4. (2025 郑州一模)共享电动车是一种新理念下的交通工具, 扫码开锁, 循环共享. 某天早上王老师想骑共享电动车去学校, 有 A, B 两种品牌的共享电动车可选择. 已知: A 品牌电动车骑行 $ x $ min, 收费 $ y _ { \mathrm { A } } $ 元, 且 $ y _ { \mathrm { A } } = 0.4 x $; B 品牌电动车骑行 $ x $ min, 收费 $ y _ { \mathrm { B } } $ 元, 且 $ y _ { \mathrm { B } } = \left\{ \begin{array} { l } { 6 ( 0 ＜ x \leq 10 ), } \\ { a x + b ( x ＞ 10 ). } \end{array} \right. $ A, B 两种品牌电动车所收费用 $ y $ 与骑行时间 $ x $ 之间的函数图象如图所示.
(1)说明图中函数 $ y _ { \mathrm { A } } $ 与 $ y _ { \mathrm { B } } $ 图象的交点 $ P $ 表示的实际意义.
(2)已知王老师家与学校的距离为 9 km, 且王老师骑电动车的平均速度为 300 m/min, 那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱? 请说明理由.
(3)请直接写出当 $ x $ 为何值时, 两种品牌共享电动车收费相差 3 元.
(1)说明图中函数 $ y _ { \mathrm { A } } $ 与 $ y _ { \mathrm { B } } $ 图象的交点 $ P $ 表示的实际意义.
(2)已知王老师家与学校的距离为 9 km, 且王老师骑电动车的平均速度为 300 m/min, 那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱? 请说明理由.
(3)请直接写出当 $ x $ 为何值时, 两种品牌共享电动车收费相差 3 元.
答案
(1) 骑行20分钟时，A、B两种品牌电动车收费相同，均为8元；
(2) 选择B品牌更省钱；
(3) 7.5或35
(2) 选择B品牌更省钱；
(3) 7.5或35
解析
(1) 交点P表示骑行20分钟时，A、B两种品牌共享电动车的收费相同，均为8元。
(2) 王老师骑行时间：9km=9000m，$x=\frac{9000}{300}=30$min。
A品牌费用：$y_A=0.4×30=12$元。
B品牌：当$x＞10$时，设$y_B=ax+b$，将(10,6)、(20,8)代入得$\begin{cases}10a+b=6\\20a+b=8\end{cases}$，解得$a=0.2,b=4$，故$y_B=0.2x+4$。当$x=30$时，$y_B=0.2×30+4=10$元。
因为10＜12，所以选B品牌更省钱。
(3) 分情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，$y_B=6$，$|0.4x - 6|=3$，解得$x=7.5$（$x=22.5$舍去）；
② 当$x＞10$时，$y_B=0.2x+4$，$|0.4x-(0.2x+4)|=3$，解得$x=35$（$x=5$舍去）。
综上，$x=7.5$或35。
(2) 王老师骑行时间：9km=9000m，$x=\frac{9000}{300}=30$min。
A品牌费用：$y_A=0.4×30=12$元。
B品牌：当$x＞10$时，设$y_B=ax+b$，将(10,6)、(20,8)代入得$\begin{cases}10a+b=6\\20a+b=8\end{cases}$，解得$a=0.2,b=4$，故$y_B=0.2x+4$。当$x=30$时，$y_B=0.2×30+4=10$元。
因为10＜12，所以选B品牌更省钱。
(3) 分情况讨论：
① 当$0＜x≤10$时，$y_B=6$，$|0.4x - 6|=3$，解得$x=7.5$（$x=22.5$舍去）；
② 当$x＞10$时，$y_B=0.2x+4$，$|0.4x-(0.2x+4)|=3$，解得$x=35$（$x=5$舍去）。
综上，$x=7.5$或35。
5. (2024 河南,21)为响应“全民植树增绿, 共建美丽中国”的号召, 学校组织学生到郊外参加义务植树活动, 并准备了 A, B 两种食品作为午餐. 这两种食品每包质量均为 50 g, 营养成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和 70 g 蛋白质, 应选用 A, B 两种食品各多少包?
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多. 若每份午餐选用这两种食品共 7 包, 要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 90 g, 且热量最低, 应如何选用这两种食品?
(1)若要从这两种食品中摄入 4 600 kJ 热量和 70 g 蛋白质, 应选用 A, B 两种食品各多少包?
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多. 若每份午餐选用这两种食品共 7 包, 要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 90 g, 且热量最低, 应如何选用这两种食品?
答案
(1) A种食品4包，B种食品2包
(2) A
(2) A
解析
(1) 设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得到以下方程组：
$700x + 900y = 4600$
$10x + 15y = 70$
通过化简和求解：
$14x + 18y = 92$
$10x + 15y = 70$
化简第一个方程：
$7x + 9y = 46$
化简第二个方程：
$2x + 3y = 14$
解第二个方程：
$2x + 3y = 14 \implies 3y = 14 - 2x \implies y = \frac{14 - 2x}{3}$
代入第一个方程：
$7x + 9 ( \frac{14 - 2x}{3} ) = 46$
$7x + 42 - 6x = 46$
$x = 4$
代入y的表达式：
$y = \frac{14 - 2 × 4}{3} = 2$
所以，选用A种食品4包，B种食品2包。
(2) 设选用A种食品a包，B种食品b包，根据题意，有：
$a + b = 7$
$10a + 15b \geq 90$
通过求解：
$a + b = 7 \implies b = 7 - a$
代入不等式：
$10a + 15(7 - a) \geq 90$
$10a + 105 - 15a \geq 90$
$-5a + 105 \geq 90$
$-5a \geq -15$
$a \leq 3$
为了热量最低，计算热量表达式：
$700a + 900b = 700a + 900(7 - a) = 700a + 6300 - 900a = 6300 - 200a$
当a = 3时，热量最低：
$a = 3, b = 4$
所以，选用A种食品3包，B种食品4包。
$700x + 900y = 4600$
$10x + 15y = 70$
通过化简和求解：
$14x + 18y = 92$
$10x + 15y = 70$
化简第一个方程：
$7x + 9y = 46$
化简第二个方程：
$2x + 3y = 14$
解第二个方程：
$2x + 3y = 14 \implies 3y = 14 - 2x \implies y = \frac{14 - 2x}{3}$
代入第一个方程：
$7x + 9 ( \frac{14 - 2x}{3} ) = 46$
$7x + 42 - 6x = 46$
$x = 4$
代入y的表达式：
$y = \frac{14 - 2 × 4}{3} = 2$
所以，选用A种食品4包，B种食品2包。
(2) 设选用A种食品a包，B种食品b包，根据题意，有：
$a + b = 7$
$10a + 15b \geq 90$
通过求解：
$a + b = 7 \implies b = 7 - a$
代入不等式：
$10a + 15(7 - a) \geq 90$
$10a + 105 - 15a \geq 90$
$-5a + 105 \geq 90$
$-5a \geq -15$
$a \leq 3$
为了热量最低，计算热量表达式：
$700a + 900b = 700a + 900(7 - a) = 700a + 6300 - 900a = 6300 - 200a$
当a = 3时，热量最低：
$a = 3, b = 4$
所以，选用A种食品3包，B种食品4包。
