠DEC = 90^{\circ} $，
$ ∴ $ 四边形 $ DECF $ 是矩形，
$ ∴ DF // EC $，
$ ∴ ∠FDC = ∠ECD $。
$ ∵ CD $ 平分 $ ∠ACB $，
$ ∴ ∠FCD = ∠ECD $，
$ ∴ ∠FDC = ∠FCD $，
$ ∴ DF = CF $，
$ ∴ $ 矩形 $ DECF $ 是正方形。
(2) 解：$ ∵ S_{△ABC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} $，
$ ∴ \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AC \cdot DF + \frac{1}{2}BC \cdot DE $。
$ ∵ DF = DE $，
$ ∴ DF = \frac{24}{7} $，
$ ∴ $ 四边形 $ DECF $ 的面积是 $ \frac{24}{7} × \frac{24}{7} = \frac{576}{49}(cm^{2}) $。