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基础知识·预习
问题1 说一说线段的垂直平分线的两个性质，这两个命题有什么特点？
问题2 举例说明什么是互逆命题与互逆定理。
问题1 说一说线段的垂直平分线的两个性质，这两个命题有什么特点？
问题2 举例说明什么是互逆命题与互逆定理。
答案
解：
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关性质，再拆分两个性质命题的题设和结论做对比，即可得出二者的特点；解答问题2时，先明确互逆命题、互逆定理的核心定义，注意互逆定理要求逆命题经过证明为真命题，再结合学过的常见命题、定理举例即可。思考步骤：1. 回顾线段垂直平分线的两个性质内容；2. 对比两个性质的题设、结论，总结特征；3. 回忆互逆命题、互逆定理的概念，梳理二者的区别；4. 选取符合要求的常见例子完成作答。
【解析】
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
【答案】
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、互逆命题、互逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对几何基础定义的理解与识记，熟练掌握相关概念是解题的关键，相关内容也是后续几何证明中推导位置、数量关系的重要依据。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的相关性质，再拆分两个性质命题的题设和结论做对比，即可得出二者的特点；解答问题2时，先明确互逆命题、互逆定理的核心定义，注意互逆定理要求逆命题经过证明为真命题，再结合学过的常见命题、定理举例即可。思考步骤：1. 回顾线段垂直平分线的两个性质内容；2. 对比两个性质的题设、结论，总结特征；3. 回忆互逆命题、互逆定理的概念，梳理二者的区别；4. 选取符合要求的常见例子完成作答。
【解析】
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
【答案】
问题1
线段垂直平分线的两个性质：
① 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
② 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
两个命题的特点：两个命题的题设和结论恰好互换，第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设。
问题2
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个就是它的逆命题。
举例：命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，和命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，二者是互逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它本身也成为一个定理，这两个定理互为互逆定理。
举例：线段垂直平分线的性质定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，和它的逆定理“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，二者就是互逆定理。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、互逆命题、互逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对几何基础定义的理解与识记，熟练掌握相关概念是解题的关键，相关内容也是后续几何证明中推导位置、数量关系的重要依据。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】如图，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，$PC ⊥ PA$，$PD ⊥ PB$，$AC=BD$.求证:点 P在线段 CD 的垂直平分线上.
思路导引 要证明点 P 在线段 CD 的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，只需证明 $PD=PC$.利用线段垂直平分线的性质提供条件，通过证明 $\mathrm{Rt}△ APC$ 与 $\mathrm{Rt}△ BPD$ 全等，得到所需条件.
【证明】因为点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 $PA=PB$.因为 $PC ⊥ PA$，$PD ⊥ PB$，所以 $∠ APC=∠ BPD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ APC$和$\mathrm{Rt}△ BPD$中，$\begin{cases} AC=BD, \\ PA=PB, \end{cases}$所以 $\mathrm{Rt}△ APC ≌ \mathrm{Rt}△ BPD (\mathrm{HL})$，所以 $PC=PD$，所以点 P 在线段 CD 的垂直平分线上.
规律方法 1. 线段垂直平分线的性质与全等三角形的性质都是证明两条线段相等的重要依据.当要证相等的两条线段能在同一个三角形中时，不妨考虑线段垂直平分线的性质.
2. 线段垂直平分线的性质可以证明一个点在一条直线上，进而也可为证明直线的垂直关系提供依据.
思路导引 要证明点 P 在线段 CD 的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，只需证明 $PD=PC$.利用线段垂直平分线的性质提供条件，通过证明 $\mathrm{Rt}△ APC$ 与 $\mathrm{Rt}△ BPD$ 全等，得到所需条件.
【证明】因为点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，所以 $PA=PB$.因为 $PC ⊥ PA$，$PD ⊥ PB$，所以 $∠ APC=∠ BPD=90°$.在$\mathrm{Rt}△ APC$和$\mathrm{Rt}△ BPD$中，$\begin{cases} AC=BD, \\ PA=PB, \end{cases}$所以 $\mathrm{Rt}△ APC ≌ \mathrm{Rt}△ BPD (\mathrm{HL})$，所以 $PC=PD$，所以点 P 在线段 CD 的垂直平分线上.
规律方法 1. 线段垂直平分线的性质与全等三角形的性质都是证明两条线段相等的重要依据.当要证相等的两条线段能在同一个三角形中时，不妨考虑线段垂直平分线的性质.
2. 线段垂直平分线的性质可以证明一个点在一条直线上，进而也可为证明直线的垂直关系提供依据.
答案
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
解析
【分析】
要证明点P在线段CD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明点P到C、D的距离相等，即PC=PD。首先利用线段垂直平分线的性质，由点P在AB的垂直平分线上可得PA=PB；再结合已知的垂直条件可知△APC和△BPD都是直角三角形，且已知AC=BD，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得到PC=PD，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【答案】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 直角三角形全等的判定（HL）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识与全等三角形的综合基础题，解题核心是将“点在垂直平分线上”的证明转化为“点到线段两端点距离相等”的证明，再结合已知条件寻找全等三角形的判定依据即可求解，有助于强化对线段垂直平分线相关定理的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要证明点P在线段CD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明点P到C、D的距离相等，即PC=PD。首先利用线段垂直平分线的性质，由点P在AB的垂直平分线上可得PA=PB；再结合已知的垂直条件可知△APC和△BPD都是直角三角形，且已知AC=BD，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得到PC=PD，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【答案】
证明：
∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA = PB。
∵ PC⊥PA，PD⊥PB，
∴ ∠APC = ∠BPD = 90°。
在Rt△APC和Rt△BPD中，
$\begin{cases}AC = BD \\PA = PB\end{cases}$
∴ Rt△APC ≌ Rt△BPD（HL），
∴ PC = PD，
∴ 点P在线段CD的垂直平分线上。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质与判定
2. 直角三角形全等的判定（HL）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识与全等三角形的综合基础题，解题核心是将“点在垂直平分线上”的证明转化为“点到线段两端点距离相等”的证明，再结合已知条件寻找全等三角形的判定依据即可求解，有助于强化对线段垂直平分线相关定理的理解和应用。
【难度系数】
0.8
