例1 (人教八下 P63 改编)如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,O 又是正方形 $ A_1B_1C_1O $ 的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,$ OA_1 $,$ OC_1 $ 分别与正方形 ABCD 的边 AB,BC 交于点 E,F.
(1)猜想线段 OE,OF 的数量关系,并进行证明.

(2)若 $ AE = 2 $,$ CF = 4 $,则四边形 OEBF 的面积为.
变式1 在正方形 $ A_1B_1C_1O $ 绕点 O 旋转的过程中,四边形 BEO F 的面积(填“会”或“不会”)发生变化.
变式2 若正方形 ABCD 的面积为 $ S_1 $,四边形 BEOF 的面积为 $ S_2 $,则 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 之间的数量关系为.
(3)连接 EF.
①若 $ OE = 3 $,则 EF 的长为, $ \triangle OEF $ 的面积为;
②若 $ OE = \sqrt{5} $,$ AE = \sqrt{2} $,则正方形 ABCD 的边长为,正方形 ABCD 的面积为.

(1) OE=OF，证明见解析；(2) 9；变式1：不会；变式2：S₁=4S₂；(3)① 3√2，9/2；② 3√2，18

(1) OE=OF。证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=90°。
∵四边形A₁B₁C₁O是正方形，
∴∠A₁OC₁=90°，即∠EOF=90°。
∴∠AOE+∠EOB=∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF。在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBF，OA=OB，∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴OE=OF。
(2) 由(1)知△AOE≌△BOF，
∴AE=BF=2。
∵CF=4，BC=BF+FC=2+4=6，
∴正方形边长为6。△AOB面积=1/4×正方形ABCD面积=1/4×6²=9，四边形OEBF面积=△AOB面积=9。
变式1：四边形BEOF面积始终等于△AOB面积，为定值，不会变化。
变式2：S₁=4S₂。
(3)①△OEF为等腰直角三角形，EF=OE√2=3√2，面积=1/2×OE×OF=1/2×3×3=9/2。
②设正方形边长为a，OA=(a√2)/2，在△AOE中，由余弦定理：OE²=OA²+AE²-2·OA·AE·cos45°，即(√5)²=( (a√2)/2 )²+(√2)²-2·( (a√2)/2 )·√2·(√2/2)，化简得a²-2√2a-6=0，解得a=3√2（负根舍去），面积=(3√2)²=18。

变式 如图,在正方形 ABCD 中,M 为对角线 BD 上任意一点(不与点 B,D 重合),连接 CM,过点 M 作 $ MN ⊥ CM $,交线段 AB 于点 N.
(1)求证:$ MN = MC $;
(2)若 $ AD = 6 $,$ BD = 3DM $,求 BN 的长.

(1)见解析；(2)2

(1)过点M作ME⊥BC于E，MF⊥AB于F。
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ABD=∠CBD=45°，ME=MF（角平分线上的点到两边距离相等），四边形BFME是正方形，∠EMF=90°。
∵MN⊥CM，∴∠CMN=90°，∴∠CME+∠EMN=∠NMF+∠EMN，即∠CME=∠NMF。
在△CME和△NMF中，∠CEM=∠NFM=90°，ME=MF，∠CME=∠NMF，∴△CME≌△NMF(ASA)，∴MN=MC。
(2)∵AD=6，正方形ABCD中BD=√(AD²+AB²)=6√2。
∵BD=3DM，∴DM=BD/3=2√2，BM=BD-DM=4√2。
∵ME⊥BC，∠MBE=45°，∴△BME是等腰直角三角形，ME=BE=BM/√2=4√2/√2=4。
∴EC=BC-BE=6-4=2。
由(1)△CME≌△NMF得NF=EC=2。
∵四边形BFME是正方形，∴BF=MF=ME=4，∴BN=BF-NF=4-2=2。