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8. 如图,在菱形ABCD中,AB = 2,∠BAD = 60°,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是(
A.$\sqrt{3} - 1$
B.$2 - \sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3} - 1$
D.$2\sqrt{3} - 2$
A
).A.$\sqrt{3} - 1$
B.$2 - \sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3} - 1$
D.$2\sqrt{3} - 2$
答案
8. A 【点拨】本题考查菱形的性质,旋转的性质及直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,连接BD交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CD = AB = 2,∠BCD = ∠BAD = 60°,∠ACD = ∠BAC = 1/2 ∠BAD = 1/2 ×60° = 30°,OA = OC,AC ⊥ BD,
∴ OB = 1/2 AB = 1/2 ×2 = 1,
∴ OA = √(AB² - OB²) = √(2² - 1²) = √3,
∴ AC = 2OA = 2√3.
由旋转得AE = AB = 2,∠EAG = ∠BAD = 60°,
∴ CE = AC - AE = 2√3 - 2.
∵ 四边形AEFG是菱形,
∴ EF//AG,
∴ ∠CEP = ∠EAG = 60°,
∴ ∠CEP + ∠ACD = 90°,
∴ ∠CPE = 90°,
∴ PE = 1/2 CE = 1/2 ×(2√3 - 2) = √3 - 1,
∴ PC = √(CE² - PE²) = √((2√3 - 2)² - (√3 - 1)²) = 3 - √3,
∴ DP = CD - PC = 2 - (3 - √3) = 2 - 3 + √3 = √3 - 1. 故选A.
【解析】如题图,连接BD交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ CD = AB = 2,∠BCD = ∠BAD = 60°,∠ACD = ∠BAC = 1/2 ∠BAD = 1/2 ×60° = 30°,OA = OC,AC ⊥ BD,
∴ OB = 1/2 AB = 1/2 ×2 = 1,
∴ OA = √(AB² - OB²) = √(2² - 1²) = √3,
∴ AC = 2OA = 2√3.
由旋转得AE = AB = 2,∠EAG = ∠BAD = 60°,
∴ CE = AC - AE = 2√3 - 2.
∵ 四边形AEFG是菱形,
∴ EF//AG,
∴ ∠CEP = ∠EAG = 60°,
∴ ∠CEP + ∠ACD = 90°,
∴ ∠CPE = 90°,
∴ PE = 1/2 CE = 1/2 ×(2√3 - 2) = √3 - 1,
∴ PC = √(CE² - PE²) = √((2√3 - 2)² - (√3 - 1)²) = 3 - √3,
∴ DP = CD - PC = 2 - (3 - √3) = 2 - 3 + √3 = √3 - 1. 故选A.
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质与旋转的性质逐步推导：首先利用菱形对角线的性质求出AC的长度，再根据旋转性质得到AE的长度，进而算出CE；接着利用菱形对边平行的特点得到角度关系，判断△CEP为直角三角形，求出PC的长度；最后用CD减去PC即可得到DP的长。
【解析】
1. 连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=½∠BAD=30°，AC⊥BD，OA=OC；
由∠BAD=60°，AB=2，得OB=½AB=1，
∴OA=√(AB² - OB²)=√(2² -1²)=√3，因此AC=2OA=2√3。
2. 由旋转的性质，得AE=AB=2，故CE=AC - AE=2√3 -2。
3.
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF//AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
结合∠ACD=30°，得∠CEP + ∠ACD=90°，即∠CPE=90°，△CEP为直角三角形。
4. 在Rt△CEP中，∠ACD=30°，
∴PE=½CE=½(2√3 -2)=√3 -1，
PC=√(CE² - PE²)=√[(2√3 -2)² - (√3 -1)²]=3 -√3。
5.
∵CD=2，
∴DP=CD - PC=2 - (3 -√3)=√3 -1。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与旋转的性质，解题关键是利用菱形对角线垂直平分、对边平行的特性，结合旋转的对应边/角相等的性质，通过角度关系判断直角三角形，进而计算线段长度，需具备几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合菱形的性质与旋转的性质逐步推导：首先利用菱形对角线的性质求出AC的长度，再根据旋转性质得到AE的长度，进而算出CE；接着利用菱形对边平行的特点得到角度关系，判断△CEP为直角三角形，求出PC的长度；最后用CD减去PC即可得到DP的长。
【解析】
1. 连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，∠ACD=∠BAC=½∠BAD=30°，AC⊥BD，OA=OC；
由∠BAD=60°，AB=2，得OB=½AB=1，
∴OA=√(AB² - OB²)=√(2² -1²)=√3，因此AC=2OA=2√3。
2. 由旋转的性质，得AE=AB=2，故CE=AC - AE=2√3 -2。
3.
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF//AG，
∴∠CEP=∠EAG=60°，
结合∠ACD=30°，得∠CEP + ∠ACD=90°，即∠CPE=90°，△CEP为直角三角形。
4. 在Rt△CEP中，∠ACD=30°，
∴PE=½CE=½(2√3 -2)=√3 -1，
PC=√(CE² - PE²)=√[(2√3 -2)² - (√3 -1)²]=3 -√3。
5.
∵CD=2，
∴DP=CD - PC=2 - (3 -√3)=√3 -1。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与旋转的性质，解题关键是利用菱形对角线垂直平分、对边平行的特性，结合旋转的对应边/角相等的性质，通过角度关系判断直角三角形，进而计算线段长度，需具备几何推理与计算能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在边长为3的正方形ABCD中,E是边AB上的点,且$BE=2AE$,过点E作DE的垂线交正方形外角$∠CBG$的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF,交边BC于点N,则MN的长为(
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{6}{7}$
D.1
B
).A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{6}{7}$
D.1
答案
9. B 【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理及三角形面积公式,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如图,在AD上取一点K,使得AK = AE,连接EK,延长BA至点H,使得AH = CN,连接DH,EN.
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = AD = CD = 3,∠DAE = ∠EBM = ∠ADC = ∠C = 90°.
∵ AK = AE,
∴ DK = EB.
∵ DE ⊥ EF,
∴ ∠DEF = 90°,
∴ ∠AED + ∠BEF = 90°.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90°,
∴ ∠ADE = ∠BEF.
∵ ∠EAK = 90°,AK = AE,
∴ ∠AKE = ∠AEK = 45°,
∴ ∠EKD = 180° - ∠AKE = 180° - 45° = 135°.
∵ BF平分∠CBG,
∴ ∠CBF = 1/2 ∠CBG = 1/2 ×90° = 45°,
∴ ∠FBE = ∠EBM + ∠CBF = 90° + 45° = 135°,
∴ ∠EKD = ∠FBE. 在△KDE和△BEF中,{∠KDE = ∠BEF,DK = EB,∠EKD = ∠FBE,}
∴ △KDE ≅ △BEF(ASA),
∴ DE = EF,
∴ ∠EDF = 45°,
∴ ∠CDN + ∠ADE = 45°. 在△DCN和△DAH中,{CD = AD,∠C = ∠DAH,CN = AH,}
∴ △DCN ≅ △DAH(SAS),
∴ DN = DH,∠CDN = ∠ADH,
∴ ∠ADH + ∠ADE = 45°,即∠HDE = 45°. 在△DNE和△DHE中,{DN = DH,∠NDE = ∠HDE,DE = DE,}
∴ △DNE ≅ △DHE(SAS),
∴ EN = EH.
∵ AB = 3,BE = 2AE,
∴ AE = 1,BE = 2,
∴ DE = √(AD² + AE²) = √(3² + 1²) = √10. 设CN = x,则BN = 3 - x,
∴ EN = √(BN² + BE²) = √((3 - x)² + 2²).
∵ EH = x + 1,
∴ x + 1 = √((3 - x)² + 2²),解得x = 3/2,
∴ EH = 3/2 + 1 = 5/2. 过点F作FQ ⊥ BG于点Q,则∠EQF = 90°. 在△ADE和△QEF中,{∠DAE = ∠EQF,∠ADE = ∠QEF,DE = EF,}
∴ △ADE ≅ △QEF(AAS),
∴ QF = AE = 1.
∵ ∠FBG = 45°,
∴ BQ = QF = 1.
∵ S_△DEF = S_△DEN + S_△ENF = S_△DHE + S_△ENF,
∴ 1/2 DE² = 1/2 EH · AD + 1/2 MN · (BE + BQ),即1/2 ×(√10)² = 1/2 ×5/2 ×3 + 1/2 MN · (2 + 1),
∴ MN = 5/6. 故选B.
解析
【分析】
首先根据正方形边长及BE=2AE求出AE、BE的长度；接着通过作辅助线构造全等三角形，证明△KDE≌△BEF得到DE=EF；再利用全等三角形性质推导线段关系，最后结合面积法建立方程求解MN的长度，核心是构造全等三角形和运用面积关系。
【解析】
如图，在AD上取点K使AK=AE，连接EK，延长BA至H使AH=CN，连接DH、EN。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=3，∠DAE=∠EBM=∠ADC=∠C=90°。
∵BE=2AE，AB=3，
∴AE=1，BE=2，故DK=AD-AK=AD-AE=2，即DK=EB；又AK=AE，
∴∠AKE=∠AEK=45°，得∠EKD=135°。
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，故∠AED+∠BEF=90°，又∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEF。
∵BF平分外角∠CBG，∠CBG=90°，
∴∠FBE=90°+45°=135°，故∠EKD=∠FBE。
在△KDE和△BEF中：$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠BEF\\DK=EB\\∠EKD=∠FBE\end{array} $，
∴△KDE≌△BEF（ASA），得DE=EF，∠EDF=45°。
在△DCN和△DAH中：$\{\begin{array}{l}CD=AD\\∠C=∠DAH\\CN=AH\end{array} $，
∴△DCN≌△DAH（SAS），得DN=DH，∠CDN=∠ADH，故∠HDE=∠ADH+∠ADE=∠CDN+∠ADE=45°。
在△DNE和△DHE中：$\{\begin{array}{l}DN=DH\\∠NDE=∠HDE\\DE=DE\end{array} $，
∴△DNE≌△DHE（SAS），得EN=EH。
计算得DE=$\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}$，设CN=x，则BN=3-x，EN=$\sqrt{(3-x)^2+2^2}$，EH=AE+AH=1+x，故$x+1=\sqrt{(3-x)^2+4}$，解得x=$\frac{3}{2}$，EH=$\frac{5}{2}$。
过F作FQ⊥BG于Q，易证△ADE≌△QEF（AAS），得QF=AE=1，BQ=QF=1。
利用面积法：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=5$，同时$S_{△ DEF}=S_{△ DEN}+S_{△ ENF}=\frac{1}{2}EH· AD+\frac{1}{2}MN·(BE+BQ)$，代入得$5=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×3+\frac{1}{2}MN×3$，解得MN=$\frac{5}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、面积法
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质、面积法，构造辅助线建立全等关系是解题关键，对几何逻辑推理能力要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
首先根据正方形边长及BE=2AE求出AE、BE的长度；接着通过作辅助线构造全等三角形，证明△KDE≌△BEF得到DE=EF；再利用全等三角形性质推导线段关系，最后结合面积法建立方程求解MN的长度，核心是构造全等三角形和运用面积关系。
【解析】
如图，在AD上取点K使AK=AE，连接EK，延长BA至H使AH=CN，连接DH、EN。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=3，∠DAE=∠EBM=∠ADC=∠C=90°。
∵BE=2AE，AB=3，
∴AE=1，BE=2，故DK=AD-AK=AD-AE=2，即DK=EB；又AK=AE，
∴∠AKE=∠AEK=45°，得∠EKD=135°。
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，故∠AED+∠BEF=90°，又∠AED+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BEF。
∵BF平分外角∠CBG，∠CBG=90°，
∴∠FBE=90°+45°=135°，故∠EKD=∠FBE。
在△KDE和△BEF中：$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠BEF\\DK=EB\\∠EKD=∠FBE\end{array} $，
∴△KDE≌△BEF（ASA），得DE=EF，∠EDF=45°。
在△DCN和△DAH中：$\{\begin{array}{l}CD=AD\\∠C=∠DAH\\CN=AH\end{array} $，
∴△DCN≌△DAH（SAS），得DN=DH，∠CDN=∠ADH，故∠HDE=∠ADH+∠ADE=∠CDN+∠ADE=45°。
在△DNE和△DHE中：$\{\begin{array}{l}DN=DH\\∠NDE=∠HDE\\DE=DE\end{array} $，
∴△DNE≌△DHE（SAS），得EN=EH。
计算得DE=$\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}$，设CN=x，则BN=3-x，EN=$\sqrt{(3-x)^2+2^2}$，EH=AE+AH=1+x，故$x+1=\sqrt{(3-x)^2+4}$，解得x=$\frac{3}{2}$，EH=$\frac{5}{2}$。
过F作FQ⊥BG于Q，易证△ADE≌△QEF（AAS），得QF=AE=1，BQ=QF=1。
利用面积法：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE^2=5$，同时$S_{△ DEF}=S_{△ DEN}+S_{△ ENF}=\frac{1}{2}EH· AD+\frac{1}{2}MN·(BE+BQ)$，代入得$5=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×3+\frac{1}{2}MN×3$，解得MN=$\frac{5}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、面积法
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形的判定与性质、面积法，构造辅助线建立全等关系是解题关键，对几何逻辑推理能力要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.4
10. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,E,F分别是矩形的边AD,BC上的动点,将该纸片沿直线EF折叠,使点B落在矩形边AD上,对应点记为点G,点A落在M处,连接EF,BG,BE,EF与BG交于点N,则下列结论正确的是(
①$BN=AB$;
②当点G与点D重合时,$EF=\frac{3\sqrt{5}}{2}$;
③$△ GNF$的面积S的取值范围是$\frac{9}{4}≤ S≤ \frac{7}{2}$;
④当$CF=\frac{5}{2}$时,$S_{△ MEG}=\frac{3\sqrt{13}}{4}$.
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
D
).①$BN=AB$;
②当点G与点D重合时,$EF=\frac{3\sqrt{5}}{2}$;
③$△ GNF$的面积S的取值范围是$\frac{9}{4}≤ S≤ \frac{7}{2}$;
④当$CF=\frac{5}{2}$时,$S_{△ MEG}=\frac{3\sqrt{13}}{4}$.
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
答案
10. D 【点拨】本题考查矩形的性质,折叠的性质,平行四边形的判定,菱形的判定与性质,勾股定理及三角形面积公式,利用面积法解决线段问题是解题的关键.
【解析】由折叠知BN = GN,则BN = 1/2 BG.
∵ AB = 3,是定值,BG的长是变化的,
∴ BN的长也是变化的,
∴ BN与AB不一定相等,故①错误;
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DEF = ∠EFB. 由折叠知FB = FG,∠EFB = ∠EFG,
∴ ∠DEF = ∠EFG,
∴ GE = FG = FB.
∵ GE//BF,
∴ 四边形BEGF是平行四边形.
∵ FB = FG,
∴ 四边形BEGF是菱形,
∴ BE = EG. 当D,G重合时,如图.
设BE = EG = x,则AE = 6 - x. 在Rt△ABE中,AB² + AE² = BE²,即3² + (6 - x)² = x²,解得x = 15/4,
∴ DE = 15/4.
∵ ∠A = 90°,AB = 3,AD = 6,
∴ BD = √(AB² + AD²) = √(3² + 6²) = 3√5,
∴ S_菱形BEGF = DE · AB = 1/2 BD · EF,
∴ EF = (2DE · AB)/BD = (2 × 15/4 × 3)/(3√5) = 3√5/2,故②正确;当D,G重合时,△GNF的面积最大,最大值为1/4 × 15/4 × 3 = 45/16,而③中△GNF的面积最大值为7/2,不符合题意,故③错误;当CF = 5/2时,BE = BF = BC - CF = 6 - 5/2 = 7/2,
∴ EM = AE = √(BE² - AB²) = √((7/2)² - 3²) = √13/2,
∴ S_△MEG = 1/2 EM · GM = 1/2 × √13/2 × 3 = 3√13/4,故④正确.
综上所述,正确的是②④,故选D.
解析
【分析】
本题是矩形折叠的综合问题，需结合矩形性质、折叠性质、菱形判定与性质、勾股定理、三角形面积公式判断结论。核心是利用折叠得到EF垂直平分BG，结合AD//BC推出四边形BEGF为菱形，再逐个分析四个结论：①BN随BG变化，与定值AB不一定相等；②G与D重合时，用勾股定理和菱形面积公式求EF；③计算△GNF面积范围验证；④CF=5/2时，求△MEG面积，最终确定正确结论。
【解析】
1. 分析结论①：由折叠性质知，EF垂直平分BG，故BN=1/2BG。AB为定值3，但BG随点G在AD上的位置变化而变化，因此BN长度也变化，BN与AB不一定相等，故①错误。
2. 分析结论②：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB。由折叠得FB=FG，∠EFB=∠EFG，
∴∠DEF=∠EFG，
∴GE=FG=FB，又GE//BF，故四边形BEGF是平行四边形。结合FB=FG，得四边形BEGF是菱形，
∴BE=EG。当G与D重合时，设BE=EG=x，则AE=6-x，在Rt△ABE中，由勾股定理：3²+(6-x)²=x²，解得x=15/4，故DE=15/4。BD=√(3²+6²)=3√5。菱形BEGF的面积=DE·AB=1/2 BD·EF，代入得：(15/4)×3=1/2×3√5×EF，解得EF=3√5/2，故②正确。
3. 分析结论③：当G与D重合时，△GNF面积最大，此时S△GNF=1/4×15/4×3=45/16≈2.81，而7/2=3.5，显然③中最大值错误，故③错误。
4. 分析结论④：当CF=5/2时，BF=6-5/2=7/2，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BE=BF=7/2。在Rt△ABE中，AE=√((7/2)²-3²)=√13/2，由折叠知EM=AE=√13/2，GM=AB=3，故S△MEG=1/2×(√13/2)×3=3√13/4，故④正确。
综上，正确结论为②④，故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形性质、折叠性质、菱形判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、菱形等知识点，关键是利用折叠性质推出菱形，结合勾股定理和面积法解题，需注意线段长度的变化性，避免误判。
【难度系数】
0.5
本题是矩形折叠的综合问题，需结合矩形性质、折叠性质、菱形判定与性质、勾股定理、三角形面积公式判断结论。核心是利用折叠得到EF垂直平分BG，结合AD//BC推出四边形BEGF为菱形，再逐个分析四个结论：①BN随BG变化，与定值AB不一定相等；②G与D重合时，用勾股定理和菱形面积公式求EF；③计算△GNF面积范围验证；④CF=5/2时，求△MEG面积，最终确定正确结论。
【解析】
1. 分析结论①：由折叠性质知，EF垂直平分BG，故BN=1/2BG。AB为定值3，但BG随点G在AD上的位置变化而变化，因此BN长度也变化，BN与AB不一定相等，故①错误。
2. 分析结论②：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFB。由折叠得FB=FG，∠EFB=∠EFG，
∴∠DEF=∠EFG，
∴GE=FG=FB，又GE//BF，故四边形BEGF是平行四边形。结合FB=FG，得四边形BEGF是菱形，
∴BE=EG。当G与D重合时，设BE=EG=x，则AE=6-x，在Rt△ABE中，由勾股定理：3²+(6-x)²=x²，解得x=15/4，故DE=15/4。BD=√(3²+6²)=3√5。菱形BEGF的面积=DE·AB=1/2 BD·EF，代入得：(15/4)×3=1/2×3√5×EF，解得EF=3√5/2，故②正确。
3. 分析结论③：当G与D重合时，△GNF面积最大，此时S△GNF=1/4×15/4×3=45/16≈2.81，而7/2=3.5，显然③中最大值错误，故③错误。
4. 分析结论④：当CF=5/2时，BF=6-5/2=7/2，
∵四边形BEGF是菱形，
∴BE=BF=7/2。在Rt△ABE中，AE=√((7/2)²-3²)=√13/2，由折叠知EM=AE=√13/2，GM=AB=3，故S△MEG=1/2×(√13/2)×3=3√13/4，故④正确。
综上，正确结论为②④，故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形性质、折叠性质、菱形判定与性质
【点评】
本题综合考查矩形、折叠、菱形等知识点，关键是利用折叠性质推出菱形，结合勾股定理和面积法解题，需注意线段长度的变化性，避免误判。
【难度系数】
0.5
11. 为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法:先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条.请你估计鱼池中鱼的条数约为
1000
条.答案
11. 1 000 【点拨】本题考查利用频率估算概率,利用概率求数量,先计算出有记号鱼的频率,再用频率估计概率,利用概率计算鱼的总数即可.
【解析】设鱼的总数为x条,根据题意可知8:200 = 40:x,解得x = 1 000. 故答案为1 000.
【解析】设鱼的总数为x条,根据题意可知8:200 = 40:x,解得x = 1 000. 故答案为1 000.
解析
【分析】
本题是利用样本估计总体的实际问题，采用标记重捕法估计鱼池中鱼的总数。解题思路为：第二次捕捞中带记号鱼的频率，近似等于鱼池内所有带记号鱼的比例。先设鱼池鱼的总数为$ x $，根据“第二次捞出的带记号鱼数/第二次捞出的总鱼数 = 带记号的总鱼数/鱼池总鱼数”的比例关系列方程，求解即可得到鱼池鱼的总数。
【解析】
设鱼池中鱼的总数为$ x $条，根据题意，带记号鱼的频率等于总体中带记号鱼的比例，可列方程：
$\frac{8}{200} = \frac{40}{x}$
交叉相乘得：$ 8x = 200 × 40 $
计算得：$ 8x = 8000 $
解得：$ x = 1000 $
【答案】
1000
【知识点】
用频率估计概率、比例的应用
【点评】
本题结合实际场景考查用样本估计总体的方法，核心是利用标记重捕法的比例关系，属于统计部分的基础应用题，能较好地考查学生对样本估计总体思想的理解与应用。
【难度系数】
0.6
本题是利用样本估计总体的实际问题，采用标记重捕法估计鱼池中鱼的总数。解题思路为：第二次捕捞中带记号鱼的频率，近似等于鱼池内所有带记号鱼的比例。先设鱼池鱼的总数为$ x $，根据“第二次捞出的带记号鱼数/第二次捞出的总鱼数 = 带记号的总鱼数/鱼池总鱼数”的比例关系列方程，求解即可得到鱼池鱼的总数。
【解析】
设鱼池中鱼的总数为$ x $条，根据题意，带记号鱼的频率等于总体中带记号鱼的比例，可列方程：
$\frac{8}{200} = \frac{40}{x}$
交叉相乘得：$ 8x = 200 × 40 $
计算得：$ 8x = 8000 $
解得：$ x = 1000 $
【答案】
1000
【知识点】
用频率估计概率、比例的应用
【点评】
本题结合实际场景考查用样本估计总体的方法，核心是利用标记重捕法的比例关系，属于统计部分的基础应用题，能较好地考查学生对样本估计总体思想的理解与应用。
【难度系数】
0.6
12. 为了调查某校七年级同学的视力情况，从七年级的10个班共540名学生中，每班随机抽取了5名同学进行调查. 在这个问题中，样本是
抽取的50名同学的视力情况
.答案
12. 抽取的50名同学的视力情况 【点拨】本题考查总体和样本概念,熟记总体和样本定义是解决问题的关键.
【解析】总体是七年级540名学生的视力情况,从10个班中每班随机抽取5名学生,共抽取10 ×5 = 50(名)学生,因此样本是所抽取的50名学生的视力情况. 故答案为抽取的50名同学的视力情况.
【解析】总体是七年级540名学生的视力情况,从10个班中每班随机抽取5名学生,共抽取10 ×5 = 50(名)学生,因此样本是所抽取的50名学生的视力情况. 故答案为抽取的50名同学的视力情况.
解析
【分析】要解决这个问题，首先需明确统计中总体、样本的定义：总体是考察对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体。本题的考察对象是七年级同学的视力情况（而非学生本身），先计算抽取的学生总数：10个班×每班5名=50名，因此样本是抽取的这50名同学的视力情况，需注意不能遗漏“视力情况”，避免误写为抽取的50名同学。
【解析】本题中，考察对象为某校七年级同学的视力情况，总体是七年级540名学生的视力情况；从10个班中每班随机抽取5名同学，共抽取10×5=50名同学，根据样本的定义，样本是从总体中抽取的一部分个体，此处的样本是抽取的50名同学的视力情况。
【答案】抽取的50名同学的视力情况
【知识点】总体与样本
【点评】本题考查统计基本概念，需准确把握考察对象是数据（视力情况）而非个体，是基础概念题，需牢记定义避免混淆。
【难度系数】0.3
【解析】本题中，考察对象为某校七年级同学的视力情况，总体是七年级540名学生的视力情况；从10个班中每班随机抽取5名同学，共抽取10×5=50名同学，根据样本的定义，样本是从总体中抽取的一部分个体，此处的样本是抽取的50名同学的视力情况。
【答案】抽取的50名同学的视力情况
【知识点】总体与样本
【点评】本题考查统计基本概念，需准确把握考察对象是数据（视力情况）而非个体，是基础概念题，需牢记定义避免混淆。
【难度系数】0.3
13. 如图,在平行四边形ABCD中,点O,E分别是AC,AD的中点,连接OE,若AB=6,则OE的长为
3
.答案
13. 3 【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理,掌握“连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线”的判定方法是解题关键.
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ CD = AB = 6.
∵ 点O,E分别是AC,AD的中点,
∴ OE = 1/2 CD = 3. 故答案为3.
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ CD = AB = 6.
∵ 点O,E分别是AC,AD的中点,
∴ OE = 1/2 CD = 3. 故答案为3.
解析
【分析】首先利用平行四边形对边相等的性质，求出与AB相等的CD的长度；再根据点O、E分别是AC、AD的中点，判断出OE是△ACD的中位线，最后依据三角形中位线定理计算OE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD = AB = 6（平行四边形对边相等）。
又
∵ 点O、E分别是AC、AD的中点，
∴ OE是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理，得 OE = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
【答案】3
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】本题结合平行四边形性质与三角形中位线定理考查，属于基础题型，核心是识别中位线并运用对应定理，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD = AB = 6（平行四边形对边相等）。
又
∵ 点O、E分别是AC、AD的中点，
∴ OE是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理，得 OE = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
【答案】3
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】本题结合平行四边形性质与三角形中位线定理考查，属于基础题型，核心是识别中位线并运用对应定理，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】0.7
14. 如图,两把完全一样的直尺叠放在一起,重合的部分构成一个四边形,这个四边形一定是
菱形
.答案
14. 菱形 【点拨】本题考查平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质以及菱形的判定,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如图,过点D作DE ⊥ AB于点E,作DF ⊥ BC于点F,则∠AED = ∠DFC = 90°,DE = DF.
∵ AD//BC,AB//CD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ ∠EAD = ∠FCD.
在△AED和△CFD中,{∠EAD = ∠FCD,∠AED = ∠CFD,DE = DF,}
∴ △AED ≅ △CFD(AAS),
∴ AD = CD,
∴ 四边形ABCD是菱形. 故答案为菱形.
解析
【分析】
要确定重合部分四边形的形状，先根据直尺对边平行，得出两组对边分别平行，判定为平行四边形；再利用两把直尺宽度相等，即平行四边形的高相等，通过全等三角形证明邻边相等，结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
1. 判定平行四边形：两把直尺的对边互相平行，因此重合的四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
2. 证明邻边相等：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，因为两把直尺完全相同，所以它们的宽度相等，即DE=DF。
在△AED和△CFD中：
∠AED = ∠CFD = 90°，
∠EAD = ∠FCD（AB//CD，内错角相等），
DE = DF，
所以△AED ≌ △CFD（AAS），因此AD = CD。
3. 判定菱形：根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知平行四边形ABCD是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、全等三角形判定
【点评】
本题结合实际图形（直尺）考查几何图形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，以及全等三角形的判定方法，关键是利用直尺宽度相等得到高相等，进而证明邻边相等，是一道基础的几何推理题。
【难度系数】
0.5
要确定重合部分四边形的形状，先根据直尺对边平行，得出两组对边分别平行，判定为平行四边形；再利用两把直尺宽度相等，即平行四边形的高相等，通过全等三角形证明邻边相等，结合菱形的判定定理得出结论。
【解析】
1. 判定平行四边形：两把直尺的对边互相平行，因此重合的四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
2. 证明邻边相等：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，因为两把直尺完全相同，所以它们的宽度相等，即DE=DF。
在△AED和△CFD中：
∠AED = ∠CFD = 90°，
∠EAD = ∠FCD（AB//CD，内错角相等），
DE = DF，
所以△AED ≌ △CFD（AAS），因此AD = CD。
3. 判定菱形：根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知平行四边形ABCD是菱形。
【答案】
菱形
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、全等三角形判定
【点评】
本题结合实际图形（直尺）考查几何图形的判定，需要熟练掌握平行四边形、菱形的判定定理，以及全等三角形的判定方法，关键是利用直尺宽度相等得到高相等，进而证明邻边相等，是一道基础的几何推理题。
【难度系数】
0.5
15. 如图,在平面直角坐标系中,$A(4,0)$,$B(4,2)$,$C(0,2)$,直线$y = kx - k + 3$($k$是常数)将四边形$OABC$分成面积相等的两部分,则$k$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
15. -2 【点拨】本题考查矩形的判定与性质及一次函数图象上点的坐标特征,正确作出辅助线是解题的关键.
【解析】如题图,连接OB,AC交于点D,过点D作DE ⊥ y轴于点E,作DF ⊥ x轴于点F.
∵ A(4,0),B(4,2),C(0,2),
∴ OC = AB = 2,OA = BC = 4,
∴ 四边形OABC是矩形,
∴ DE = 1/2 OA = 1/2 ×4 = 2,DF = 1/2 OC = 1/2 ×2 = 1,
∴ D(2,1).
∵ 直线y = kx - k + 3(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分,
∴ 直线y = kx - k + 3(k是常数)经过点D,
∴ 2k - k + 3 = 1,解得k = -2. 故答案为-2.
【解析】如题图,连接OB,AC交于点D,过点D作DE ⊥ y轴于点E,作DF ⊥ x轴于点F.
∵ A(4,0),B(4,2),C(0,2),
∴ OC = AB = 2,OA = BC = 4,
∴ 四边形OABC是矩形,
∴ DE = 1/2 OA = 1/2 ×4 = 2,DF = 1/2 OC = 1/2 ×2 = 1,
∴ D(2,1).
∵ 直线y = kx - k + 3(k是常数)将四边形OABC分成面积相等的两部分,
∴ 直线y = kx - k + 3(k是常数)经过点D,
∴ 2k - k + 3 = 1,解得k = -2. 故答案为-2.
解析
【分析】
四边形OABC是矩形，矩形为中心对称图形，过其对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分。因此需先求出矩形的对称中心（对角线交点）的坐标，再将该点代入直线方程即可求解k的值。
【解析】
1. 判定四边形形状：由点A(4,0)、B(4,2)、C(0,2)、O(0,0)可知，OA//BC，OC//AB，且四个角为直角，故四边形OABC是矩形。
2. 求对称中心坐标：矩形对角线互相平分，对角线AC与OB的交点即为对称中心D。A(4,0)、C(0,2)，则中点D的坐标为$(\frac{4+0}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
3. 代入直线方程求解：因直线$y = kx - k + 3$平分矩形面积，故直线过点D。将D(2,1)代入直线方程得：$1 = 2k - k + 3$，化简得$k + 3 = 1$，解得$k = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
矩形的性质、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题利用矩形的中心对称性，将“直线平分矩形面积”转化为“直线过矩形对称中心”，是解题核心，考查了矩形性质与一次函数的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
四边形OABC是矩形，矩形为中心对称图形，过其对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分。因此需先求出矩形的对称中心（对角线交点）的坐标，再将该点代入直线方程即可求解k的值。
【解析】
1. 判定四边形形状：由点A(4,0)、B(4,2)、C(0,2)、O(0,0)可知，OA//BC，OC//AB，且四个角为直角，故四边形OABC是矩形。
2. 求对称中心坐标：矩形对角线互相平分，对角线AC与OB的交点即为对称中心D。A(4,0)、C(0,2)，则中点D的坐标为$(\frac{4+0}{2},\frac{0+2}{2})=(2,1)$。
3. 代入直线方程求解：因直线$y = kx - k + 3$平分矩形面积，故直线过点D。将D(2,1)代入直线方程得：$1 = 2k - k + 3$，化简得$k + 3 = 1$，解得$k = -2$。
【答案】
-2
【知识点】
矩形的性质、一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题利用矩形的中心对称性，将“直线平分矩形面积”转化为“直线过矩形对称中心”，是解题核心，考查了矩形性质与一次函数的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
