例1 有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉。把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图所示，$\angle ABC = 90^{\circ}$，点 $M$，$N$ 分别在射线 $BA$，$BC$ 上，$MN$ 长度始终保持不变，$MN = 4$，$E$ 为 $MN$ 的中点，点 $D$ 到 $BA$，$BC$ 的距离分别为 $4$ 和 $2$。在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 $DE$ 的最小值为___________。

$2\sqrt{5}-2$

训练 1. 如图，已知 $AB = AC = AD$，$\angle CAD = 20^{\circ}$，则 $\angle CBD=$$^{\circ}$。

10

∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上。∠CAD是弧CD所对的圆心角，∠CBD是弧CD所对的圆周角。
∵∠CAD=20°，
∴∠CBD=1/2∠CAD=10°。

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 3$，$E$ 为 $CD$ 边上一点，将 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 折叠，使点 $D$ 落在点 $D'$ 处，连接 $CD'$，则 $CD'$ 的最小值为。

$\sqrt{34}-3$

本题可先根据折叠的性质得出点$D'$的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系求出$CD'$的最小值。
步骤一：分析点$D'$的运动轨迹
根据折叠的性质可知$\triangle ADE\cong\triangle AD'E$，则$AD = AD' = 3$，$\angle AD'E=\angle D = 90^{\circ}$。
所以点$D'$在以$A$为圆心，$3$为半径的圆上，同时$\angle AD'E = 90^{\circ}$，说明$D'$在以$AE$中点为圆心（此步主要依据是直角三角形斜边中线定理等相关推论确定轨迹为圆，这里从整体思路出发），$AE$长度一半为半径的圆上不太直接用于本题，我们换个角度，因为$AD'$长度固定为$3$，所以点$D'$在以$A$为圆心，$3$为半径的圆上运动。
步骤二：求出$AC$的长度
在矩形$ABCD$中，$\angle D = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$（因为$BC = AD = 3$，$AB = 5$），可得$AC=\sqrt{5^{2}+3^{2}}=\sqrt{34}$。
步骤三：求出$CD'$的最小值
因为点$D'$在以$A$为圆心，$3$为半径的圆上运动，根据点与圆的位置关系可知$AC - AD'\leqslant CD'\leqslant AC + AD'$，当$A$，$D'$，$C$三点共线时，$CD'$取得最小值，此时$CD'=AC - AD'=\sqrt{34}-3$。

3. 将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中 $\angle DCF = 45^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$。$O$ 为 $AB$ 的中点，连接 $OD$，$DF = BC = 3$，将 $\triangle DCF$ 绕点 $C$ 旋转，则线段 $OD$ 的最小值为，最大值为。

3√2 - √3，3√2 + √3

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，可得AC=√3，AB=2√3，O为AB中点，坐标为(√3/2, 3/2)，OC=√[(√3/2)²+(3/2)²]=√3。△DCF为等腰直角三角形，∠DCF=45°，DF=3，故DF=CF=3，CD=√(DF²+CF²)=3√2。将△DCF绕点C旋转，点D轨迹是以C为圆心，3√2为半径的圆。O为定点，OC=√3＜3√2，因此OD最小值=3√2 - √3，最大值=3√2 + √3。

4. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，$P$ 为平面内一动点，且 $AP = 2$，连接 $BP$，取 $BP$ 的中点 $G$，连接 $CG$，则 $CG$ 的最大值是()

A.$\dfrac{7}{2}$
B.$2$
C.$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
D.$1$

A

以C为原点，BC所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立坐标系。则C(0,0)，B(4,0)，A(0,3)。取AB中点O，AB=5，故O(2, 3/2)。G为BP中点，O为AB中点，
∴OG为△ABP中位线，OG=1/2AP=1，即G在以O为圆心，1为半径的圆上。CO=√(2²+(3/2)²)=5/2，CG最大值=CO+1=5/2+1=7/2。