1. 如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD.

作BF⊥DE,交DE延长线于点F,CG⊥DE于点G,
∴∠F=∠CGE=∠DGC=90°.在△BFE 和 △CGE 中, $\begin{cases}∠BEF=∠CEG,\\∠BFE=∠CGE,\\BE=CE,\end{cases}$
∴△BFE≌△CGE,
∴BF=CG.在△ABF 和△DCG 中,$\begin{cases}∠F=∠DGC,\\∠BAF=∠CDG,\\BF=CG,\end{cases}$
∴△ABF≌△DCG,
∴AB=CD.

2. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上一点,将$AB$旋转至$AC$上,点$B$的对应点为点$E$,$△ ABC$外有一点$F$,连接$AF$,$EF$,使得$∠ BAC = ∠ DAF$,$∠ DAC = ∠ F$,$AF = 2AD$.求证:点$D$是$BC$的中点.

过点 B 作 AC 的平行线,交 AD 的延长线于点 G.
∵ ∠BAC= ∠DAF,
∴ ∠BAG= ∠EAF.
∵ AC // BG,
∴ ∠DAC= ∠G,∠C= ∠DBG.
∵ ∠DAC= ∠F,
∴ ∠G= ∠F.又
∵ AB=AE,
∴ △ABG≌△AEF,
∴ AG=AF.
∵ AF=2AD,
∴ AG=2AD,
∴ AD=DG.又
∵ ∠DAC= ∠G,∠C= ∠DBG,
∴ △ADC≌△GDB,
∴ BD=CD,即点 D 是 BC 的中点.