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5. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动. 在相距 150 个单位的直线跑道AB上,机器人甲从端点A出发,匀速往返于端点A,B之间,机器人乙同时从端点B出发,以大于甲的速度匀速往返于端点B,A之间. 它们到达端点后立即转身折返,用时忽略不计. 兴趣小组成员想探究这两个机器人迎面相遇的情况,这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种情况.
(1)【观察】
①观察图①,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 30 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 40 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
(2)【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图象.(线段OP,不包括点O,如图②所示)
①$a=$
②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图②中补全函数图象.
(3)【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过 60 个单位,则它们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
(1)【观察】
①观察图①,若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 30 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
90
个单位.②若这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为 40 个单位,则它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为
120
个单位.(2)【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第二次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 兴趣小组成员发现了y与x的函数关系,并画出了部分函数图象.(线段OP,不包括点O,如图②所示)
①$a=$
50
.②分别求出各部分图象对应的函数表达式,并在图②中补全函数图象.
(3)【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为x个单位,它们第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离为y个单位. 若这两个机器人第三次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离y不超过 60 个单位,则它们第一次迎面相遇时,相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是
0＜x≤12 或 48≤x≤72
.(直接写出结果)答案
(1) ①
90
(1) ②
120
(2) ①
50
(2) ②
解：设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$。
第一次迎面相遇时，两人运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由题意$v_乙＞v_甲$，因此$x＜75$。
分两种情况讨论第二次迎面相遇的位置：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次迎面相遇时甲尚未到达点B，两人的总路程和为$3×150=450$，此时甲运动的总路程即为相遇点与A的距离$y$，由路程和比例关系得：
y=3x$2. 当$50＜x＜75$时，第二次迎面相遇发生在乙从A点折返后、甲到达B点前，结合路程关系推导可得： $$y=300-3x$
补全图象：在平面直角坐标系中，画出线段从点$P(50,150)$到点$(75,75)$（不含端点$P$），即为第二段函数的图象。
(3)
$0＜x≤12$ 或 $48≤ x≤72$
90
(1) ②
120
(2) ①
50
(2) ②
解：设机器人甲的速度为$v_甲$，机器人乙的速度为$v_乙$。
第一次迎面相遇时，两人运动时间相同，故$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{x}{150-x}$，由题意$v_乙＞v_甲$，因此$x＜75$。
分两种情况讨论第二次迎面相遇的位置：
1. 当$0＜x≤50$时，第二次迎面相遇时甲尚未到达点B，两人的总路程和为$3×150=450$，此时甲运动的总路程即为相遇点与A的距离$y$，由路程和比例关系得：
y=3x$2. 当$50＜x＜75$时，第二次迎面相遇发生在乙从A点折返后、甲到达B点前，结合路程关系推导可得： $$y=300-3x$
补全图象：在平面直角坐标系中，画出线段从点$P(50,150)$到点$(75,75)$（不含端点$P$），即为第二段函数的图象。
(3)
$0＜x≤12$ 或 $48≤ x≤72$
