9. (2025·苏州姑苏区期中)如图，C，D 是 AB 的垂直平分线上两点，延长 AC，DB 交于点 E，$AF//$BC 交 DE 于点 F. 求证：
(1)AB 是$∠ CAF$的平分线；
(2)$∠ FAD=∠ E$.

(1)
∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB=CA,
∴∠CBA=∠CAB.
∵AF//BC，
∴∠BAF=∠CBA,
∴∠BAF=∠CAB，
即AB是∠CAF的平分线.
(2)
∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB=DA,
∴∠DBA=∠DAB.
∵∠DBA=∠E+∠CAB,∠DAB=∠FAD+∠BAF,
∠CAB=∠BAF,
∴∠E=∠FAD.

10. (2025·苏州工业园区期中)如图,在$△ ABC$中,$AB$的垂直平分线$EF$交$BC$于点$E$,交$AB$于点$F$,$D$为线段$CE$的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD⊥ BC$;
(2)若$∠ B=25°$,求$∠ C$的度数.

(1)如图,连接AE,

∵EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE.
∵BE=AC,
∴AE=AC.
∵D为线段CE的中点,
∴DE=CD.
在△ADE与△ADC中,$\begin{cases} AE=AC, \\ AD=AD, \\ DE=DC, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADC(SSS),
∴∠ADE=∠ADC=90°.
(2)
∵AE=BE,∠B=25°,
∴∠EAB=∠B=25°,
∴∠AED=∠EAB+∠EBA=50°.
∴∠C=∠AED=50°.
思路引导 本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

11. 如图,在$△ ABC$中,边$AB$的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$,边$AC$的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$,$l_1$与$l_2$相交于点$O$,连接$OB,OC$.若$△ ADE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$,$△ OBC$的周长为$32\ \mathrm{cm}$.
(1)求线段$BC$的长;
(2)连接$OA$,求线段$OA$的长;
(3)若$∠ BAC=n°(n＞90)$,直接写出$∠ DAE$的度数.

(1)
∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴DA=DB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.
(2)如图,连接OA.

∵$l_1$是边AB的垂直平分线,
∴OA=OB.
∵$l_2$是边AC的垂直平分线,
∴OA=OC.
∵OB+OC+BC=32 cm,BC=12 cm,
∴OA=OB=OC=10 cm.
(3)$∠DAE=2n°-180°$.
→运用三角形内角和定理和中垂线定理证明即可.

12. (2023·台湾中考) 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$BC$上，且$BD$的垂直平分线与$AB$相交于点$E$，$CD$的垂直平分线与$AC$相交于点$F$，已知$△ ABC$的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确().

A.$∠ 1=∠ 3,∠ 2=∠ 4$
B.$∠ 1=∠ 3,∠ 2\ne∠ 4$
C.$∠ 1\ne∠ 3,∠ 2=∠ 4$
D.$∠ 1\ne∠ 3,∠ 2\ne∠ 4$

∵BD的垂直平分线与AB相交于点E,CD的垂直平分线与AC相交于点F,
∴EB=ED,FD=FC,
∴∠B=∠EDB,∠FDC=∠C.
∵∠1=∠B+∠EDB,∠3=∠FDC+∠C,∠B≠∠C,
∴∠1≠∠3.
∵∠4=180°-∠B-∠C,∠2=180°-∠EDB-∠FDC,
∴∠2=∠4.
综上所述,∠1≠∠3,∠2=∠4. 故选C.
归纳总结 本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

13. (2023·青海中考)如图,在$△ ABC$中,$DE$是$BC$的垂直平分线.若$AB=5,AC=8$,则$△ ABD$的周长是.

∵DE是BC的垂直平分线,
∴BD=CD,
∴AC=AD+CD=AD+BD,
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13.