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基础知识·预习
问题1 画二次函数图象的基本步骤有哪些？
问题2 二次函数的图象形状像什么？它是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴和顶点吗？
问题3 二次函数 $y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小是由什么决定的？
问题4 通过观察二次函数 $y=ax^2(a≠0)$的图象，你能总结y随x的变化情况吗？
问题1 画二次函数图象的基本步骤有哪些？
问题2 二次函数的图象形状像什么？它是轴对称图形吗？你能找到它的对称轴和顶点吗？
问题3 二次函数 $y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向、大小是由什么决定的？
问题4 通过观察二次函数 $y=ax^2(a≠0)$的图象，你能总结y随x的变化情况吗？
答案
解：
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2
二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；
它是轴对称图形；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向由系数$a$的符号决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；
开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2
二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；
它是轴对称图形；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向由系数$a$的符号决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；
开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
解析
【分析】
这组问题是二次函数$y=ax^2$图象与性质的基础预习内容，解题时可结合函数图象绘制的通用思路、二次函数的基本特征逐一思考：1. 回忆函数图象绘制的通用三步法，结合二次函数的对称性调整列表的取值即可；2. 结合生活中抛体运动的轨迹联想二次函数图象形状，再根据轴对称图形的定义判断对称性，结合$y=ax^2$的坐标特征找对称轴和顶点；3. 通过对比不同$a$值对应的图象差异，总结$a$的符号、绝对值对开口的影响；4. 分$a＞0$和$a＜0$两种情况，结合图象左右两部分的升降趋势总结$y$随$x$的变化规律。
【解析】
我们逐题解答如下：
问题1：画二次函数图象遵循三步操作：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2：二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；它是轴对称图形；二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的开口特征由系数$a$决定：开口方向由$a$的符号决定，当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4：分两类情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【答案】
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2
二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；
它是轴对称图形；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向由系数$a$的符号决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；
开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【知识点】
1. 二次函数图象画法
2. 抛物线基本特征
3. 二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本组题目是二次函数图象与性质的基础入门内容，是后续学习更复杂二次函数的核心铺垫，熟练掌握这些基础结论能为二次函数的综合应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
这组问题是二次函数$y=ax^2$图象与性质的基础预习内容，解题时可结合函数图象绘制的通用思路、二次函数的基本特征逐一思考：1. 回忆函数图象绘制的通用三步法，结合二次函数的对称性调整列表的取值即可；2. 结合生活中抛体运动的轨迹联想二次函数图象形状，再根据轴对称图形的定义判断对称性，结合$y=ax^2$的坐标特征找对称轴和顶点；3. 通过对比不同$a$值对应的图象差异，总结$a$的符号、绝对值对开口的影响；4. 分$a＞0$和$a＜0$两种情况，结合图象左右两部分的升降趋势总结$y$随$x$的变化规律。
【解析】
我们逐题解答如下：
问题1：画二次函数图象遵循三步操作：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2：二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；它是轴对称图形；二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的开口特征由系数$a$决定：开口方向由$a$的符号决定，当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4：分两类情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【答案】
问题1
画二次函数图象的基本步骤为：
① 列表：在自变量$x$的允许取值范围内选取若干组对称的自变量值，计算出对应的函数值，列出对应值表格；
② 描点：以表格中每组$(x,y)$为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序依次连接所有描出的点，得到二次函数的图象。
问题2
二次函数的图象形状类似抛射物体在空中运动的轨迹，这类图象叫做抛物线；
它是轴对称图形；
二次函数$y=ax^2(a≠0)$的对称轴是$y$轴（即直线$x=0$），顶点是坐标原点$(0,0)$。
问题3
二次函数$y=ax^2(a≠0)$图象的开口方向由系数$a$的符号决定：当$a＞0$时开口向上，当$a＜0$时开口向下；
开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，抛物线的开口越小，$|a|$越小，抛物线的开口越大。
问题4
分两种情况总结$y$随$x$的变化规律：
1. 当$a＞0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大，$x=0$时函数取得最小值$0$。
2. 当$a＜0$时：
在对称轴左侧（即$x＜0$时），$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴右侧（即$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小，$x=0$时函数取得最大值$0$。
【知识点】
1. 二次函数图象画法
2. 抛物线基本特征
3. 二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本组题目是二次函数图象与性质的基础入门内容，是后续学习更复杂二次函数的核心铺垫，熟练掌握这些基础结论能为二次函数的综合应用打下坚实基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题 1】在同一平面直角坐标系中画出函数 $y=-\frac{1}{3}x^2$ 和 $y=3x^2$ 的图象.
思路导引 在这两个二次函数中，当$x=0$时，$y$的值都等于0，所以在列表取$x$的值时应在$y$轴的左、右两侧对称取值，先列表，再描点、连线.
【解】列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线（平滑曲线）.
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
思路导引 在这两个二次函数中，当$x=0$时，$y$的值都等于0，所以在列表取$x$的值时应在$y$轴的左、右两侧对称取值，先列表，再描点、连线.
【解】列表如下：
描点、连线，画图如下：
规律方法 1. 画二次函数图象的基本步骤：列表、描点、连线（平滑曲线）.
2. 在列表取值时，一般取5～10组数据为点的坐标，描的点越多，图象就越精确.
答案
解：
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
在同一平面直角坐标系中，分别将上述两个表格里的各组$x,y$对应值作为点的坐标描出，再分别用平滑的曲线顺次连接两组点，即可得到函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$的图象。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
在同一平面直角坐标系中，分别将上述两个表格里的各组$x,y$对应值作为点的坐标描出，再分别用平滑的曲线顺次连接两组点，即可得到函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$的图象。
解析
【分析】
要画二次函数的图象，需遵循描点法画图象的基本步骤：列表、描点、连线。首先观察两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴为y轴，顶点在原点，因此列表时x要在0的两侧对称取值，既方便计算对应y值，也符合图象的对称性特征。对于$y=-\frac{1}{3}x^2$，a的绝对值较小、开口较宽，可选取x为-3到3的整数，计算出的y值大小合适，方便描点；对于$y=3x^2$，a的绝对值较大、开口较窄，若x取较大整数会导致y值过大，因此选取x为$-\frac{3}{2}$到$\frac{3}{2}$之间的数，得到的y值大小适中。列完表后将对应坐标描在坐标系中，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到两个函数的图象。
【解析】
第一步：分别对两个函数列表取值：
1. 函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的对应值表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
2. 函数$y=3x^2$的对应值表：
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
第二步：描点，在同一平面直角坐标系中，将两个表格的$(x,y)$对应值作为点的坐标逐一描出。
第三步：连线，分别用平滑的曲线顺次连接两组点，即可得到两个函数的图象。
【答案】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
在同一平面直角坐标系中描出上述对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即得$y=-\frac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$的图象。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2$的对称性
3. 二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法画图象的步骤，以及结合二次函数开口特征合理选取自变量取值的能力，掌握本题的方法可为后续学习复杂二次函数的图象与性质打好基础。
【难度系数】
0.85
要画二次函数的图象，需遵循描点法画图象的基本步骤：列表、描点、连线。首先观察两个函数均为$y=ax^2$的形式，对称轴为y轴，顶点在原点，因此列表时x要在0的两侧对称取值，既方便计算对应y值，也符合图象的对称性特征。对于$y=-\frac{1}{3}x^2$，a的绝对值较小、开口较宽，可选取x为-3到3的整数，计算出的y值大小合适，方便描点；对于$y=3x^2$，a的绝对值较大、开口较窄，若x取较大整数会导致y值过大，因此选取x为$-\frac{3}{2}$到$\frac{3}{2}$之间的数，得到的y值大小适中。列完表后将对应坐标描在坐标系中，最后用平滑曲线顺次连接各点即可得到两个函数的图象。
【解析】
第一步：分别对两个函数列表取值：
1. 函数$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的对应值表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
2. 函数$y=3x^2$的对应值表：
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
第二步：描点，在同一平面直角坐标系中，将两个表格的$(x,y)$对应值作为点的坐标逐一描出。
第三步：连线，分别用平滑的曲线顺次连接两组点，即可得到两个函数的图象。
【答案】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=-\dfrac{1}{3}x^2$ | $\dots$ | $-3$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{3}$ | $-\dfrac{4}{3}$ | $-3$ | $\dots$ |
| $x$ | $\dots$ | $-\dfrac{3}{2}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $1$ | $\dfrac{3}{2}$ | $\dots$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y=3x^2$ | $\dots$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $\dfrac{3}{4}$ | $0$ | $\dfrac{3}{4}$ | $3$ | $6\dfrac{3}{4}$ | $\dots$ |
在同一平面直角坐标系中描出上述对应点，用平滑曲线顺次连接各点，即得$y=-\frac{1}{3}x^2$和$y=3x^2$的图象。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2$的对称性
3. 二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象绘制的基础题型，核心考查描点法画图象的步骤，以及结合二次函数开口特征合理选取自变量取值的能力，掌握本题的方法可为后续学习复杂二次函数的图象与性质打好基础。
【难度系数】
0.85
