综合与实践 估计圆周率$π$的范围
答案D27
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D27

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| 背景1 | 魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用$\frac{正多边形的周长}{圆的直径}$来求得较为精确的圆周率.祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数增加到24 576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时领先其他国家一千多年. |
| 背景2 | 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第七位的人,他给出$π$的两个分数形式:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数$x$的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$,其中$a,b,c,d$为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}$是$x$的更为精确的近似值.例如:已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜π$,再由$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数…… |
| 任务1 | 依据“割圆术”,进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积.如图①,将半径为2的圆进行12等分分割,拼接成如图②所示的图形.连接$AC,BD$交于点$E$,则$△ ADE$的面积为 ()

A.$π$
B.$2π$
C.3
D.4 |
| 任务2 | 已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,第几次“调日法”后可得到$π$的近似分数为$\frac{355}{113}$? |

任务1.C
任务2.已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,则第一次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.140 4＜π$,再由$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$,得第二次“调日法”后$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{179+22}{57+7}=\frac{201}{64}$;由于$\frac{201}{64}=3.140 625＜π$,再由$\frac{201}{64}＜π＜\frac{22}{7}$,第三次“调日法”后$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{201+22}{64+7}=\frac{223}{71}$;由于$\frac{223}{71}\approx3.140 8＜π$,再由$\frac{223}{71}＜π＜\frac{22}{7}$,得第四次“调日法”后$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$……同理,第五次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{267}{85}$,第六次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{289}{92}$,第七次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{311}{99}$,第八次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{333}{106}$,第九次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{355}{113}$,即第九次“调日法”后可得到$π$的近似分数为$\frac{355}{113}$。