3. 将点$A(2,4)$先向左平移3个单位长度,再向下平移4个单位长度,则平移后点$A$的对应点的坐标为
$(-1, 0)$
.答案
根据平移的性质，点$A(2, 4)$向左平移$3$个单位长度，横坐标减少$3$，得到新的坐标$(2-3, 4) = (-1, 4)$。
再将点$(-1, 4)$向下平移$4$个单位长度，纵坐标减少$4$，得到新的坐标$ (-1, 4-4) = (-1, 0)$。
故平移后点$A$的对应点的坐标为$(-1, 0)$。
再将点$(-1, 4)$向下平移$4$个单位长度，纵坐标减少$4$，得到新的坐标$ (-1, 4-4) = (-1, 0)$。
故平移后点$A$的对应点的坐标为$(-1, 0)$。
4. 已知点$B(4,3)$,则点$B$关于$x$轴对称的点的坐标为
(4,-3)
,点$B$关于$y$轴对称的点的坐标为(-4,3)
,关于原点对称的点的坐标为(-4,-3)
.答案
(4,-3);(-4,3);(-4,-3)
例1 在平面直角坐标系中,点$O$是坐标原点,点$P$的坐标为$(m,2 - m)$.
(1)若点$P$位于第一象限,则$m$的取值范围是
(2)若点$P$在$y$轴上,则$m$的值为
(3)若点$P$到$x$轴的距离为2,则点$P$的坐标为
(4)若点$P$在第一、三象限的角平分线上,则$m$的值为
(5)若点$P$到原点的距离为3,则$m$的值为
(6)若点$P$向右平移3个单位长度恰好落在直线$y = x$上,则点$P$的坐标为
(1)若点$P$位于第一象限,则$m$的取值范围是
$0＜m＜2$
;(2)若点$P$在$y$轴上,则$m$的值为
$0$
;(3)若点$P$到$x$轴的距离为2,则点$P$的坐标为
$(0,2)$或$(4,-2)$
;(4)若点$P$在第一、三象限的角平分线上,则$m$的值为
$1$
;(5)若点$P$到原点的距离为3,则$m$的值为
$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
;(6)若点$P$向右平移3个单位长度恰好落在直线$y = x$上,则点$P$的坐标为
$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
.答案
(1) $0＜m＜2$；(2) $0$；(3) $(0,2)$或$(4,-2)$；(4) $1$；(5) $\frac{2+\sqrt{14}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$；(6) $(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
解析
(1) 第一象限点横纵坐标均为正，即$m＞0$且$2 - m＞0$，解得$0＜m＜2$。
(2) y轴上点横坐标为0，故$m=0$。
(3) 点到x轴距离为纵坐标绝对值，$|2 - m|=2$，解得$m=0$或$m=4$，坐标为$(0,2)$或$(4,-2)$。
(4) 第一、三象限角平分线$y=x$，则$m=2 - m$，解得$m=1$。
(5) 到原点距离为3，$\sqrt{m^2+(2 - m)^2}=3$，平方得$2m^2 - 4m - 5=0$，求根公式得$m=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$。
(6) 右移3个单位后坐标$(m + 3,2 - m)$在$y=x$上，即$2 - m=m + 3$，解得$m=-\frac{1}{2}$，坐标$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。
(2) y轴上点横坐标为0，故$m=0$。
(3) 点到x轴距离为纵坐标绝对值，$|2 - m|=2$，解得$m=0$或$m=4$，坐标为$(0,2)$或$(4,-2)$。
(4) 第一、三象限角平分线$y=x$，则$m=2 - m$，解得$m=1$。
(5) 到原点距离为3，$\sqrt{m^2+(2 - m)^2}=3$，平方得$2m^2 - 4m - 5=0$，求根公式得$m=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$。
(6) 右移3个单位后坐标$(m + 3,2 - m)$在$y=x$上，即$2 - m=m + 3$，解得$m=-\frac{1}{2}$，坐标$(-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。
例2 (1)如图1,在平面直角坐标系中,$\triangle AOB$是腰长为6的等腰直角三角形,则点$A$的坐标是
$(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
.答案
$(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
解析
1. 首先，过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$：
因为$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$\angle AOB = 135^{\circ}$，$\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle OAC=\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle ACO = 90^{\circ}$，所以$\triangle ACO$是等腰直角三角形，$AC = OC$。
又因为$OA = 6$，根据勾股定理$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$（在$Rt\triangle ACO$中，设$AC = OC=x$）。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AC$，$b = OC$，$c = OA$），则$x^{2}+x^{2}=6^{2}$。
2. 然后，化简方程：
方程$x^{2}+x^{2}=6^{2}$可化为$2x^{2}=36$。
两边同时除以$2$得$x^{2}=18$。
解得$x=\pm3\sqrt{2}$，因为点$A$在第二象限，所以$x=- 3\sqrt{2}$，$y = 3\sqrt{2}$。
所以点$A$的坐标是$(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
因为$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$\angle AOB = 135^{\circ}$，$\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle OAC=\angle AOC = 45^{\circ}$，$\angle ACO = 90^{\circ}$，所以$\triangle ACO$是等腰直角三角形，$AC = OC$。
又因为$OA = 6$，根据勾股定理$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$（在$Rt\triangle ACO$中，设$AC = OC=x$）。
由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AC$，$b = OC$，$c = OA$），则$x^{2}+x^{2}=6^{2}$。
2. 然后，化简方程：
方程$x^{2}+x^{2}=6^{2}$可化为$2x^{2}=36$。
两边同时除以$2$得$x^{2}=18$。
解得$x=\pm3\sqrt{2}$，因为点$A$在第二象限，所以$x=- 3\sqrt{2}$，$y = 3\sqrt{2}$。
所以点$A$的坐标是$(-3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
(2)如图2,$O$是坐标原点,菱形$ABOC$的顶点$B$在$x$轴的负半轴上,顶点$C$的坐标为$(3,4)$,则顶点$A$的坐标为
(-2,4)
.答案
(-2,4)
解析
1. 首先，求$OC$的长度：
已知$C(3,4)$，根据两点间距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$（对于点$O(0,0)$和$C(3,4)$），则$OC=\sqrt{(3 - 0)^2+(4 - 0)^2}$。
由$OC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
因为四边形$ABOC$是菱形，所以$OC=AC = OB=AB = 5$，且$AC// OB$（$OB$在$x$轴上）。
2. 然后，求点$A$的坐标：
由于$AC// x$轴，点$C$的纵坐标为$4$，所以点$A$的纵坐标与点$C$的纵坐标相同，即$y_A = 4$。
又因为$AC = 5$，点$C$的横坐标为$3$，$AC$向左平移$5$个单位长度得到$A$点（因为$B$在$x$轴负半轴，$AC// x$轴），根据平移规律“左减右加，上加下减”，点$A$的横坐标$x_A=3−5=-2$。
所以顶点$A$的坐标为$(-2,4)$。
(3)矩形$ABCD$在平面直角坐标系中的位置如图3所示,已知$AD = 10$,点$B$的坐标为$(-6,6)$,则点$C$的坐标为
(4,6)
.答案
(4,6)
解析
1. 首先，根据矩形的性质：
矩形$ABCD$中，$AD = BC$，$AB = CD$，$AB// CD$，$AD// BC$。已知$AD = 10$，点$B$的坐标为$(-6,6)$。
因为$AD = 10$，$A$、$D$在$x$轴上，$OA$的长度为点$B$横坐标的绝对值，即$\vert x_{B}\vert=6$，那么$OD=AD - OA$。
2. 然后，计算$OD$的长度：
由$AD = 10$，$OA = 6$，可得$OD=AD - OA=10 - 6 = 4$。
又因为$BC// AD$，$BC = AD = 10$，$AB// CD$，$AB⊥ x$轴，$CD⊥ x$轴，点$B$的纵坐标$y_{B}=6$，点$C$与点$B$的纵坐标相同（$BC// x$轴，平行于$x$轴的直线上的点纵坐标相等）。
点$D$在$x$轴正半轴，$OD = 4$，所以点$C$的横坐标为$4$，纵坐标为$6$。
所以点$C$的坐标为$(4,6)$。
(4)如图4,正方形$ABCD$的顶点$A(1 - \sqrt{3},0),B(0,1)$,则点$C$的坐标为(
A.$(-\sqrt{2},2)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},\sqrt{2})$
D.$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
B
)A.$(-\sqrt{2},2)$
B.$(-1,\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},\sqrt{2})$
D.$(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
答案
B
解析
1. 首先，求$AB$的斜率$k_{AB}$和长度$\vert AB\vert$：
已知$A(1 - \sqrt{3},0)$，$B(0,1)$，根据两点间斜率公式$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，则$k_{AB}=\frac{1 - 0}{0-(1 - \sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$\vert AB\vert=\sqrt{(1 - \sqrt{3}-0)^2+(0 - 1)^2}=\sqrt{1 - 2\sqrt{3}+3 + 1}=\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$（这里也可通过向量法）。
设$\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)=(\sqrt{3}-1,1)$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AB}$垂直，设$\overrightarrow{BC}=(x,y)$，根据$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2 = 0$（$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$），则$(\sqrt{3}-1)x + y = 0$，即$y=(1 - \sqrt{3})x$，且$\vert\overrightarrow{BC}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert$，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2+1^2}=\sqrt{3 - 2\sqrt{3}+1 + 1}=\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$，$\vert\overrightarrow{BC}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$。
另一种方法（旋转法）：
已知$A(1 - \sqrt{3},0)$，$B(0,1)$，将$\overrightarrow{AB}$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\overrightarrow{BC}$。
设$z_1=(1 - \sqrt{3})+0i$，$z_2 = 0 + 1i$，$\overrightarrow{AB}=z_2 - z_1=(\sqrt{3}-1)+i$。
复数乘法的几何意义：若复数$z = a+bi$，旋转$90^{\circ}$后，$z'=-b + ai$（逆时针旋转$90^{\circ}$）。
设$C(x,y)$，$\overrightarrow{BC}=(x,y - 1)$，$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3}-1,1)$。
因为$\overrightarrow{BC}$是$\overrightarrow{AB}$绕$B$点逆时针旋转$90^{\circ}$得到的，根据向量旋转公式：若$\overrightarrow{a}=(m,n)$，绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$后$\overrightarrow{a}'=(-n,m)$，这里绕$B(0,1)$旋转，$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{3}-1,1)$，则$\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3}-1)$。
又因为$\overrightarrow{BC}=(x - 0,y - 1)$。
2. 然后，根据向量关系求$C$点坐标：
由$\overrightarrow{BC}=(x - 0,y - 1)$，且$\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3}-1)$。
则$\begin{cases}x=-1\\y - 1=\sqrt{3}-1\end{cases}$。
所以$C$点坐标为$(-1,\sqrt{3})$，答案是B。
(5)如图5,在平面直角坐标系中,正六边形$ABCDEF$的中心与原点$O$重合,顶点$A,D$在$x$轴上.若该正六边形的外接圆的半径是4,则顶点$C$的坐标为
$(-2,2\sqrt{3})$
.答案
$(-2,2\sqrt{3})$
解析
1. 首先，连接$OC$：
因为正六边形$ABCDEF$的中心与原点$O$重合，外接圆半径$r = OC = 4$。
正六边形的中心角$\angle AOB=\angle BOC = 60^{\circ}$，所以$\angle AOC = 120^{\circ}$。
2. 然后，过点$C$作$CM⊥ x$轴于点$M$：
在$Rt\triangle OCM$中，$\angle COM = 180^{\circ}-\angle AOC=60^{\circ}$。
根据三角函数的定义：
对于$\angle COM$，$\sin\angle COM=\frac{CM}{OC}$，$\cos\angle COM=\frac{OM}{OC}$。
已知$OC = 4$，由$\sin60^{\circ}=\frac{CM}{OC}$，可得$CM = OC·\sin60^{\circ}$，根据$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$CM = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
由$\cos60^{\circ}=\frac{OM}{OC}$，可得$OM = OC·\cos60^{\circ}$，根据$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$OM = 4×\frac{1}{2}=2$。
又因为点$C$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正。
所以顶点$C$的坐标为$(-2,2\sqrt{3})$。
因为正六边形$ABCDEF$的中心与原点$O$重合，外接圆半径$r = OC = 4$。
正六边形的中心角$\angle AOB=\angle BOC = 60^{\circ}$，所以$\angle AOC = 120^{\circ}$。
2. 然后，过点$C$作$CM⊥ x$轴于点$M$：
在$Rt\triangle OCM$中，$\angle COM = 180^{\circ}-\angle AOC=60^{\circ}$。
根据三角函数的定义：
对于$\angle COM$，$\sin\angle COM=\frac{CM}{OC}$，$\cos\angle COM=\frac{OM}{OC}$。
已知$OC = 4$，由$\sin60^{\circ}=\frac{CM}{OC}$，可得$CM = OC·\sin60^{\circ}$，根据$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$CM = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
由$\cos60^{\circ}=\frac{OM}{OC}$，可得$OM = OC·\cos60^{\circ}$，根据$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$OM = 4×\frac{1}{2}=2$。
又因为点$C$在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正。
所以顶点$C$的坐标为$(-2,2\sqrt{3})$。
