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13. 提升题 我国自主研发的新一代隐身战斗机“歼-20”采用高性能碳纤维复合材料，提高了抗疲劳、耐腐蚀等性能，同时减小了自身质量。将一个体积为$500\ \mathrm{cm}^3$的钢制零件替换成碳纤维复合材料零件，在体积不变的情况下，质量减少了$3050\ \mathrm{g}$。已知钢的密度$\rho_{\mathrm{钢}}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$。求：
(1)钢制零件的质量；
(2)碳纤维复合材料零件的质量；
(3)此碳纤维复合材料的密度。
(1)钢制零件的质量；
(2)碳纤维复合材料零件的质量；
(3)此碳纤维复合材料的密度。
答案
13. 解：
(1) 钢制零件的质量 $m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9\ \mathrm{g/cm}^3 × 500\ \mathrm{cm}^3=3\ 950\ \mathrm{g}$；
(2) 碳纤维复合材料零件的质量 $m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=3\ 950\ \mathrm{g}-3\ 050\ \mathrm{g}=900\ \mathrm{g}$；
(3) $V_{\mathrm{碳}}=V=500\ \mathrm{cm}^3$，此碳纤维复合材料的密度 $\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
(1) 钢制零件的质量 $m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9\ \mathrm{g/cm}^3 × 500\ \mathrm{cm}^3=3\ 950\ \mathrm{g}$；
(2) 碳纤维复合材料零件的质量 $m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=3\ 950\ \mathrm{g}-3\ 050\ \mathrm{g}=900\ \mathrm{g}$；
(3) $V_{\mathrm{碳}}=V=500\ \mathrm{cm}^3$，此碳纤维复合材料的密度 $\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：（1）已知钢制零件的体积和钢的密度，利用密度公式的变形公式$m=\rho V$可直接计算钢制零件的质量；（2）替换后零件体积不变，质量减少量已知，用钢制零件的质量减去减少的质量，即可得到碳纤维复合材料零件的质量；（3）碳纤维零件体积与钢制零件相同，再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，用碳纤维零件的质量除以体积，就能算出其密度。
【解析】
解：
(1) 已知钢的密度$\rho_{\mathrm{钢}}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，钢制零件体积$V=500\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$m=\rho V$，可得钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9\ \mathrm{g/cm}^3 × 500\ \mathrm{cm}^3=3950\ \mathrm{g}$；
(2) 替换后体积不变，质量减少$\Delta m=3050\ \mathrm{g}$，因此碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=3950\ \mathrm{g}-3050\ \mathrm{g}=900\ \mathrm{g}$；
(3) 碳纤维复合材料零件体积$V_{\mathrm{碳}}=V=500\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得此碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 钢制零件的质量为$3950\ \mathrm{g}$；(2) 碳纤维复合材料零件的质量为$900\ \mathrm{g}$；(3) 此碳纤维复合材料的密度为$1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
密度公式的应用、质量与密度计算
【点评】
本题结合实际科技场景考查密度公式的基础应用，核心是掌握密度公式的变形运用，关键明确替换前后体积不变，属于密度计算的常规提升题，能有效巩固学生对密度相关公式的掌握。
【难度系数】
0.5
本题考查密度公式的应用，解题思路如下：（1）已知钢制零件的体积和钢的密度，利用密度公式的变形公式$m=\rho V$可直接计算钢制零件的质量；（2）替换后零件体积不变，质量减少量已知，用钢制零件的质量减去减少的质量，即可得到碳纤维复合材料零件的质量；（3）碳纤维零件体积与钢制零件相同，再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，用碳纤维零件的质量除以体积，就能算出其密度。
【解析】
解：
(1) 已知钢的密度$\rho_{\mathrm{钢}}=7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，钢制零件体积$V=500\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$m=\rho V$，可得钢制零件的质量：
$m_{\mathrm{钢}}=\rho_{\mathrm{钢}} V=7.9\ \mathrm{g/cm}^3 × 500\ \mathrm{cm}^3=3950\ \mathrm{g}$；
(2) 替换后体积不变，质量减少$\Delta m=3050\ \mathrm{g}$，因此碳纤维复合材料零件的质量：
$m_{\mathrm{碳}}=m_{\mathrm{钢}}-\Delta m=3950\ \mathrm{g}-3050\ \mathrm{g}=900\ \mathrm{g}$；
(3) 碳纤维复合材料零件体积$V_{\mathrm{碳}}=V=500\ \mathrm{cm}^3$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，可得此碳纤维复合材料的密度：
$\rho_{\mathrm{碳}}=\frac{m_{\mathrm{碳}}}{V_{\mathrm{碳}}}=\frac{900\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【答案】
(1) 钢制零件的质量为$3950\ \mathrm{g}$；(2) 碳纤维复合材料零件的质量为$900\ \mathrm{g}$；(3) 此碳纤维复合材料的密度为$1.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
【知识点】
密度公式的应用、质量与密度计算
【点评】
本题结合实际科技场景考查密度公式的基础应用，核心是掌握密度公式的变形运用，关键明确替换前后体积不变，属于密度计算的常规提升题，能有效巩固学生对密度相关公式的掌握。
【难度系数】
0.5
14. 景德镇青花瓷，中华瓷艺之瑰宝，以钴蓝为彩，其制作技艺精湛绝伦，文化底蕴深厚，尽显华夏瓷器之独特韵味。小超家有一个质量为450 g、容积为230 mL的青花瓷茶杯，如图9所示，他想知道制作这种茶杯的材料的密度。于是他用天平测出杯盖的质量为63 g，再把杯盖放入装满水的溢水杯中，并测得溢出水的质量为21 g。($\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$)
(1)求杯盖的体积；
(2)求制作这种茶杯的材料的密度；
(3)若此茶杯装满水，求茶杯与水的总质量。
(1)求杯盖的体积；
(2)求制作这种茶杯的材料的密度；
(3)若此茶杯装满水，求茶杯与水的总质量。
答案
14. 解：
(1) 溢出水的体积 $V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{21\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=21\ \mathrm{cm}^3$，杯盖的体积 $V_{\mathrm{盖}}=V_{\mathrm{溢}}=21\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 该茶杯所用材料的密度 $\rho_{\mathrm{茶杯}}=\frac{m_{\mathrm{盖}}}{V_{\mathrm{盖}}}=\frac{63\ \mathrm{g}}{21\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) $V_{\mathrm{水}}=230\ \mathrm{mL}=230\ \mathrm{cm}^3$，当茶杯装满水后，水的质量 $m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 230\ \mathrm{cm}^3=230\ \mathrm{g}$，当茶杯装满水后，茶杯与水的总质量 $m=m_{\mathrm{茶杯}}+m_{\mathrm{水}}=450\ \mathrm{g}+230\ \mathrm{g}=680\ \mathrm{g}$。
解析
【分析】
本题考查密度相关计算，解题思路如下：
1. 杯盖浸没在装满水的溢水杯中时，溢出水的体积等于杯盖的体积，利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$可求出溢出水的体积，即杯盖体积；
2. 同种材料的密度相同，杯盖的质量和体积可代表制作茶杯材料的密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算材料密度；
3. 茶杯装满水时，水的体积等于茶杯的容积，先计算水的质量，再加上茶杯自身质量，得到总质量。
【解析】
解：
(1) 杯盖浸没在水中，溢出水的体积等于杯盖的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，溢出水的体积：
$V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{21\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=21\ \mathrm{cm}^3$，
因此杯盖的体积$V_{\mathrm{盖}}=V_{\mathrm{溢}}=21\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 制作茶杯材料的密度等于杯盖的密度，根据$\rho=\frac{m}{V}$：
$\rho_{\mathrm{茶杯}}=\frac{m_{\mathrm{盖}}}{V_{\mathrm{盖}}}=\frac{63\ \mathrm{g}}{21\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) 茶杯的容积$V_{\mathrm{容}}=230\ \mathrm{mL}=230\ \mathrm{cm}^3$，装满水时水的体积$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{容}}$，
水的质量：$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 230\ \mathrm{cm}^3=230\ \mathrm{g}$，
茶杯与水的总质量：$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{茶杯}}+m_{\mathrm{水}}=450\ \mathrm{g}+230\ \mathrm{g}=680\ \mathrm{g}$。
【答案】
14. 解：
(1) 溢出水的体积 $V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{21\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=21\ \mathrm{cm}^3$，杯盖的体积 $V_{\mathrm{盖}}=V_{\mathrm{溢}}=21\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 该茶杯所用材料的密度 $\rho_{\mathrm{茶杯}}=\frac{m_{\mathrm{盖}}}{V_{\mathrm{盖}}}=\frac{63\ \mathrm{g}}{21\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) $V_{\mathrm{水}}=230\ \mathrm{mL}=230\ \mathrm{cm}^3$，当茶杯装满水后，水的质量 $m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 230\ \mathrm{cm}^3=230\ \mathrm{g}$，当茶杯装满水后，茶杯与水的总质量 $m=m_{\mathrm{茶杯}}+m_{\mathrm{水}}=450\ \mathrm{g}+230\ \mathrm{g}=680\ \mathrm{g}$。
【知识点】
密度计算、排水法测体积、质量与密度应用
【点评】
本题是密度知识的基础应用题，通过排水法间接测量物体体积，再利用密度公式计算材料密度，最后求解总质量，步骤清晰，考查学生对密度公式的掌握和应用能力，属于基础题。
【难度系数】
0.2
本题考查密度相关计算，解题思路如下：
1. 杯盖浸没在装满水的溢水杯中时，溢出水的体积等于杯盖的体积，利用密度公式的变形$V=\frac{m}{\rho}$可求出溢出水的体积，即杯盖体积；
2. 同种材料的密度相同，杯盖的质量和体积可代表制作茶杯材料的密度，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$计算材料密度；
3. 茶杯装满水时，水的体积等于茶杯的容积，先计算水的质量，再加上茶杯自身质量，得到总质量。
【解析】
解：
(1) 杯盖浸没在水中，溢出水的体积等于杯盖的体积，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，溢出水的体积：
$V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{21\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=21\ \mathrm{cm}^3$，
因此杯盖的体积$V_{\mathrm{盖}}=V_{\mathrm{溢}}=21\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 制作茶杯材料的密度等于杯盖的密度，根据$\rho=\frac{m}{V}$：
$\rho_{\mathrm{茶杯}}=\frac{m_{\mathrm{盖}}}{V_{\mathrm{盖}}}=\frac{63\ \mathrm{g}}{21\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) 茶杯的容积$V_{\mathrm{容}}=230\ \mathrm{mL}=230\ \mathrm{cm}^3$，装满水时水的体积$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{容}}$，
水的质量：$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 230\ \mathrm{cm}^3=230\ \mathrm{g}$，
茶杯与水的总质量：$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{茶杯}}+m_{\mathrm{水}}=450\ \mathrm{g}+230\ \mathrm{g}=680\ \mathrm{g}$。
【答案】
14. 解：
(1) 溢出水的体积 $V_{\mathrm{溢}}=\frac{m_{\mathrm{溢}}}{\rho_{\mathrm{水}}}=\frac{21\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=21\ \mathrm{cm}^3$，杯盖的体积 $V_{\mathrm{盖}}=V_{\mathrm{溢}}=21\ \mathrm{cm}^3$；
(2) 该茶杯所用材料的密度 $\rho_{\mathrm{茶杯}}=\frac{m_{\mathrm{盖}}}{V_{\mathrm{盖}}}=\frac{63\ \mathrm{g}}{21\ \mathrm{cm}^3}=3\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) $V_{\mathrm{水}}=230\ \mathrm{mL}=230\ \mathrm{cm}^3$，当茶杯装满水后，水的质量 $m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}}=1\ \mathrm{g/cm}^3 × 230\ \mathrm{cm}^3=230\ \mathrm{g}$，当茶杯装满水后，茶杯与水的总质量 $m=m_{\mathrm{茶杯}}+m_{\mathrm{水}}=450\ \mathrm{g}+230\ \mathrm{g}=680\ \mathrm{g}$。
【知识点】
密度计算、排水法测体积、质量与密度应用
【点评】
本题是密度知识的基础应用题，通过排水法间接测量物体体积，再利用密度公式计算材料密度，最后求解总质量，步骤清晰，考查学生对密度公式的掌握和应用能力，属于基础题。
【难度系数】
0.2
