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1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=$\frac{4}{5}$，AC=6cm，则BC的长度为(
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
C
)A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
答案
C
解析
在Rt△ABC中，已知$\sin A = \frac{4}{5} = \frac{BC}{AB}$，设$BC = 4x$，$AB = 5x$。
根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$6^2 + (4x)^2 = (5x)^2$，解得$36 + 16x^2 = 25x^2$，即$9x^2 = 36$，所以$x^2 = 4$，$x = 2$（舍负）。
因此$BC = 4x = 8$ cm。
根据勾股定理，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$6^2 + (4x)^2 = (5x)^2$，解得$36 + 16x^2 = 25x^2$，即$9x^2 = 36$，所以$x^2 = 4$，$x = 2$（舍负）。
因此$BC = 4x = 8$ cm。
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC=10，则S△ABC的值为(
A.3
B.300
C.$\frac{50}{3}$
D.150
D
)A.3
B.300
C.$\frac{50}{3}$
D.150
答案
D
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，已知$\tan A = \frac{BC}{AC} = 3$，$AC = 10$，
则$BC = \tan A · AC = 3 × 10 = 30$，
根据直角三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × 10 × 30 = 150$。
则$BC = \tan A · AC = 3 × 10 = 30$，
根据直角三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} × 10 × 30 = 150$。
3. 如图，某厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10m，∠B=36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(
A.5sin36°m
B.5cos36°m
C.5tan36°m
D.10tan36°m
C
)A.5sin36°m
B.5cos36°m
C.5tan36°m
D.10tan36°m
答案
C
4. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin∠BAC=
4/5
。答案
4/5
解析
设菱形ABCD对角线AC=3k，BD=4k（k＞0）。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴OA=AC/2=1.5k，OB=BD/2=2k，∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√[(1.5k)²+(2k)²]=2.5k。
sin∠BAC=OB/AB=2k/(2.5k)=4/5。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴OA=AC/2=1.5k，OB=BD/2=2k，∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√[(1.5k)²+(2k)²]=2.5k。
sin∠BAC=OB/AB=2k/(2.5k)=4/5。
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sin A=
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
。答案
【解析】：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(6²-2²)=√32=4√2，sin A=BC/AB=4√2/6=2√2/3。
【答案】：2√2/3
【答案】：2√2/3
解析
在直角三角形$ABC$中，已知$AB = 6$，$AC = 2$，
根据勾股定理有：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A$等于对边$BC$与斜边$AB$的比值，即：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
根据勾股定理有：
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A$等于对边$BC$与斜边$AB$的比值，即：
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
6. 已知sinα·cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求锐角α的度数。
答案
答题卡：
由题意得，$\sin\alpha · \cos60{°} = \frac{\sqrt{3}}{4}$，
由于$\cos60{°} = \frac{1}{2}$，
代入上式得：
$\sin\alpha · \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
根据特殊角的三角函数值，当$\alpha$为锐角时，$\alpha = 60{°}$。
由题意得，$\sin\alpha · \cos60{°} = \frac{\sqrt{3}}{4}$，
由于$\cos60{°} = \frac{1}{2}$，
代入上式得：
$\sin\alpha · \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$
根据特殊角的三角函数值，当$\alpha$为锐角时，$\alpha = 60{°}$。
7. 如图，在△ABC中，已知∠C=90°，点D在BC上，∠B=∠DAC，且S△ACD∶S△BCA=4∶9，AC=6。
(1)求CD的值。
(2)求tan∠BAC的值。
]
(1)求CD的值。
(2)求tan∠BAC的值。
]
答案
1. （1）
解：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle DAC$，所以$\triangle ACD∼\triangle BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形面积比公式$S_{\triangle ACD}:S_{\triangle BCA}=(\frac{CD}{AC})^{2}$（相似三角形面积比等于相似比的平方）。
已知$S_{\triangle ACD}:S_{\triangle BCA}=4:9$，$AC = 6$，设$CD=x$，则$\frac{4}{9}=(\frac{x}{6})^{2}$。
即$\frac{x^{2}}{36}=\frac{4}{9}$，交叉相乘得$9x^{2}=4×36$，$x^{2}=16$。
因为$x\gt0$（$CD$为线段长度），所以$x = 4$，即$CD = 4$。
2. （2）
解：
由（1）知$CD = 4$，$\triangle ACD∼\triangle BCA$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$。
已知$AC = 6$，$CD = 4$，则$BC=\frac{AC^{2}}{CD}=\frac{6^{2}}{4}=9$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}$（正切函数定义：在直角三角形中，$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$，$\angle BAC$的对边是$BC$，邻边是$AC$）。
把$BC = 9$，$AC = 6$代入得$\tan\angle BAC=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
综上，（1）$CD$的值为$4$；（2）$\tan\angle BAC$的值为$\frac{3}{2}$。
解：
因为$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle DAC$，所以$\triangle ACD∼\triangle BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形面积比公式$S_{\triangle ACD}:S_{\triangle BCA}=(\frac{CD}{AC})^{2}$（相似三角形面积比等于相似比的平方）。
已知$S_{\triangle ACD}:S_{\triangle BCA}=4:9$，$AC = 6$，设$CD=x$，则$\frac{4}{9}=(\frac{x}{6})^{2}$。
即$\frac{x^{2}}{36}=\frac{4}{9}$，交叉相乘得$9x^{2}=4×36$，$x^{2}=16$。
因为$x\gt0$（$CD$为线段长度），所以$x = 4$，即$CD = 4$。
2. （2）
解：
由（1）知$CD = 4$，$\triangle ACD∼\triangle BCA$，所以$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$。
已知$AC = 6$，$CD = 4$，则$BC=\frac{AC^{2}}{CD}=\frac{6^{2}}{4}=9$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}$（正切函数定义：在直角三角形中，$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$，$\angle BAC$的对边是$BC$，邻边是$AC$）。
把$BC = 9$，$AC = 6$代入得$\tan\angle BAC=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
综上，（1）$CD$的值为$4$；（2）$\tan\angle BAC$的值为$\frac{3}{2}$。
