6. (2022 河南，14)如图，将扇形 $AOB$ 沿 $OB$ 方向平移，使点 $O$ 移到 $OB$ 的中点 $O'$ 处，得到扇形 $A'O'B'$。若 $\angle O = 90^{\circ}$，$OA = 2$，则阴影部分的面积为。

2

由题意知，扇形AOB沿OB方向平移，点O移到OB中点O'处，OA=2，∠AOB=90°。平移后扇形A'O'B'与原扇形AOB半径相等（均为2），圆心角相等（均为90°），故面积相等（均为$\frac{1}{4}\pi×2^2=\pi$）。
阴影部分面积等于原扇形AOB面积加上梯形AAB'B面积减去扇形A'O'B'面积。由于两扇形面积相等，抵消后阴影面积即为梯形AAB'B面积。梯形AAB'B中，上底AA'=OO'=1（平移距离），下底BB'=1，高为OA=2，面积为$\frac{(1+1)×2}{2}=2$。

例4 如图，将含 $60^{\circ}$ 角的直角三角板 $ABC$ 绕顶点 $A$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到 $\triangle AB'C'$，点 $B$ 经过的路径为 $\overset{\frown}{BB'}$。若 $AC = 3$，则图中阴影部分的面积是。(结果保留 $\pi$)

$\frac{9\pi}{2}$

1. 首先，在$Rt\triangle ABC$中：
已知$\angle BAC = 60^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$。
根据三角函数关系$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}$，则$AB=\frac{AC}{\cos\angle BAC}$。
因为$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以$AB = 6$。
2. 然后，根据旋转的性质：
由旋转可知$\triangle ABC\cong\triangle AB'C'$。
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形ABB'}+S_{\triangle AB'C'}-S_{\triangle ABC}$。
由于$S_{\triangle AB'C'}=S_{\triangle ABC}$，所以$S_{阴影}=S_{扇形ABB'}$。
3. 最后，根据扇形面积公式$S = \frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$是圆心角的度数，$r$是半径）：
这里$n = 45^{\circ}$，$r = AB = 6$。
代入公式可得$S_{扇形ABB'}=\frac{45\pi×6^{2}}{360}$。
计算$\frac{45\pi×36}{360}=\frac{9\pi}{2}$。
所以图中阴影部分的面积是$\frac{9\pi}{2}$。

训练 7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AC$ 为直径的 $\odot O$ 与 $AB$，$BC$ 分别交于点 $D$，$E$，连接 $AE$，$DE$，若 $\angle BED = 45^{\circ}$，$AB = 2$，则阴影部分的面积为 ()

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{2\pi}{3}$
D.$\pi$

A

1. 首先，根据圆内接四边形的性质：
因为四边形$ACED$是圆$\odot O$的内接四边形，所以$\angle BED=\angle C$（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角）。
已知$\angle BED = 45^{\circ}$，则$\angle C = 45^{\circ}$。
又因为$AB = AC = 2$，$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$，所以$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=90^{\circ}$。
2. 然后，连接$OE$：
因为$OA = OE$，$\angle AOE = 2\angle C$（同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍），$\angle C = 45^{\circ}$，所以$\angle AOE = 90^{\circ}$。
已知$AC = 2$，则$OA=OE = 1$。
3. 最后，求阴影部分面积：
阴影部分面积$S_{阴影}=S_{扇形AOE}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n$是圆心角的度数，$r$是半径），这里$n = 90^{\circ}$，$r = 1$。
则$S_{扇形AOE}=\frac{90\pi×1^{2}}{360}=\frac{\pi}{4}$。
所以阴影部分的面积为$\frac{\pi}{4}$，答案是A。

8. 如图，$AB$ 为半圆的直径，且 $AB = 2$，将半圆绕点 $B$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$，点 $A$ 的对应点为 $A'$，$\overset{\frown}{AA'}$ 为点 $A$ 经过的路径，则图中阴影部分的面积为。(结果保留 $\pi$)

$\frac{2\pi}{3}$

由题意知，AB为半圆直径，AB=2，半圆半径为1。将半圆绕点B顺时针旋转60°，点A对应点为A'，则BA'=BA=2，∠ABA'=60°。
阴影部分面积可通过“旋转后半圆面积 + 扇形ABA'面积 - 原半圆面积”计算。因为旋转后半圆与原半圆面积相等（均为$\frac{1}{2}\pi×1^2 = \frac{\pi}{2}$），故阴影部分面积等于扇形ABA'面积。
扇形ABA'半径为AB=2，圆心角60°，其面积为$\frac{60}{360}\pi×2^2 = \frac{1}{6}\pi×4 = \frac{2\pi}{3}$。

例5 如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2\sqrt{2}$，以点 $A$ 为圆心，$AC$ 长为半径画弧，交 $AB$ 于点 $E$，以点 $B$ 为圆心，$BC$ 长为半径画弧，交 $AB$ 于点 $F$，则图中阴影部分的面积是 ()

A.$\pi - 2$
B.$2\pi - 2$
C.$2\pi - 4$
D.$4\pi - 4$

C

1. 首先求$\triangle ABC$的面积：
已知$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2\sqrt{2}$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = AC$，$h = BC$），则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC$。
把$AC = BC = 2\sqrt{2}$代入可得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
2. 然后求扇形$ACF$和扇形$BCE$的面积：
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle A=\angle B = 45^{\circ}$，$AC = BC = 2\sqrt{2}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径）。
对于扇形$ACF$，$n = 45^{\circ}$，$r = AC = 2\sqrt{2}$，则$S_{扇形ACF}=\frac{45\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}$；对于扇形$BCE$，$n = 45^{\circ}$，$r = BC = 2\sqrt{2}$，则$S_{扇形BCE}=\frac{45\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}$。
计算$S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}$：
$S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}=\frac{45\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}+\frac{45\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}$。
先计算$(2\sqrt{2})^{2}=8$，则$S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}=\frac{45\pi×8}{360}+\frac{45\pi×8}{360}$。
$\frac{45\pi×8}{360}= \pi$，所以$S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}=2\pi$。
3. 最后求阴影部分面积：
观察图形可知$S_{阴影}=S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}-S_{\triangle ABC}$。
把$S_{扇形ACF}+S_{扇形BCE}=2\pi$，$S_{\triangle ABC}=4$代入可得：$S_{阴影}=2\pi - 4$。
所以答案是C。

训练 9. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2$，以点 $A$ 为圆心，$AC$ 长为半径画弧，交 $AB$ 于点 $E$，以 $BC$ 为直径的半圆交 $AB$ 于点 $D$，则图中阴影部分的面积为。(结果保留 $\pi$)

1

1. 首先，计算$\triangle ABC$的面积和扇形$ACE$的面积：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = AC$，$h = BC$），所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
又因为$\angle A=\angle B = 45^{\circ}$（等腰直角三角形性质），$AC = 2$，根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（其中$n = 45^{\circ}$，$r = AC = 2$），则$S_{扇形ACE}=\frac{45\pi×2^{2}}{360}=\frac{\pi}{2}$。
2. 然后，连接$CD$：
因为$BC$是半圆的直径，所以$\angle CDB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），又因为$AC = BC$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$CD$平分$\angle ACB$，$AD = BD$（等腰直角三角形三线合一）。
那么$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（等底等高的三角形面积关系），$S_{\triangle BCD}=1$。
半圆的半径$r = 1$，根据半圆面积公式$S=\frac{1}{2}\pi r^{2}$，半圆面积$S_{半圆}=\frac{1}{2}\pi×1^{2}=\frac{\pi}{2}$。
3. 最后，计算阴影部分面积：
阴影部分面积$S = S_{半圆}+S_{\triangle BCD}-S_{扇形ACE}$。
把$S_{半圆}=\frac{\pi}{2}$，$S_{\triangle BCD}=1$，$S_{扇形ACE}=\frac{\pi}{2}$代入可得：$S = 1$。
故图中阴影部分的面积为$1$。