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1. (广安模拟)计算$(\dfrac{1}{2025})^{-1}$的结果是（
A.2025
B.$-2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
A
）A.2025
B.$-2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$-\dfrac{1}{2025}$
答案
1. A
解析
【分析】
遇到负整数指数幂的计算问题，首先要回忆负整数指数幂的运算法则：对于非零数$a$，$a$的$-p$次幂（$p$为正整数）等于$a$的$p$次幂的倒数。本题中底数$\dfrac{1}{2025}$不为0，指数为$-1$，直接套用对应公式即可求解。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：当$a≠0$，$p$为正整数时，$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$。
本题中$a=\dfrac{1}{2025}$，$p=1$，代入公式计算：
$(\dfrac{1}{2025})^{-1}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2025})^{1}}=2025$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的运算法则，熟练掌握公式、明确底数不为0的前提即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
遇到负整数指数幂的计算问题，首先要回忆负整数指数幂的运算法则：对于非零数$a$，$a$的$-p$次幂（$p$为正整数）等于$a$的$p$次幂的倒数。本题中底数$\dfrac{1}{2025}$不为0，指数为$-1$，直接套用对应公式即可求解。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：当$a≠0$，$p$为正整数时，$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$。
本题中$a=\dfrac{1}{2025}$，$p=1$，代入公式计算：
$(\dfrac{1}{2025})^{-1}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2025})^{1}}=2025$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
负整数指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查负整数指数幂的运算法则，熟练掌握公式、明确底数不为0的前提即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.“墙角数枝梅，凌寒独自开，遥知不是雪，为有暗香来.”某品种的梅花花粉直径为0.000 022 m，则数据0.000 022用科学记数法表示为 （
A.$0.22× 10^{-5}$
B.$2.2× 10^{-5}$
C.$2.2× 10^{-4}$
D.$2.2× 10^{-6}$
B
）A.$0.22× 10^{-5}$
B.$2.2× 10^{-5}$
C.$2.2× 10^{-4}$
D.$2.2× 10^{-6}$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决用科学记数法表示较小数的问题，首先回忆科学记数法的表示规则：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的形式为$a × 10^{-n}$，其中有两个核心要求：①$1≤ |a| ＜ 10$；②$n$的值等于原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时先根据$a$的取值范围排除错误选项，再计算$n$的数值即可得到正确结果。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）：
1. 确定$a$的值：将$0.000022$的小数点向右移动，得到$a=2.2$，满足$1≤ 2.2 ＜10$，据此排除A选项（A中$a=0.22$不符合要求）。
2. 确定$n$的值：原数$0.000022$左起第一个非零数字2的前面共有5个0，因此$n=5$。
综上，$0.000022 = 2.2 × 10^{-5}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法表示较小数；负整数指数幂
【点评】
本题考查科学记数法的应用，属于基础题型，解题关键是牢记$a$的取值范围和$n$的确定方法，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决用科学记数法表示较小数的问题，首先回忆科学记数法的表示规则：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的形式为$a × 10^{-n}$，其中有两个核心要求：①$1≤ |a| ＜ 10$；②$n$的值等于原数左起第一个不为零的数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。解题时先根据$a$的取值范围排除错误选项，再计算$n$的数值即可得到正确结果。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a × 10^{-n}$（$1≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）：
1. 确定$a$的值：将$0.000022$的小数点向右移动，得到$a=2.2$，满足$1≤ 2.2 ＜10$，据此排除A选项（A中$a=0.22$不符合要求）。
2. 确定$n$的值：原数$0.000022$左起第一个非零数字2的前面共有5个0，因此$n=5$。
综上，$0.000022 = 2.2 × 10^{-5}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法表示较小数；负整数指数幂
【点评】
本题考查科学记数法的应用，属于基础题型，解题关键是牢记$a$的取值范围和$n$的确定方法，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 计算$(-3)^0 + (\frac{1}{4})^{-2}$的结果为（
A.16
B.$\frac{1}{16}$
C.17
D.$\frac{9}{8}$
C
）A.16
B.$\frac{1}{16}$
C.17
D.$\frac{9}{8}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查零次幂和负整数指数幂的运算，解题时先分别回忆两类幂的运算规则，分步计算两个幂的值，再求和即可得到最终结果。第一步先计算非零数的零次幂，牢记任何不等于0的数的零次幂都等于1；第二步计算负整数指数幂，按照规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算，最后将两个结果相加即可。
【解析】
根据零次幂的运算规则：任何非零数的0次幂等于1，
因为$-3≠0$，所以$(-3)^0=1$；
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{4})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$；
将两个结果相加：$1+16=17$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、有理数加法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是对零次幂和负整数指数幂运算法则的记忆与应用，计算时注意底数不为0的前提，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题考查零次幂和负整数指数幂的运算，解题时先分别回忆两类幂的运算规则，分步计算两个幂的值，再求和即可得到最终结果。第一步先计算非零数的零次幂，牢记任何不等于0的数的零次幂都等于1；第二步计算负整数指数幂，按照规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）计算，最后将两个结果相加即可。
【解析】
根据零次幂的运算规则：任何非零数的0次幂等于1，
因为$-3≠0$，所以$(-3)^0=1$；
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
可得$(\frac{1}{4})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16$；
将两个结果相加：$1+16=17$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、有理数加法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，核心是对零次幂和负整数指数幂运算法则的记忆与应用，计算时注意底数不为0的前提，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4.(北海模拟) $(x-3)^0 = 1$ 成立的条件是
$x≠3$
答案
4. $x≠3$
解析
【分析】
要解决本题，首先需回忆零指数幂的相关规定：零指数幂有意义且等于1的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。因此我们只需要找到式子中的底数，令底数不等于0，解对应的不等式即可得到成立条件。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中$(x-3)^0 =1$的底数为$x-3$，因此需满足底数不为0：
$x-3≠0$
解得：$x≠3$
【答案】
$x≠3$
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略零指数幂中底数不能为0的限制条件，解题的核心是牢记零指数幂成立的前提。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需回忆零指数幂的相关规定：零指数幂有意义且等于1的前提是底数不能为0，因为0的0次幂没有意义。因此我们只需要找到式子中的底数，令底数不等于0，解对应的不等式即可得到成立条件。
【解析】
根据零指数幂的运算性质：任何非零数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中$(x-3)^0 =1$的底数为$x-3$，因此需满足底数不为0：
$x-3≠0$
解得：$x≠3$
【答案】
$x≠3$
【知识点】
零指数幂的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略零指数幂中底数不能为0的限制条件，解题的核心是牢记零指数幂成立的前提。
【难度系数】
0.9
5. 若 $3^{-n} = \frac{1}{27}$，则 $n=$
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂的相关计算，解题思路如下：首先回忆负整数指数幂的运算规则，将等式右侧的$\frac{1}{27}$转化为以3为底的负整数指数幂形式，再根据“底数相同且不为0的两个幂相等时，指数也相等”的性质，列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
首先对$\frac{1}{27}$进行变形：
$\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}$
已知$3^{-n}=\frac{1}{27}$，代入可得：
$3^{-n}=3^{-3}$
由于两个同底数幂相等（底数3≠0），因此指数相等，即：
$-n=-3$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
负整数指数幂运算；同底数幂的性质
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对负整数指数幂转化规则的掌握，只要能熟练完成负指数幂和正指数幂的相互转换，结合同底数幂的性质即可快速求解，出错多是因为对负指数的转化规则记忆不牢。
【难度系数】
0.8
本题考查负整数指数幂的相关计算，解题思路如下：首先回忆负整数指数幂的运算规则，将等式右侧的$\frac{1}{27}$转化为以3为底的负整数指数幂形式，再根据“底数相同且不为0的两个幂相等时，指数也相等”的性质，列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）。
首先对$\frac{1}{27}$进行变形：
$\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}$
已知$3^{-n}=\frac{1}{27}$，代入可得：
$3^{-n}=3^{-3}$
由于两个同底数幂相等（底数3≠0），因此指数相等，即：
$-n=-3$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
负整数指数幂运算；同底数幂的性质
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对负整数指数幂转化规则的掌握，只要能熟练完成负指数幂和正指数幂的相互转换，结合同底数幂的性质即可快速求解，出错多是因为对负指数的转化规则记忆不牢。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1)$(2025 - π)^0 - 3^2 + (\frac{1}{2})^{-3}$；
(2)$(-\frac{1}{2})^{-2} + (-1)^{2027} + (π - 314)^0 - |-3|$；
(1)$(2025 - π)^0 - 3^2 + (\frac{1}{2})^{-3}$；
(2)$(-\frac{1}{2})^{-2} + (-1)^{2027} + (π - 314)^0 - |-3|$；
答案
6. 解:(1)$(2\ 025-π)^0-3^2+(\frac{1}{2})^{-3}=1-9+\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=1-9+8=0.$
(2)$(-\frac{1}{2})^{-2}+(-1)^{2\ 027}+(π-314)^0-|-3|=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}-1+1-3=4-1+1-3=1.$
(2)$(-\frac{1}{2})^{-2}+(-1)^{2\ 027}+(π-314)^0-|-3|=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}-1+1-3=4-1+1-3=1.$
解析
【分析】
这两道题均为有理数混合运算，考查零次幂、负整数指数幂、乘方、绝对值的运算规则。解题思路为：先根据对应运算法则分别计算每一个小项的结果，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。计算前需明确核心规则：①非零数的零次幂等于1；②非零数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数；③负数的奇次幂为负，偶次幂为正；④正数的绝对值是它本身。
【解析】
(1) 分步计算各项再合并：
因为$2025-π≠0$，根据零次幂规则得$(2025 - π)^0=1$；
乘方计算得$3^2=9$；
根据负整数指数幂规则得$(\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=8$；
代入原式计算：$\mathrm{原式}=1 - 9 + 8 = 0$。
(2) 分步计算各项再合并：
根据负整数指数幂规则得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$；
2027是奇数，根据乘方符号规律得$(-1)^{2027}=-1$；
因为$π-314≠0$，根据零次幂规则得$(π - 314)^0=1$；
绝对值化简得$|-3|=3$；
代入原式计算：$\mathrm{原式}=4 - 1 + 1 - 3 = 1$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
零次幂运算；负整数指数幂运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握零次幂、负整数指数幂的运算规则，计算时要重点注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均为有理数混合运算，考查零次幂、负整数指数幂、乘方、绝对值的运算规则。解题思路为：先根据对应运算法则分别计算每一个小项的结果，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。计算前需明确核心规则：①非零数的零次幂等于1；②非零数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数；③负数的奇次幂为负，偶次幂为正；④正数的绝对值是它本身。
【解析】
(1) 分步计算各项再合并：
因为$2025-π≠0$，根据零次幂规则得$(2025 - π)^0=1$；
乘方计算得$3^2=9$；
根据负整数指数幂规则得$(\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^3}=8$；
代入原式计算：$\mathrm{原式}=1 - 9 + 8 = 0$。
(2) 分步计算各项再合并：
根据负整数指数幂规则得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$；
2027是奇数，根据乘方符号规律得$(-1)^{2027}=-1$；
因为$π-314≠0$，根据零次幂规则得$(π - 314)^0=1$；
绝对值化简得$|-3|=3$；
代入原式计算：$\mathrm{原式}=4 - 1 + 1 - 3 = 1$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
零次幂运算；负整数指数幂运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握零次幂、负整数指数幂的运算规则，计算时要重点注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
7.若$a=-0.2^2$，$b=-2^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，$d=(-\dfrac{1}{5})^0$，则$a,b,c,d$的大小关系是（
A.$a＜b＜c＜d$
B.$a＜b＜d＜c$
C.$c＜a＜d＜b$
D.$b＜a＜d＜c$
D
）A.$a＜b＜c＜d$
B.$a＜b＜d＜c$
C.$c＜a＜d＜b$
D.$b＜a＜d＜c$
答案
7. D
解析
【分析】要比较a、b、c、d的大小，首先需要分别根据乘方、负整数指数幂、零次幂的运算法则计算出四个数的具体数值，再按照有理数大小比较的规则排序，最后匹配正确选项即可。计算时要注意区分有无括号时的运算顺序，避免符号出错。
【解析】分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.2^2$，先算乘方再取负，$0.2^2=0.04$，故$a=-0.04$；
2. 计算$b$：$b=-2^{-2}$，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$，故$b=-0.25$；
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{2})^{-2}$，根据负整数指数幂法则，得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
4. 计算$d$：$d=(-\frac{1}{5})^0$，根据零次幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$d=1$。
比较四个数的大小：$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】D
【知识点】零次幂运算；负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】本题是幂运算的基础题型，解题核心是准确掌握零次幂、负整数指数幂的运算法则，计算时注意运算顺序和底数的符号，避免因粗心出错。
【难度系数】0.7
【解析】分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.2^2$，先算乘方再取负，$0.2^2=0.04$，故$a=-0.04$；
2. 计算$b$：$b=-2^{-2}$，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25$，故$b=-0.25$；
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{2})^{-2}$，根据负整数指数幂法则，得$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
4. 计算$d$：$d=(-\frac{1}{5})^0$，根据零次幂法则$a^0=1(a≠0)$，得$d=1$。
比较四个数的大小：$-0.25 ＜ -0.04 ＜ 1 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ d ＜ c$。
【答案】D
【知识点】零次幂运算；负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】本题是幂运算的基础题型，解题核心是准确掌握零次幂、负整数指数幂的运算法则，计算时注意运算顺序和底数的符号，避免因粗心出错。
【难度系数】0.7
8. (东莞模拟)已知 $ m + 2n + 3 = 0 $，则 $ 2^m · 2^{2n} $ 的值为
$\frac{1}{8}$
。答案
8. $\frac{1}{8}$
解析
【分析】
首先观察所求式子是同底数幂相乘的形式，先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可先将所求式子化简为以2为底、指数是m+2n的幂。再结合已知等式m+2n+3=0，移项求出m+2n的值，最后代入化简后的式子，根据负整数指数幂的运算法则计算出结果即可。
【解析】
第一步：根据同底数幂的乘法法则化简所求式子：
$2^m · 2^{2n} = 2^{m + 2n}$
第二步：根据已知等式求$m+2n$的值：
已知$m + 2n + 3 = 0$，移项可得$m + 2n = -3$
第三步：将$m + 2n = -3$代入化简后的式子计算：
$2^{m + 2n} = 2^{-3}$
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），可得：
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
同底数幂乘法；负整数指数幂；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，解题核心是先利用同底数幂乘法法则对所求式子变形，再结合已知条件求出指数的值，代入后用负整数指数幂的规则计算即可，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察所求式子是同底数幂相乘的形式，先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可先将所求式子化简为以2为底、指数是m+2n的幂。再结合已知等式m+2n+3=0，移项求出m+2n的值，最后代入化简后的式子，根据负整数指数幂的运算法则计算出结果即可。
【解析】
第一步：根据同底数幂的乘法法则化简所求式子：
$2^m · 2^{2n} = 2^{m + 2n}$
第二步：根据已知等式求$m+2n$的值：
已知$m + 2n + 3 = 0$，移项可得$m + 2n = -3$
第三步：将$m + 2n = -3$代入化简后的式子计算：
$2^{m + 2n} = 2^{-3}$
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），可得：
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
同底数幂乘法；负整数指数幂；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，解题核心是先利用同底数幂乘法法则对所求式子变形，再结合已知条件求出指数的值，代入后用负整数指数幂的规则计算即可，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.若实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2,求$a^2 - b^2 + (cd)^{-1} ÷ (1 - 2m + m^2)$的值.
答案
9. 解:根据题意,知$a+b=0$,$cd=1$,$m=±2.$
原式$=(a+b)(a-b)+\frac{1}{cd}·\frac{1}{(1-m)^2}=0+1·\frac{1}{(1-m)^2}=\frac{1}{(1-m)^2}.$
当$m=2$时,原式$=\frac{1}{(1-2)^2}=1$;
当$m=-2$时,原式$=\frac{1}{(1+2)^2}=\frac{1}{9}.$
所以原式的值为1或$\frac{1}{9}.$
原式$=(a+b)(a-b)+\frac{1}{cd}·\frac{1}{(1-m)^2}=0+1·\frac{1}{(1-m)^2}=\frac{1}{(1-m)^2}.$
当$m=2$时,原式$=\frac{1}{(1-2)^2}=1$;
当$m=-2$时,原式$=\frac{1}{(1+2)^2}=\frac{1}{9}.$
所以原式的值为1或$\frac{1}{9}.$
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步先将题干的文字条件转化为数学等式：互为相反数的两数和为0，可得a+b=0；互为倒数的两数乘积为1，可得cd=1；绝对值为2的数有两个，可得m=±2。第二步观察待求式的结构，利用平方差公式分解a²-b²，利用负整数指数幂的运算法则改写(cd)⁻¹，利用完全平方公式分解分母1-2m+m²，先化简待求式简化计算。第三步将已知条件代入化简后的式子，分m=2和m=-2两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：根据题意可得：
$a+b=0$，$cd=1$，$\left|m\right|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
先化简原式：
$a^2 - b^2 + (cd)^{-1} ÷ (1 - 2m + m^2)$
$=(a+b)(a-b) + \frac{1}{cd} ÷ (1-m)^2$
将$a+b=0$，$cd=1$代入上式，得：
$=0 + 1 ÷ (1-m)^2 = \frac{1}{(1-m)^2}$
分情况代入计算：
①当$m=2$时，原式$=\frac{1}{(1-2)^2}=\frac{1}{1}=1$；
②当$m=-2$时，原式$=\frac{1}{[1-(-2)]^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
【答案】
1或$\frac{1}{9}$
【知识点】
相反数与倒数的性质；负整数指数幂运算；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查了基础代数概念的应用与代数式的化简运算，解题时优先化简代数式可以降低计算量，需要注意绝对值的取值存在两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步先将题干的文字条件转化为数学等式：互为相反数的两数和为0，可得a+b=0；互为倒数的两数乘积为1，可得cd=1；绝对值为2的数有两个，可得m=±2。第二步观察待求式的结构，利用平方差公式分解a²-b²，利用负整数指数幂的运算法则改写(cd)⁻¹，利用完全平方公式分解分母1-2m+m²，先化简待求式简化计算。第三步将已知条件代入化简后的式子，分m=2和m=-2两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：根据题意可得：
$a+b=0$，$cd=1$，$\left|m\right|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
先化简原式：
$a^2 - b^2 + (cd)^{-1} ÷ (1 - 2m + m^2)$
$=(a+b)(a-b) + \frac{1}{cd} ÷ (1-m)^2$
将$a+b=0$，$cd=1$代入上式，得：
$=0 + 1 ÷ (1-m)^2 = \frac{1}{(1-m)^2}$
分情况代入计算：
①当$m=2$时，原式$=\frac{1}{(1-2)^2}=\frac{1}{1}=1$；
②当$m=-2$时，原式$=\frac{1}{[1-(-2)]^2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
【答案】
1或$\frac{1}{9}$
【知识点】
相反数与倒数的性质；负整数指数幂运算；代数式化简求值
【点评】
本题综合考查了基础代数概念的应用与代数式的化简运算，解题时优先化简代数式可以降低计算量，需要注意绝对值的取值存在两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7
10.已知:①1 的任何次幂都为 1;②－1 的奇数次幂为－1;③－1 的偶数次幂为 1;④任何不等于零的数的零次幂都是 1.请问当 x为何值时,代数式$(2x+3)^{x+2025}$的值为 1?
答案
10. 解:①当$2x+3=1$时,$x=-1$,
此时$(2x+3)^{x+2\ 025}=1^{2\ 024}=1$,符合题意;
②当$2x+3=-1$时,$x=-2$,
此时$x+2\ 025=2\ 023$,是奇数,所以$x=-2$不符合题意;
③当$x+2\ 025=0$时,$x=-2\ 025$,
此时$2x+3=-4\ 047≠0$,$(2x+3)^{x+2\ 025}=(-4\ 047)^0=1$,符合题意.
综上所述,当$x=-1$或$x=-2\ 025$时,代数式$(2x+3)^{x+2\ 025}$的值为1.
此时$(2x+3)^{x+2\ 025}=1^{2\ 024}=1$,符合题意;
②当$2x+3=-1$时,$x=-2$,
此时$x+2\ 025=2\ 023$,是奇数,所以$x=-2$不符合题意;
③当$x+2\ 025=0$时,$x=-2\ 025$,
此时$2x+3=-4\ 047≠0$,$(2x+3)^{x+2\ 025}=(-4\ 047)^0=1$,符合题意.
综上所述,当$x=-1$或$x=-2\ 025$时,代数式$(2x+3)^{x+2\ 025}$的值为1.
解析
【分析】
要使代数式$(2x+3)^{x+2025}$的值为1，我们可结合题干给出的乘方相关性质，分三类情况逐一讨论：①底数为1时，任何次幂的结果都是1；②底数为-1时，只有指数为偶数，结果才是1；③指数为0时，只要底数不为0，结果就是1。我们分别对三类情况列式求解，再验证是否符合对应情况的限制条件，即可得到符合要求的x的值。
【解析】
解：分三种情况讨论：
① 当$2x+3=1$时，解得$x=-1$，
此时$x+2025=-1+2025=2024$，
则$(2x+3)^{x+2025}=1^{2024}=1$，符合题意；
② 当$2x+3=-1$时，解得$x=-2$，
此时$x+2025=-2+2025=2023$，是奇数，
则$(2x+3)^{x+2025}=(-1)^{2023}=-1$，不符合题意，舍去；
③ 当$x+2025=0$时，解得$x=-2025$，
此时$2x+3=2×(-2025)+3=-4047≠0$，
则$(2x+3)^{x+2025}=(-4047)^0=1$，符合题意。
综上所述，满足条件的x的值为-1或-2025。
【答案】
$x=-1$或$x=-2025$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是梳理清楚幂的结果为1的三类情况，讨论时要注意每种情况的限制条件，避免漏解或多解，尤其要牢记零指数幂要求底数不为0，底数为-1时需额外验证指数的奇偶性。
【难度系数】
0.7
要使代数式$(2x+3)^{x+2025}$的值为1，我们可结合题干给出的乘方相关性质，分三类情况逐一讨论：①底数为1时，任何次幂的结果都是1；②底数为-1时，只有指数为偶数，结果才是1；③指数为0时，只要底数不为0，结果就是1。我们分别对三类情况列式求解，再验证是否符合对应情况的限制条件，即可得到符合要求的x的值。
【解析】
解：分三种情况讨论：
① 当$2x+3=1$时，解得$x=-1$，
此时$x+2025=-1+2025=2024$，
则$(2x+3)^{x+2025}=1^{2024}=1$，符合题意；
② 当$2x+3=-1$时，解得$x=-2$，
此时$x+2025=-2+2025=2023$，是奇数，
则$(2x+3)^{x+2025}=(-1)^{2023}=-1$，不符合题意，舍去；
③ 当$x+2025=0$时，解得$x=-2025$，
此时$2x+3=2×(-2025)+3=-4047≠0$，
则$(2x+3)^{x+2025}=(-4047)^0=1$，符合题意。
综上所述，满足条件的x的值为-1或-2025。
【答案】
$x=-1$或$x=-2025$
【知识点】
零指数幂的性质、有理数的乘方、分类讨论思想
【点评】
本题解题核心是梳理清楚幂的结果为1的三类情况，讨论时要注意每种情况的限制条件，避免漏解或多解，尤其要牢记零指数幂要求底数不为0，底数为-1时需额外验证指数的奇偶性。
【难度系数】
0.7
