【例】 某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是$120°$，他做完作业后还是当天晚上6点多钟，且时针和分针的夹角还是$120°$，此同学做作业大约用了（）.

A.40分钟
B.42分钟
C.44分钟
D.46分钟
解析：设开始做作业时的时间是6点$x$分，
$\therefore 6x - 0.5x = 180 - 120$，解得$x\approx11$；
再设做完作业后的时间是6点$y$分，
$\therefore 6y - 0.5y = 180 + 120$，解得$y\approx55$，
$\therefore$此同学做作业大约用了$55 - 11 = 44$(分钟).
答案：C

答案：C

1. (全国初中数学联赛江西南昌竞赛试卷)直线 $a$ 上有四个不同的点,依次为点 $A,B,C,D$,则到点 $A$,$B,C,D$ 的距离之和最小的点().

A.可以是直线 $AD$ 外的某一点
B.只是点 $B$ 和点 $C$
C.只是线段 $AD$ 的中点
D.有无数多个

1.D

2.（第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试）在数轴上，表示整数的点称为“整点”.设数轴的单位长度是1 cm，若在这条数轴上随意画出一条长为2 008 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有（）.

A.2 006个
B.2 007个
C.2 008个
D.2 009个

2.C

3. 已知 $n(n ≥ 2)$ 个点 $P_1,P_2,P_3,···,P_n$ 在同一平面内,且其中没有任何三点在同一直线上.设 $S_n$ 表示过这 $n$ 个点中的任意 2 个点所作的所有直线的条数,显然, $S_2=1,S_3=3,S_4=6$,$S_5=10,···,$ 由此推断, $S_n=$.

3.$\frac{n(n-1)}{2}$
[解析]$\because S_2=1=\frac{2×1}{2}$,
$S_3=3=1+2=\frac{2×3}{2},S_4=6=1+2+3=\frac{3×4}{2}$,
$\therefore S_n=1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}.$

4. 给出如下定义:如果$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$,且$∠ AOC = k∠ BOC$($k$为正整数),那么称$∠ AOC$
是$∠ BOC$的“倍锐角”.
(1)已知$∠ AOC + ∠ BOC = 90°$,下列三个条件中,能判断$∠ AOC$是$∠ BOC$的“倍锐角”的是(填写序号);
①$∠ BOC = 15°$; ②$∠ AOC = 70°$; ③$OC$是$∠ AOB$的平分线.
(2)如图(1),当$∠ BOC = 30°$时,在图中画出$∠ BOC$的一个“倍锐角”$∠ AOC$;
(3)如图(2),当$∠ BOC = 60°$时,射线$OB$绕点$O$旋转,每次旋转$10°$,可得它的“倍锐角”$∠ AOC =$;
(4)当$∠ BOC = m°$且存在它的“倍锐角”$∠ AOC$时,则$∠ AOB =$.

4.(1)①③
[解析]①由$∠BOC=15°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠AOC=75°=5∠BOC$,
$\therefore ∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”;
②由$∠AOC=70°,∠AOC+∠BOC=90°$,得$∠BOC=20°$,
两个角不是整数倍关系,
$\therefore ∠AOC$不是$∠BOC$的“倍锐角”;
③$\because OC$平分$∠AOB,∠AOC+∠BOC=90°$,
$\therefore ∠AOC=∠BOC=45°$,
$\therefore ∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”;
综上所述,能判断$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”的是①③.
(2)由$∠BOC=30°,∠AOC+∠BOC=90°$,
得$∠AOC=60°=2∠BOC$.
有两种情况,如图(1)和图(2)所示:
(3)80°或60°
[解析]$\because ∠BOC=60°$,且射线$OB$绕点$O$每次旋转$10°$,$\therefore ∠BOC$的取值有$0°,10°,20°,30°,40°,50°,60°,70°,80°,90°$这几种,对每个可能的值进行分析可知,只有两种情况下,$∠AOC$是$∠BOC$的“倍锐角”:
①当$∠BOC=10°$时,$∠AOC=80°=8∠BOC$;
②当$∠BOC=30°$时,$∠AOC=60°=2∠BOC$,
$\therefore ∠AOC=80°$或$60°$.
(4)90°或$(90-2m)°$
[解析]若$∠BOC$存在它的“倍锐角”$∠AOC$时,其几何图示有图(3)和图(4)中画出的两种情况:
①如图(3),当$OA$在$OC$的上方时,
$∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°$;
②如图(4),当$OA$在$OC$的下方时,
$∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC-∠BOC=(90-2m)°$,
$\therefore ∠AOB=90°$或$(90-2m)°$.