9. 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A的坐标为(2,1)。

(1)写出点B,C的坐标:B , C 。
(2)求△ABC的面积。

(1)$(-1,3)$，$(-3,2)$
(2)$S_{△ ABC}=2×5-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×1×5=\frac{7}{2}$。

【分析】
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标为点对应x轴的数值（x轴正方向为正，负方向为负），纵坐标为点对应y轴的数值（y轴正方向为正，负方向为负），直接读取B、C两点的坐标即可。
(2) 网格中不规则三角形的面积适合用割补法计算：先将三角形框在最小的矩形内，先计算矩形的面积，再减去矩形内三角形周围多余的3个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系：点B在x轴负方向距离y轴1个单位，y轴正方向距离x轴3个单位，坐标为$(-1,3)$；点C在x轴负方向距离y轴3个单位，y轴正方向距离x轴2个单位，坐标为$(-3,2)$。
(2) 用割补法计算面积：
构造包围△ABC的最小矩形，该矩形水平长度为$2-(-3)=5$，竖直高度为$3-1=2$，矩形面积为$2×5=10$。
矩形内3个多余直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×1×2=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×1×5=2.5$。
因此$S_{△ ABC}=10-1-3-2.5=\frac{7}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,3)}$，$\boldsymbol{(-3,2)}$
(2) $\boldsymbol{\frac{7}{2}}$
【知识点】
点的坐标识别；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系下的基础题型，重点考察格点坐标的读取和不规则图形面积的求解方法，割补法是解决格点多边形面积问题的核心方法，熟练掌握该方法可快速处理同类不规则图形面积计算问题。
【难度系数】
0.8

10. 已知平面直角坐标系中有一点$M(2m+1, m+3)$。
(1)若点$M$在第一象限，且点$M$到$x$轴的距离是到$y$轴距离的2倍，求$m$的值。
(2)若点$N$的坐标为$(2,1)$，且$MN// x$轴，求点$M$的坐标。

(1)因为点$M$在第一象限,且点$M$到$x$轴的距离是到$y$轴距离的2倍,
所以$2(2m+1)=m+3$,所以$m=\frac{1}{3}$。
(2)因为$MN// x$轴,所以$M,N$两点的纵坐标相等,所以$m+3=1$,所以$m=-2$,
所以点$M$的坐标为$(-3,1)$。

【分析】
(1) 首先回忆第一象限点的坐标特征：横、纵坐标均为正数；再明确点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值。结合题目给出的距离倍数关系，即可列出关于m的一元一次方程，求解后验证符合第一象限的要求即可得到结果。
(2) 回忆平行于x轴的直线上点的坐标特征：所有点的纵坐标相等。因此点M的纵坐标与点N的纵坐标相等，据此列方程求出m的值，再代入点M的横坐标表达式计算，即可得到点M的坐标。
【解析】
(1) 因为点$M(2m+1, m+3)$在第一象限，所以其横、纵坐标均为正数，点$M$到$x$轴的距离为$m+3$，到$y$轴的距离为$2m+1$。
根据题意“点$M$到$x$轴的距离是到$y$轴距离的2倍”，可列方程：
$2(2m+1)=m+3$
展开得：$4m+2=m+3$
移项合并同类项得：$3m=1$
解得：$m=\frac{1}{3}$
此时$2m+1=\frac{5}{3}＞0$，$m+3=\frac{10}{3}＞0$，符合第一象限要求。
(2) 因为$MN// x$轴，所以点$M$和点$N$的纵坐标相等。
已知$N(2,1)$，因此可列方程：
$m+3=1$
解得：$m=-2$
将$m=-2$代入$2m+1$得横坐标为$2×(-2)+1=-3$，纵坐标为$1$，且$-3≠2$，两点不重合，符合平行要求。
【答案】
(1)$m=\frac{1}{3}$；(2)点$M$的坐标为$(-3,1)$
【知识点】
象限内点的坐标特征；点到坐标轴的距离；平行于x轴的点坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，核心考查坐标性质与方程思想的结合，解题关键是熟记不同位置点的坐标规律，根据等量关系列方程求解即可，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8

11.提升题 如图,在平面直角坐标系中,AB⊥x轴,垂足为A,BC⊥y轴,垂足为C。已知$A(a,0),C(0,c)$,其中$a,c$满足$(a-6)^2 + \sqrt{c+8}=0$。点P从点O出发,沿$O→A→B→C$的方向运动到点C停止,运动速度为每秒2个单位长度。设点P的运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
(1)在运动过程中,当点P到AB的距离为2个单位长度时,求点P运动的时间。
(2)在点P的运动过程中,用含$t$的代数式表示点P的坐标。

(1)因为$(a-6)^2+\sqrt{c+8}=0$,
所以$a-6=0,c+8=0$,
所以$a=6,c=-8$,
所以$A(6,0),C(0,-8)$,
所以$AO=BC=6,AB=OC=8$。
①点$P$在$AO$上,当点$P$到$AB$的距离为2个单位长度时,$AP=2$,所以$OP=6-2=4$,所以$2t=4$,所以$t=2$;
②点$P$在$BC$上,当点$P$到$AB$的距离为2个单位长度时,$BP=2$,所以$AO+AB+BP=6+8+2=16$,所以$2t=16$,所以$t=8$。
综上所述,当点$P$到$AB$的距离为2个单位长度时,点$P$运动的时间为$2\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$。
(2)①当$0≤ t≤3$时,$P(2t,0)$;
②当$3＜ t≤7$时,$P(6,6-2t)$;
③当$7＜ t≤10$时,$P(20-2t,-8)$。

【分析】
首先根据非负数的性质，偶次幂和算术平方根均为非负数，两者和为0则各自为0，求出a、c的值，得到矩形OABC的各边长。第一问求点P到AB距离为2的运动时间，需分点P在OA上、点P在BC上两种情况，分别计算对应运动路程，结合速度公式求解时间。第二问按点P的运动路径分三个阶段：OA段、AB段、BC段，先确定每个阶段的t的取值范围，再根据运动路程推导对应点P的坐标。
【解析】
(1) $\because (a-6)^2+\sqrt{c+8}=0$，且$(a-6)^2≥0$，$\sqrt{c+8}≥0$
$\therefore a-6=0$，$c+8=0$，解得$a=6$，$c=-8$
$\therefore A(6,0)$，$C(0,-8)$，则矩形$OABC$中，$OA=BC=6$，$AB=OC=8$
①当点$P$在$OA$上时，点$P$到$AB$的距离为$AP$的长度，若$AP=2$，则$OP=OA-AP=6-2=4$
由运动速度为每秒2个单位长度得：$2t=4$，解得$t=2$
②当点$P$在$BC$上时，点$P$到$AB$的距离为$BP$的长度，若$BP=2$，则总运动路程为$OA+AB+BP=6+8+2=16$
$\therefore 2t=16$，解得$t=8$
综上，点P到AB距离为2个单位长度时，运动时间为2s或8s。
(2) 按运动阶段分三种情况：
①当$0≤ t≤3$（点P在OA上运动，走完全程OA需$6÷2=3\mathrm{s}$）：
点P在x轴上，横坐标为运动路程$2t$，纵坐标为0，即$P(2t,0)$
②当$3＜ t≤7$（点P在AB上运动，走完全程AB需$8÷2=4\mathrm{s}$，共耗时$3+4=7\mathrm{s}$）：
点P横坐标恒为6，向下运动的长度为$2t-6$，纵坐标为$0-(2t-6)=6-2t$，即$P(6,6-2t)$
③当$7＜ t≤10$（点P在BC上运动，走完全程BC需$6÷2=3\mathrm{s}$，共耗时$7+3=10\mathrm{s}$）：
点P纵坐标恒为-8，向左运动的长度为$2t-(6+8)=2t-14$，横坐标为$6-(2t-14)=20-2t$，即$P(20-2t,-8)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{s}}$
(2) ①当$0≤ t≤3$时，$P(2t,0)$；②当$3＜ t≤7$时，$P(6,6-2t)$；③当$7＜ t≤10$时，$P(20-2t,-8)$
【知识点】
非负数的性质；平面直角坐标系坐标表示；动点分类讨论
【点评】
本题综合考查非负数性质与平面直角坐标系动点问题，解题核心是先确定矩形边长，再按动点运动阶段分类讨论，避免漏解，侧重考察分类讨论的数学思想和坐标推导能力。
【难度系数】
0.6