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探究1：正数、0和负数这三类数之间有什么大小关系？
探究2：两个负数，在数轴上对应点的位置和它们的绝对值有什么关系？
探究2：两个负数，在数轴上对应点的位置和它们的绝对值有什么关系？
答案
探究1：正数＞0＞负数。
探究2：负数的绝对值越大，在数轴上对应的点的位置越靠左。
探究2：负数的绝对值越大，在数轴上对应的点的位置越靠左。
解析
【分析】
解答本题可以结合数轴的性质思考：①对于探究1，回忆数轴上数的分布规律：所有有理数都可以用数轴上的点表示，且数轴上右侧的数始终大于左侧的数，再明确正数、0、负数在数轴上的位置，即可推导三者的大小关系；②对于探究2，先明确负数在数轴上都位于原点左侧，再结合绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离），即可推导两个负数的绝对值和对应点位置的关系。
【解析】
探究1：根据数轴的性质，数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大。正数在数轴上位于原点（表示0的点）的右侧，因此正数都大于0；负数在数轴上位于原点的左侧，因此负数都小于0，由此可得三类数的大小关系。
探究2：所有负数在数轴上的对应点都在原点左侧，负数的绝对值是它的对应点到原点的距离，因此负数的绝对值越大，说明它的对应点到原点的距离越远，在原点左侧距离原点越远的点，位置就越靠左。
【答案】
探究1：正数＞0＞负数。
探究2：负数的绝对值越大，在数轴上对应的点的位置越靠左。
【知识点】
数轴的性质；有理数大小比较；绝对值的意义
【点评】
本题是有理数相关概念的基础考查题，借助数形结合的方法能更直观地理解数的大小关系和绝对值的几何含义，掌握该知识点是后续学习有理数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
解答本题可以结合数轴的性质思考：①对于探究1，回忆数轴上数的分布规律：所有有理数都可以用数轴上的点表示，且数轴上右侧的数始终大于左侧的数，再明确正数、0、负数在数轴上的位置，即可推导三者的大小关系；②对于探究2，先明确负数在数轴上都位于原点左侧，再结合绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离），即可推导两个负数的绝对值和对应点位置的关系。
【解析】
探究1：根据数轴的性质，数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大。正数在数轴上位于原点（表示0的点）的右侧，因此正数都大于0；负数在数轴上位于原点的左侧，因此负数都小于0，由此可得三类数的大小关系。
探究2：所有负数在数轴上的对应点都在原点左侧，负数的绝对值是它的对应点到原点的距离，因此负数的绝对值越大，说明它的对应点到原点的距离越远，在原点左侧距离原点越远的点，位置就越靠左。
【答案】
探究1：正数＞0＞负数。
探究2：负数的绝对值越大，在数轴上对应的点的位置越靠左。
【知识点】
数轴的性质；有理数大小比较；绝对值的意义
【点评】
本题是有理数相关概念的基础考查题，借助数形结合的方法能更直观地理解数的大小关系和绝对值的几何含义，掌握该知识点是后续学习有理数运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
用“＞”或“＜”填空：
(1)2
(3)0
(5)-5
(1)2
＜
12；(2)2＞
-3；(3)0
＜
0.25；(4)-15＜
0；(5)-5
＞
-5.5.答案
(1) ＜ (2) ＞ (3) ＜ (4) ＜ (5) ＞
解析
【分析】
解决有理数大小比较的题目，首先要牢记核心判断规则：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两个正数比较大小，数值大的数更大；③两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。我们逐题对应规则判断即可：(1)两个正数直接比数值；(2)正数和负数比较，正数更大；(3)0和正数比较，正数更大；(4)负数和0比较，0更大；(5)两个负数比较，先算绝对值再按规则判断。
【解析】
根据有理数大小比较法则逐一分析：
(1)2和12均为正数，2的数值小于12，因此$2＜12$；
(2)2是正数，-3是负数，正数大于所有负数，因此$2＞-3$；
(3)0小于所有正数，0.25是正数，因此$0＜0.25$；
(4)所有负数都小于0，-15是负数，因此$-15＜0$；
(5)-5和-5.5均为负数，先求绝对值：$|-5|=5$，$|-5.5|=5.5$，因为$5＜5.5$，结合“两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则，可得$-5＞-5.5$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＞ (3) ＜ (4) ＜ (5) ＞
【知识点】
有理数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数大小比较的基础题型，主要考察对大小比较法则的记忆和应用能力，熟练掌握规则即可快速得分，是后续有理数相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
解决有理数大小比较的题目，首先要牢记核心判断规则：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两个正数比较大小，数值大的数更大；③两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。我们逐题对应规则判断即可：(1)两个正数直接比数值；(2)正数和负数比较，正数更大；(3)0和正数比较，正数更大；(4)负数和0比较，0更大；(5)两个负数比较，先算绝对值再按规则判断。
【解析】
根据有理数大小比较法则逐一分析：
(1)2和12均为正数，2的数值小于12，因此$2＜12$；
(2)2是正数，-3是负数，正数大于所有负数，因此$2＞-3$；
(3)0小于所有正数，0.25是正数，因此$0＜0.25$；
(4)所有负数都小于0，-15是负数，因此$-15＜0$；
(5)-5和-5.5均为负数，先求绝对值：$|-5|=5$，$|-5.5|=5.5$，因为$5＜5.5$，结合“两个负数比较，绝对值大的反而小”的规则，可得$-5＞-5.5$。
【答案】
(1) ＜ (2) ＞ (3) ＜ (4) ＜ (5) ＞
【知识点】
有理数大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数大小比较的基础题型，主要考察对大小比较法则的记忆和应用能力，熟练掌握规则即可快速得分，是后续有理数相关运算的基础。
【难度系数】
0.9
例 比较下列各组数的大小：
(1)$-(-2)$和$-(+3)$；
(2)$-\dfrac{8}{21}$和$-\dfrac{3}{7}$；
(3)$-(-0.3)$和$\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
(1)$-(-2)$和$-(+3)$；
(2)$-\dfrac{8}{21}$和$-\dfrac{3}{7}$；
(3)$-(-0.3)$和$\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
答案
(1) $-(-2)=2$，$-(+3)=-3$。
因为正数大于负数，
所以$2＞-3$，即$-(-2)＞-(+3)$。
(2) $\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{21}$。
因为$\dfrac{8}{21}＜\dfrac{9}{21}$，即$\left|-\dfrac{8}{21}\right|＜\left|-\dfrac{3}{7}\right|$，
所以$-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$。
(3) $-(-0.3)=0.3$，$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$。
$0.3＜\dfrac{1}{3}$，即$-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
因为正数大于负数，
所以$2＞-3$，即$-(-2)＞-(+3)$。
(2) $\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{21}$。
因为$\dfrac{8}{21}＜\dfrac{9}{21}$，即$\left|-\dfrac{8}{21}\right|＜\left|-\dfrac{3}{7}\right|$，
所以$-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$。
(3) $-(-0.3)=0.3$，$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$。
$0.3＜\dfrac{1}{3}$，即$-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
解析
【分析】
比较有理数大小的通用思路是先将待比较的数化简（去除多重符号、计算绝对值），再根据数的类型选择对应比较规则：①正数大于一切负数；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；③两个正数比较大小，直接对比数值即可。针对本题三组数分别思考：
(1)先化简两个含多重符号的数，得到一正一负，直接用正数大于负数判断即可；
(2)两个数都是负数，先计算各自的绝对值，通分后比较绝对值大小，再按负数比较规则判断；
(3)先分别化简两个数，得到两个正数，直接比较数值大小即可。
【解析】
(1) 先化简两个数：$-(-2)=2$，$-(+3)=-3$。
因为正数大于负数，
所以$2＞-3$，即$-(-2)＞-(+3)$。
(2) 先计算两个负数的绝对值：$\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{21}$。
因为$\dfrac{8}{21}＜\dfrac{9}{21}$，即$\left|-\dfrac{8}{21}\right|＜\left|-\dfrac{3}{7}\right|$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$。
(3) 先化简两个数：$-(-0.3)=0.3$，$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$。
因为$0.3＜\dfrac{1}{3}$，所以$-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
【答案】
(1) $-(-2)＞-(+3)$
(2) $-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$
(3) $-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$
【知识点】
多重符号化简，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，重点考察基础规则的应用，解题时要先把数化简到最简形式再比较，需要注意两个负数比较的规则容易混淆，牢记“绝对值大的负数反而更小”的规律即可避免出错。
【难度系数】
0.8
比较有理数大小的通用思路是先将待比较的数化简（去除多重符号、计算绝对值），再根据数的类型选择对应比较规则：①正数大于一切负数；②两个负数比较大小，绝对值大的反而小；③两个正数比较大小，直接对比数值即可。针对本题三组数分别思考：
(1)先化简两个含多重符号的数，得到一正一负，直接用正数大于负数判断即可；
(2)两个数都是负数，先计算各自的绝对值，通分后比较绝对值大小，再按负数比较规则判断；
(3)先分别化简两个数，得到两个正数，直接比较数值大小即可。
【解析】
(1) 先化简两个数：$-(-2)=2$，$-(+3)=-3$。
因为正数大于负数，
所以$2＞-3$，即$-(-2)＞-(+3)$。
(2) 先计算两个负数的绝对值：$\left|-\dfrac{8}{21}\right|=\dfrac{8}{21}$，$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{21}$。
因为$\dfrac{8}{21}＜\dfrac{9}{21}$，即$\left|-\dfrac{8}{21}\right|＜\left|-\dfrac{3}{7}\right|$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得$-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$。
(3) 先化简两个数：$-(-0.3)=0.3$，$\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$。
因为$0.3＜\dfrac{1}{3}$，所以$-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$。
【答案】
(1) $-(-2)＞-(+3)$
(2) $-\dfrac{8}{21}＞-\dfrac{3}{7}$
(3) $-(-0.3)＜\left|-\dfrac{1}{3}\right|$
【知识点】
多重符号化简，绝对值的性质，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的基础题型，重点考察基础规则的应用，解题时要先把数化简到最简形式再比较，需要注意两个负数比较的规则容易混淆，牢记“绝对值大的负数反而更小”的规律即可避免出错。
【难度系数】
0.8
1. 比较下列各组数的大小：
(1) $-3\frac{1}{2}$和$-2\frac{1}{3}$；
(2) $-\frac{3}{4}$和$-\frac{4}{5}$；
(3) $-(-\frac{3}{4})$和$-[+(-0.75)]$。
(1) $-3\frac{1}{2}$和$-2\frac{1}{3}$；
(2) $-\frac{3}{4}$和$-\frac{4}{5}$；
(3) $-(-\frac{3}{4})$和$-[+(-0.75)]$。
答案
1. (1) $-3\frac{1}{2}＜-2\frac{1}{3}$
(2) $-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
(2) $-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
解析
【分析】
比较有理数大小的核心思路：1. 两个负数比较大小，先计算各自的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”判断原数的大小关系；2. 含多重符号的数比较大小，先根据“负号个数为偶数时结果为正，负号个数为奇数时结果为负”的规则化简各数，再比较化简后的值即可。
本题3个小题中，(1)(2)属于两个负数比较大小，按负数比较规则计算即可；(3)先化简多重符号，再直接比较数值。
【解析】
(1) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-3\frac{1}{2}\right|=3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}=\frac{21}{6}$，$\left|-2\frac{1}{3}\right|=2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}=\frac{14}{6}$
∵ $\frac{21}{6}＞\frac{14}{6}$，即$\left|-3\frac{1}{2}\right|＞\left|-2\frac{1}{3}\right|$
根据两个负数比较大小的规则，绝对值大的数反而小，可得：$-3\frac{1}{2}＜-2\frac{1}{3}$
(2) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{16}{20}$
∵ $\frac{15}{20}＜\frac{16}{20}$，即$\left|-\frac{3}{4}\right|＜\left|-\frac{4}{5}\right|$
根据两个负数比较大小的规则，可得：$-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) 先分别化简两个多重符号的数：
$-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}=0.75$
$-[+(-0.75)]=-(-0.75)=0.75$
∵ $0.75=0.75$
∴ $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
【答案】
(1) $-3\frac{1}{2}＜-2\frac{1}{3}$
(2) $-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数比较大小的基础题型，重点考查负数比较规则和多重符号化简方法，解题时注意通分计算要准确，牢记相关基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
比较有理数大小的核心思路：1. 两个负数比较大小，先计算各自的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”判断原数的大小关系；2. 含多重符号的数比较大小，先根据“负号个数为偶数时结果为正，负号个数为奇数时结果为负”的规则化简各数，再比较化简后的值即可。
本题3个小题中，(1)(2)属于两个负数比较大小，按负数比较规则计算即可；(3)先化简多重符号，再直接比较数值。
【解析】
(1) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-3\frac{1}{2}\right|=3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}=\frac{21}{6}$，$\left|-2\frac{1}{3}\right|=2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}=\frac{14}{6}$
∵ $\frac{21}{6}＞\frac{14}{6}$，即$\left|-3\frac{1}{2}\right|＞\left|-2\frac{1}{3}\right|$
根据两个负数比较大小的规则，绝对值大的数反而小，可得：$-3\frac{1}{2}＜-2\frac{1}{3}$
(2) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$，$\left|-\frac{4}{5}\right|=\frac{4}{5}=\frac{16}{20}$
∵ $\frac{15}{20}＜\frac{16}{20}$，即$\left|-\frac{3}{4}\right|＜\left|-\frac{4}{5}\right|$
根据两个负数比较大小的规则，可得：$-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) 先分别化简两个多重符号的数：
$-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}=0.75$
$-[+(-0.75)]=-(-0.75)=0.75$
∵ $0.75=0.75$
∴ $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
【答案】
(1) $-3\frac{1}{2}＜-2\frac{1}{3}$
(2) $-\frac{3}{4}＞-\frac{4}{5}$
(3) $-(-\frac{3}{4})=-[+(-0.75)]$
【知识点】
有理数大小比较，绝对值的性质，多重符号化简
【点评】
本题是有理数比较大小的基础题型，重点考查负数比较规则和多重符号化简方法，解题时注意通分计算要准确，牢记相关基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 某一天，哈尔滨、德州、杭州、金华四个城市的最低气温分别是$-20\ °\mathrm{C}$，$-10\ °\mathrm{C}$，$0\ °\mathrm{C}$，$2\ °\mathrm{C}$，其中最低气温最低的是哪里？
答案
哈尔滨
解析
【分析】
这道题考查有理数大小比较在实际温度问题中的应用。解题时先回忆有理数大小比较的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时，绝对值大的数反而更小。我们只需要把四个城市的最低气温按从小到大的顺序排列，找到最小温度对应的城市即可得到答案。
【解析】
根据有理数大小比较的法则解题：
1. 分类判断四个气温的属性：$2\ °\mathrm{C}$是正数，$0\ °\mathrm{C}$既不是正数也不是负数，$-10\ °\mathrm{C}$、$-20\ °\mathrm{C}$是负数；
2. 比较两个负数的大小：先计算绝对值，$\vert -20\vert=20$，$\vert -10\vert=10$，因为$20＞10$，所以$-20 ＜ -10$；
3. 对四个温度整体排序可得：$-20\ °\mathrm{C} ＜ -10\ °\mathrm{C} ＜ 0\ °\mathrm{C} ＜ 2\ °\mathrm{C}$；
4. 最小的气温是$-20\ °\mathrm{C}$，对应的城市为哈尔滨。
【答案】
哈尔滨
【知识点】
有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的气温场景考查有理数的大小比较规则，属于基础题，熟练掌握有理数大小比较的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数大小比较在实际温度问题中的应用。解题时先回忆有理数大小比较的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时，绝对值大的数反而更小。我们只需要把四个城市的最低气温按从小到大的顺序排列，找到最小温度对应的城市即可得到答案。
【解析】
根据有理数大小比较的法则解题：
1. 分类判断四个气温的属性：$2\ °\mathrm{C}$是正数，$0\ °\mathrm{C}$既不是正数也不是负数，$-10\ °\mathrm{C}$、$-20\ °\mathrm{C}$是负数；
2. 比较两个负数的大小：先计算绝对值，$\vert -20\vert=20$，$\vert -10\vert=10$，因为$20＞10$，所以$-20 ＜ -10$；
3. 对四个温度整体排序可得：$-20\ °\mathrm{C} ＜ -10\ °\mathrm{C} ＜ 0\ °\mathrm{C} ＜ 2\ °\mathrm{C}$；
4. 最小的气温是$-20\ °\mathrm{C}$，对应的城市为哈尔滨。
【答案】
哈尔滨
【知识点】
有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的气温场景考查有理数的大小比较规则，属于基础题，熟练掌握有理数大小比较的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
请根据本课所学，构建知识体系。
答案
小于 ＞ ＞ 反而小
解析
【分析】
解决这道题需要回忆有理数大小比较的相关基础结论：首先回忆数轴的性质，数轴的正方向向右，沿正方向数逐渐增大，因此可以得到数轴上左右两侧数的大小关系；再回忆有理数大小比较的基本法则，明确正数、0、负数的大小顺序，以及两个负数比较大小的特殊规则，逐空填写即可。
【解析】
1. 数轴上的数沿向右的正方向逐渐增大，因此左边的数小于右边的数，第一个空填“小于”；
2. 有理数大小比较的基本规则：正数都大于0，0都大于负数，因此(1)的两个空依次填“＞”“＞”；
3. 两个负数比较大小时，绝对值大的数距离原点更远，且在数轴更左侧，因此数值更小，即绝对值大的反而小，(2)的空填“反而小”。
【答案】
小于 ＞ ＞ 反而小
【知识点】
数轴的性质、有理数大小比较法则
【点评】
本题考察有理数大小比较的基础识记内容，是有理数相关知识的基础核心考点，熟练记忆相关结论即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要回忆有理数大小比较的相关基础结论：首先回忆数轴的性质，数轴的正方向向右，沿正方向数逐渐增大，因此可以得到数轴上左右两侧数的大小关系；再回忆有理数大小比较的基本法则，明确正数、0、负数的大小顺序，以及两个负数比较大小的特殊规则，逐空填写即可。
【解析】
1. 数轴上的数沿向右的正方向逐渐增大，因此左边的数小于右边的数，第一个空填“小于”；
2. 有理数大小比较的基本规则：正数都大于0，0都大于负数，因此(1)的两个空依次填“＞”“＞”；
3. 两个负数比较大小时，绝对值大的数距离原点更远，且在数轴更左侧，因此数值更小，即绝对值大的反而小，(2)的空填“反而小”。
【答案】
小于 ＞ ＞ 反而小
【知识点】
数轴的性质、有理数大小比较法则
【点评】
本题考察有理数大小比较的基础识记内容，是有理数相关知识的基础核心考点，熟练记忆相关结论即可快速完成作答。
【难度系数】
0.9
