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1.计算：$a+a×\frac{1}{a}=$。
答案
解：
由分式有意义的条件可知$a≠0$，
原式$=\frac{a^2}{a} + \frac{a}{a}$
$=\frac{a^2 + a}{a}$
$=\frac{a(a+1)}{a}$
$=a+1$
由分式有意义的条件可知$a≠0$，
原式$=\frac{a^2}{a} + \frac{a}{a}$
$=\frac{a^2 + a}{a}$
$=\frac{a(a+1)}{a}$
$=a+1$
解析
【分析】
本题是包含分式的混合运算题，解题时首先需明确分式有意义的条件：分母不为0，因此先得出$a≠0$。接下来计算时，可先将整式$a$通分化为分母为$a$的分式，再按照同分母分式“分母不变，分子相加”的法则计算，最后对分子因式分解后约去公因式$a$，即可得到最简结果。
【解析】
由分式有意义的条件可知$a≠0$，
原式$=\frac{a^2}{a} + \frac{a}{a}$
$=\frac{a^2 + a}{a}$
$=\frac{a(a+1)}{a}$
$=a+1$
【答案】
$a+1$
【知识点】
分式有意义的条件、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查分式加减的基本运算规则，解题时要注意优先判断分式有意义的前提，运算过程中熟练运用通分、因式分解、约分的技巧即可快速求解，计算时要注意运算顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是包含分式的混合运算题，解题时首先需明确分式有意义的条件：分母不为0，因此先得出$a≠0$。接下来计算时，可先将整式$a$通分化为分母为$a$的分式，再按照同分母分式“分母不变，分子相加”的法则计算，最后对分子因式分解后约去公因式$a$，即可得到最简结果。
【解析】
由分式有意义的条件可知$a≠0$，
原式$=\frac{a^2}{a} + \frac{a}{a}$
$=\frac{a^2 + a}{a}$
$=\frac{a(a+1)}{a}$
$=a+1$
【答案】
$a+1$
【知识点】
分式有意义的条件、同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查分式加减的基本运算规则，解题时要注意优先判断分式有意义的前提，运算过程中熟练运用通分、因式分解、约分的技巧即可快速求解，计算时要注意运算顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
2.化简$( \frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x} ) ÷ \frac{x+3}{2x}$的结果是
答案
$\boldsymbol{2x}$
解析
【分析】
这是一道分式混合运算的化简题，解题思路分三步：①先处理括号内的异分母分式加法，注意到分母x-3和3-x互为相反数，可将第二个分式变形为同分母分式再相加；②计算括号内的结果，对分子因式分解后约分；③将分式除法转化为乘法，再次约分后即可得到最简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3} ) ÷ \frac{x+3}{2x}$
$=\frac{x^2 - 9}{x-3} ÷ \frac{x+3}{2x}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3} × \frac{2x}{x+3}$
$=(x+3) × \frac{2x}{x+3}$
$=2x$
（注：隐含成立条件为$x≠\pm3$且$x≠0$）
【答案】
$2x$
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式通分的技巧，尤其是互为相反数的分母的变形方法，计算时要熟练运用因式分解进行约分，同时注意分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算的化简题，解题思路分三步：①先处理括号内的异分母分式加法，注意到分母x-3和3-x互为相反数，可将第二个分式变形为同分母分式再相加；②计算括号内的结果，对分子因式分解后约分；③将分式除法转化为乘法，再次约分后即可得到最简结果。
【解析】
解：原式$=( \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3} ) ÷ \frac{x+3}{2x}$
$=\frac{x^2 - 9}{x-3} ÷ \frac{x+3}{2x}$
$=\frac{(x+3)(x-3)}{x-3} × \frac{2x}{x+3}$
$=(x+3) × \frac{2x}{x+3}$
$=2x$
（注：隐含成立条件为$x≠\pm3$且$x≠0$）
【答案】
$2x$
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式通分的技巧，尤其是互为相反数的分母的变形方法，计算时要熟练运用因式分解进行约分，同时注意分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【难度系数】
0.8
3.计算：$( \frac{a}{a-1} + a ) · \frac{a-1}{a^2} =$
答案
解：
原式$=[\frac{a}{a-1}+\frac{a(a-1)}{a-1}] · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a + a^2 - a}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=1$
原式$=[\frac{a}{a-1}+\frac{a(a-1)}{a-1}] · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a + a^2 - a}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=1$
解析
【分析】
这是分式混合运算题，遵循先算括号内、后算括号外的运算顺序。首先处理括号内的异分母加法：将整式a看作分母为1的分式，通分为分母是$a-1$的分式，和$\frac{a}{a-1}$变成同分母分式后再相加；算出括号内的结果后，再与括号外的分式相乘，计算时优先约分可简化运算，最终得到结果。
【解析】
原式$=[\frac{a}{a-1}+\frac{a(a-1)}{a-1}] · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a + a^2 - a}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
异分母分式加法、分式乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题关键是保证通分、约分的正确性，运算过程中优先约分可降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
这是分式混合运算题，遵循先算括号内、后算括号外的运算顺序。首先处理括号内的异分母加法：将整式a看作分母为1的分式，通分为分母是$a-1$的分式，和$\frac{a}{a-1}$变成同分母分式后再相加；算出括号内的结果后，再与括号外的分式相乘，计算时优先约分可简化运算，最终得到结果。
【解析】
原式$=[\frac{a}{a-1}+\frac{a(a-1)}{a-1}] · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a + a^2 - a}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-1}{a^2}$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
异分母分式加法、分式乘法运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题关键是保证通分、约分的正确性，运算过程中优先约分可降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
4.若$a$为整数，且$\frac{3}{a-1}+\frac{a^2-4a+4}{a^2-1}÷\frac{a-2}{a+1}$为整数，则所有符合条件的$a$的值有个。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：①先根据分式混合运算的法则，先算除法再算加法，将原式化简为最简形式；②明确分式有意义的条件：所有分母不为0、除数不为0，据此排除不符合的a的取值；③结合a为整数、化简结果为整数的条件，找出a-1的所有整数约数，筛选出符合要求的a，统计个数即可。
【解析】
步骤1：化简原式
首先处理分式除法：
对分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
$\frac{a^2-4a+4}{a^2-1} ÷ \frac{a-2}{a+1} = \frac{(a-2)^2}{(a+1)(a-1)} × \frac{a+1}{a-2}$
约分后得：$\frac{a-2}{a-1}$（此时需满足$a≠\pm1$，$a≠2$，否则分式无意义）
再计算分式加法：
同分母分式相加，分子合并：
$\frac{3}{a-1} + \frac{a-2}{a-1} = \frac{3+a-2}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$
变形方便分析整数条件：
$\frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)+2}{a-1} = 1 + \frac{2}{a-1}$
步骤2：确定a的取值限制
要使原式有意义，需满足所有分母、除数不为0：
$a-1≠0$，$a^2-1≠0$，$a+1≠0$，$a-2≠0$
解得$a≠1$，$a≠-1$，$a≠2$
步骤3：结合整数条件筛选a
∵a为整数，且$1+\frac{2}{a-1}$为整数
∴$\frac{2}{a-1}$为整数，即$a-1$是2的整数约数
2的整数约数为$\pm1、\pm2$，对应取值如下：
①$a-1=1$时，$a=2$，不符合取值限制，舍去；
②$a-1=-1$时，$a=0$，符合要求；
③$a-1=2$时，$a=3$，符合要求；
④$a-1=-2$时，$a=-1$，不符合取值限制，舍去。
综上，符合条件的a为0、3，共2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；整除的性质
【点评】
本题属于分式运算的综合题型，既考查分式化简的基本运算能力，也需要注意题干隐含的分式有意义的限制条件，易错点是忽略限制条件导致多算符合要求的a值。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步思考：①先根据分式混合运算的法则，先算除法再算加法，将原式化简为最简形式；②明确分式有意义的条件：所有分母不为0、除数不为0，据此排除不符合的a的取值；③结合a为整数、化简结果为整数的条件，找出a-1的所有整数约数，筛选出符合要求的a，统计个数即可。
【解析】
步骤1：化简原式
首先处理分式除法：
对分子分母因式分解，将除法转化为乘法：
$\frac{a^2-4a+4}{a^2-1} ÷ \frac{a-2}{a+1} = \frac{(a-2)^2}{(a+1)(a-1)} × \frac{a+1}{a-2}$
约分后得：$\frac{a-2}{a-1}$（此时需满足$a≠\pm1$，$a≠2$，否则分式无意义）
再计算分式加法：
同分母分式相加，分子合并：
$\frac{3}{a-1} + \frac{a-2}{a-1} = \frac{3+a-2}{a-1} = \frac{a+1}{a-1}$
变形方便分析整数条件：
$\frac{a+1}{a-1} = \frac{(a-1)+2}{a-1} = 1 + \frac{2}{a-1}$
步骤2：确定a的取值限制
要使原式有意义，需满足所有分母、除数不为0：
$a-1≠0$，$a^2-1≠0$，$a+1≠0$，$a-2≠0$
解得$a≠1$，$a≠-1$，$a≠2$
步骤3：结合整数条件筛选a
∵a为整数，且$1+\frac{2}{a-1}$为整数
∴$\frac{2}{a-1}$为整数，即$a-1$是2的整数约数
2的整数约数为$\pm1、\pm2$，对应取值如下：
①$a-1=1$时，$a=2$，不符合取值限制，舍去；
②$a-1=-1$时，$a=0$，符合要求；
③$a-1=2$时，$a=3$，符合要求；
④$a-1=-2$时，$a=-1$，不符合取值限制，舍去。
综上，符合条件的a为0、3，共2个。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；整除的性质
【点评】
本题属于分式运算的综合题型，既考查分式化简的基本运算能力，也需要注意题干隐含的分式有意义的限制条件，易错点是忽略限制条件导致多算符合要求的a值。
【难度系数】
0.6
5.有一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为$v_1$ km/h，原路返回时下坡的速度为$v_2$ km/h，他在这段路上、下坡的平均速度是 km/h.
答案
$\boldsymbol{\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}}$
解析
【分析】
要计算上、下坡的平均速度，首先需明确平均速度的核心计算方法是总路程除以总时间，切勿直接对两个速度取算术平均。我们可以先设坡路的单程路程为辅助未知数$s$，分别求出上坡、下坡的行驶时间，再结合往返总路程、总时间代入公式，最后通过分式运算化简得到结果，辅助未知数$s$会在化简过程中消去，不影响最终结果。
【解析】
设这段坡路的单程路程为$s\ \mathrm{km}$。
1. 求上坡时间：根据公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，上坡用时$t_1=\frac{s}{v_1}\ \mathrm{h}$；
2. 求下坡时间：下坡为原路返回，路程同样为$s\ \mathrm{km}$，下坡用时$t_2=\frac{s}{v_2}\ \mathrm{h}$；
3. 求总路程：往返总路程为上坡路程加下坡路程，即$s+s=2s\ \mathrm{km}$；
4. 求总时间：总用时为上下坡时间之和，$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}$；
5. 计算平均速度：代入平均速度公式$\bar{v}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$得：
$\bar{v}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}$
对分母通分计算：$\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}=\frac{sv_2+sv_1}{v_1v_2}=\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}$，代入上式后约去分子分母的$s$，化简得：
$\bar{v}=\frac{2s}{\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【答案】
$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【知识点】
平均速度计算；分式的运算；行程问题公式
【点评】
本题的易错点是误将两个速度的算术平均当作平均速度，解题时要紧扣平均速度的定义，通过设辅助单程路程的方法梳理数量关系，是分式应用类行程问题的常用技巧，化简过程要注意分式通分、约分的规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算上、下坡的平均速度，首先需明确平均速度的核心计算方法是总路程除以总时间，切勿直接对两个速度取算术平均。我们可以先设坡路的单程路程为辅助未知数$s$，分别求出上坡、下坡的行驶时间，再结合往返总路程、总时间代入公式，最后通过分式运算化简得到结果，辅助未知数$s$会在化简过程中消去，不影响最终结果。
【解析】
设这段坡路的单程路程为$s\ \mathrm{km}$。
1. 求上坡时间：根据公式$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$，上坡用时$t_1=\frac{s}{v_1}\ \mathrm{h}$；
2. 求下坡时间：下坡为原路返回，路程同样为$s\ \mathrm{km}$，下坡用时$t_2=\frac{s}{v_2}\ \mathrm{h}$；
3. 求总路程：往返总路程为上坡路程加下坡路程，即$s+s=2s\ \mathrm{km}$；
4. 求总时间：总用时为上下坡时间之和，$t_{\mathrm{总}}=t_1+t_2=\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}$；
5. 计算平均速度：代入平均速度公式$\bar{v}=\frac{\mathrm{总路程}}{\mathrm{总时间}}$得：
$\bar{v}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}$
对分母通分计算：$\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}=\frac{sv_2+sv_1}{v_1v_2}=\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}$，代入上式后约去分子分母的$s$，化简得：
$\bar{v}=\frac{2s}{\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【答案】
$\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$
【知识点】
平均速度计算；分式的运算；行程问题公式
【点评】
本题的易错点是误将两个速度的算术平均当作平均速度，解题时要紧扣平均速度的定义，通过设辅助单程路程的方法梳理数量关系，是分式应用类行程问题的常用技巧，化简过程要注意分式通分、约分的规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
6.化简:
(1)$\frac{2}{a-1} ÷ \frac{2a-4}{a^2-1} + \frac{1}{2-a}$;
(2)$( \frac{m}{m+n} + \frac{3n}{m+n} ) · \frac{mn}{m+3n} ÷ ( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} )$.
(1)$\frac{2}{a-1} ÷ \frac{2a-4}{a^2-1} + \frac{1}{2-a}$;
(2)$( \frac{m}{m+n} + \frac{3n}{m+n} ) · \frac{mn}{m+3n} ÷ ( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} )$.
答案
解：
(1) 原式$=\frac{2}{a-1} · \frac{a^2-1}{2a-4} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{2}{a-1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{a+1}{a-2} - \frac{1}{a-2}$
$=\frac{a+1-1}{a-2}$
$=\frac{a}{a-2}$
(2) 原式$=\frac{m+3n}{m+n} · \frac{mn}{m+3n} ÷ \frac{m+n}{mn}$
$=\frac{mn}{m+n} · \frac{mn}{m+n}$
$=\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
(1) 原式$=\frac{2}{a-1} · \frac{a^2-1}{2a-4} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{2}{a-1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{a+1}{a-2} - \frac{1}{a-2}$
$=\frac{a+1-1}{a-2}$
$=\frac{a}{a-2}$
(2) 原式$=\frac{m+3n}{m+n} · \frac{mn}{m+3n} ÷ \frac{m+n}{mn}$
$=\frac{mn}{m+n} · \frac{mn}{m+n}$
$=\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
解析
【分析】
这两道题均为分式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 首先将除法运算转化为乘法运算，对分子分母的多项式进行因式分解后约分，再观察到后一项的分母2-a与约分后得到的分母a-2互为相反数，将后一项变形为同分母分式，最后按同分母分式加减法法则计算即可；
(2) 先计算两个括号内的分式加法：第一个括号是同分母分式相加，分母不变分子相加即可；第二个括号是异分母分式相加，先通分再求和，接着将除法转化为乘法，逐步约分计算即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{2}{a-1} · \frac{a^2-1}{2a-4} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{2}{a-1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{a+1}{a-2} - \frac{1}{a-2}$
$=\frac{a+1-1}{a-2}$
$=\frac{a}{a-2}$
(2) 原式$=\frac{m+3n}{m+n} · \frac{mn}{m+3n} ÷ \frac{m+n}{mn}$
$=\frac{mn}{m+n} · \frac{mn}{m+n}$
$=\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
【答案】
(1) $\frac{a}{a-2}$；(2) $\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，解题时需注意运算顺序，因式分解要彻底，遇到互为相反数的分母要注意符号变形，最终结果要化为最简形式，计算过程中要格外注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.75
这两道题均为分式的混合运算，解题遵循“先乘除后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 首先将除法运算转化为乘法运算，对分子分母的多项式进行因式分解后约分，再观察到后一项的分母2-a与约分后得到的分母a-2互为相反数，将后一项变形为同分母分式，最后按同分母分式加减法法则计算即可；
(2) 先计算两个括号内的分式加法：第一个括号是同分母分式相加，分母不变分子相加即可；第二个括号是异分母分式相加，先通分再求和，接着将除法转化为乘法，逐步约分计算即可。
【解析】
(1) 原式$=\frac{2}{a-1} · \frac{a^2-1}{2a-4} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{2}{a-1} · \frac{(a+1)(a-1)}{2(a-2)} + \frac{1}{2-a}$
$=\frac{a+1}{a-2} - \frac{1}{a-2}$
$=\frac{a+1-1}{a-2}$
$=\frac{a}{a-2}$
(2) 原式$=\frac{m+3n}{m+n} · \frac{mn}{m+3n} ÷ \frac{m+n}{mn}$
$=\frac{mn}{m+n} · \frac{mn}{m+n}$
$=\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
【答案】
(1) $\frac{a}{a-2}$；(2) $\frac{m^2n^2}{(m+n)^2}$
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，解题时需注意运算顺序，因式分解要彻底，遇到互为相反数的分母要注意符号变形，最终结果要化为最简形式，计算过程中要格外注意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.75
7. 提升题 先化简，再求值：$\frac{x+9}{x^2 -9} ÷ ( \frac{2x}{x-3} - \frac{x}{x+3} )$，其中$x=6$。
下面是同学们几种不同解法的部分运算过程：
①原式=$\frac{x+9}{x^2 -9} ÷ [ \frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} ]$；
②原式=$\frac{x+9}{x^2 -9} ÷ \frac{2x}{x-3} - \frac{x+9}{x^2 -9} ÷ \frac{x}{x+3}$；
③将被除式与除式的位置颠倒，即化简$( \frac{2x}{x-3} - \frac{x}{x+3} ) ÷ \frac{x+9}{x^2 -9}$，代入求值后，取结果的倒数。
（1）以上解法正确的是（填序号）；
（2）请选择一种正确的解法，写出完整的解题过程。
下面是同学们几种不同解法的部分运算过程：
①原式=$\frac{x+9}{x^2 -9} ÷ [ \frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} ]$；
②原式=$\frac{x+9}{x^2 -9} ÷ \frac{2x}{x-3} - \frac{x+9}{x^2 -9} ÷ \frac{x}{x+3}$；
③将被除式与除式的位置颠倒，即化简$( \frac{2x}{x-3} - \frac{x}{x+3} ) ÷ \frac{x+9}{x^2 -9}$，代入求值后，取结果的倒数。
（1）以上解法正确的是（填序号）；
（2）请选择一种正确的解法，写出完整的解题过程。
答案
解：
(1) ①③
(2) 选择解法①完成解题：
先对括号内的分式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-3}-\frac{x}{x+3}&=\frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x^2+6x -x^2 +3x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x^2+9x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\end{aligned}$
由平方差公式得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，将原式的除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} ÷ \frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{x(x+9)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
当$x=6$时，代入得原式$=\frac{1}{6}$。
(1) ①③
(2) 选择解法①完成解题：
先对括号内的分式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-3}-\frac{x}{x+3}&=\frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x^2+6x -x^2 +3x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x^2+9x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\end{aligned}$
由平方差公式得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，将原式的除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} ÷ \frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{x(x+9)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
当$x=6$时，代入得原式$=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
第(1)问判断解法正误：①先对括号内异分母分式通分，符合“有括号先算括号内”的分式运算顺序，逻辑正确；②错误，因为除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的两个分式，会出现运算错误；③利用倒数性质，当除数不为0时，$a÷ b=\frac{1}{b÷ a}$，先颠倒被除式和除式的位置化简，最后取倒数，运算规则成立，能简化计算，是正确的。第(2)问若选解法①，先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，约分化简后代入$x=6$求值即可。
【解析】
(1) 逐一判断解法：
① 括号内是异分母分式减法，通分公分母为$(x+3)(x-3)$，通分过程符合运算规则，正确；
② 除法不满足分配律，拆分被除数分别除以括号内两项的运算错误；
③ 利用倒数性质转化运算，规则成立，能简化计算，正确。
因此正确解法为①③。
(2) 选择解法①完成解题：
先计算括号内的分式减法：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-3}-\frac{x}{x+3}&=\frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x^2+6x -x^2 +3x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x^2+9x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} ÷ \frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{x(x+9)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
当$x=6$时，代入得原式$=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) 化简结果为$\frac{1}{x}$，当$x=6$时，值为$\boxed{\frac{1}{6}}$
【知识点】
分式的混合运算、分式的通分约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式化简求值，解题时要遵循分式运算顺序，不要误用除法分配律，也可灵活选择倒数法简化运算，最终结果要化为最简形式，代入求值时需保证原分式所有分母不为0。
【难度系数】
0.7
第(1)问判断解法正误：①先对括号内异分母分式通分，符合“有括号先算括号内”的分式运算顺序，逻辑正确；②错误，因为除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的两个分式，会出现运算错误；③利用倒数性质，当除数不为0时，$a÷ b=\frac{1}{b÷ a}$，先颠倒被除式和除式的位置化简，最后取倒数，运算规则成立，能简化计算，是正确的。第(2)问若选解法①，先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，约分化简后代入$x=6$求值即可。
【解析】
(1) 逐一判断解法：
① 括号内是异分母分式减法，通分公分母为$(x+3)(x-3)$，通分过程符合运算规则，正确；
② 除法不满足分配律，拆分被除数分别除以括号内两项的运算错误；
③ 利用倒数性质转化运算，规则成立，能简化计算，正确。
因此正确解法为①③。
(2) 选择解法①完成解题：
先计算括号内的分式减法：
$\begin{aligned}\frac{2x}{x-3}-\frac{x}{x+3}&=\frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)}-\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x^2+6x -x^2 +3x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x^2+9x}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\end{aligned}$
利用平方差公式因式分解得$x^2-9=(x+3)(x-3)$，将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} ÷ \frac{x(x+9)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x+9}{(x+3)(x-3)} · \frac{(x+3)(x-3)}{x(x+9)}\\&=\frac{1}{x}\end{aligned}$
当$x=6$时，代入得原式$=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{①③}$
(2) 化简结果为$\frac{1}{x}$，当$x=6$时，值为$\boxed{\frac{1}{6}}$
【知识点】
分式的混合运算、分式的通分约分、平方差公式因式分解
【点评】
本题考查分式化简求值，解题时要遵循分式运算顺序，不要误用除法分配律，也可灵活选择倒数法简化运算，最终结果要化为最简形式，代入求值时需保证原分式所有分母不为0。
【难度系数】
0.7
