5. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(4k + 1)x + 4k^{2}-2 = 0$,根据下列情况,求 $k$ 的取值范围.
(1) 方程有两个相等的实数根；
(2) 方程有两个不相等的实数根；
(3) 方程没有实数根.

（1）$k=-\dfrac{9}{8}$；（2）$k＞-\dfrac{9}{8}$；（3）$k＜-\dfrac{9}{8}$.

（1）解：$\Delta =[-(4k+1)]^{2}-4×1×(4k^{2}-2)=8k + 9$
方程有两个相等的实数根，$\Delta=0$
$8k + 9=0$
$k=-\dfrac{9}{8}$
（2）解：方程有两个不相等的实数根，$\Delta＞0$
$8k + 9＞0$
$k＞-\dfrac{9}{8}$
（3）解：方程没有实数根，$\Delta＜0$
$8k + 9＜0$
$k＜-\dfrac{9}{8}$

6. 若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-x + 1 = 0$ 有实数根,求 $k$ 的取值范围.

当$k=0$时，方程有实数根$x=1$；当$k\neq 0$时，$\Delta =1-4k\geq 0$，解得$k\leq \dfrac{1}{4}$. 故方程$kx^2-x+1=0$有实数根时，$k$的取值范围是$k\leq \dfrac{1}{4}$.

当$k=0$时，方程为$-x + 1 = 0$，解得$x=1$，有实数根；
当$k\neq 0$时，方程为一元二次方程，$\Delta=(-1)^2 - 4× k×1=1 - 4k$，由$\Delta\geq 0$得$1 - 4k\geq 0$，解得$k\leq \dfrac{1}{4}$；
综上，$k$的取值范围是$k\leq \dfrac{1}{4}$。

7. 已知关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^{2}-mx + 1 = 0$.
(1) 证明：不论 $m$ 为何值时,方程总有实数根；
(2) 若 $m$ 为整数,当 $m$ 为何值时,方程有两个不相等的整数根.

（1）当$m\neq 1$时，$(m-1)x^2-mx+1=0$是关于$x$的一元二次方程，$\Delta =(-m)^2-4× (m-1)× 1=m^2-4m+4=(m-2)^2\geq 0$. $\because$不论$m$为何值时，$(m-2)^2\geq 0$，$\therefore \Delta \geq 0$，$\therefore$方程总有实数根. 当$m=1$时，$(m-1)x^2-mx+1=0$是关于$x$的一元一次方程，$\therefore -x+1=0$，$\therefore x=1$，$\therefore$方程有实数根$x=1$. $\therefore$不论$m$为何值时，方程总有实数根. （2）将$(m-1)x^2-mx+1=0$分解因式得$[(m-1)x-1](x-1)=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{m-1}$，$x_2=1$. $\because$方程有两个不相等的整数根，$\therefore x_1=\dfrac{1}{m-1}$为整数，且$\dfrac{1}{m-1}\neq 1$，$\therefore m=0$.

（1）证明：当$m \neq 1$时，方程$(m - 1)x^2 - mx + 1 = 0$是一元二次方程，$\Delta = (-m)^2 - 4(m - 1) × 1 = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2 \geq 0$，方程总有实数根；当$m = 1$时，方程为$-x + 1 = 0$，解得$x = 1$，有实数根。综上，不论$m$为何值，方程总有实数根。
（2）将方程分解因式得$[(m - 1)x - 1](x - 1) = 0$，解得$x_1 = \dfrac{1}{m - 1}$，$x_2 = 1$。因为方程有两个不相等的整数根，所以$\dfrac{1}{m - 1}$为整数且$\dfrac{1}{m - 1} \neq 1$，则$m - 1 = -1$，解得$m = 0$。

定义：如果一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 满足 $a + b + c = 0$,那么我们称这个方程为“根系数方程”. 已知 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 是“根系数方程”,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )

A.$a = c$
B.$a = b$
C.$b = c$
D.$a = b = c$

A

∵方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$是“根系数方程”，
∴$a + b + c = 0$，即$b=-a - c$。
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=b^{2}-4ac=0$。
将$b=-a - c$代入$\Delta$，得$(-a - c)^{2}-4ac=0$，
即$a^{2}+2ac + c^{2}-4ac=0$，
化简得$a^{2}-2ac + c^{2}=0$，
$(a - c)^{2}=0$，
∴$a = c$。
A

1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,b^{2}-4ac\geqslant0)$ 的求根公式是____.

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2. 方程 $2x^{2}-1 = 8x$ 中,$a= $____,$b= $____,$c= $____,$b^{2}-4ac= $____,其根为____.

2；-8；-1；72；$x=\dfrac{4\pm 3\sqrt{2}}{2}$

将方程化为一般形式：$2x^{2}-8x - 1 = 0$
$a = 2$，$b = -8$，$c = -1$
$b^{2}-4ac = (-8)^{2}-4×2×(-1) = 64 + 8 = 72$
$x = \dfrac{8\pm\sqrt{72}}{2×2} = \dfrac{8\pm6\sqrt{2}}{4} = \dfrac{4\pm3\sqrt{2}}{2}$

问题 下表所示为按一定规律排列的一列方程.
|序号|方程|方程的解|
|①|$6(x - 2)-x = x(x - 2)$|$x_{1}= $____,$x_{2}= $____|
|②|$8(x - 3)-x = x(x - 3)$|$x_{1}= 4$,$x_{2}= 6$|
|③|$10(x - 4)-x = x(x - 4)$|$x_{1}= 5$,$x_{2}= 8$|
|...|...|...|
(1) 解方程①,并将它的解填在表中的横线上.
(2) 若方程 $12(x - a)-x = x(x - a)$ 有一个解是 $x = 6$,求 $a$ 的值和另一个解. 该方程是不是题中给出的一列方程中的某一个方程？如果是,它是第几个方程？
(3) 请求出这列方程中的第 $n$ 个方程和它的解,并验证所写出的解适合第 $n$ 个方程.
名师指导
此题是给学生创造问题的探究情境,让学生探究解题实质,培养学生探究的意识和精神. (1) 用求根公式法求解；(2) 用方程根的意义求出 $a$,然后解一元二次方程求另一个解；(3) 需探求有关规律方能求得结果.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

(1) 解方程 $6(x - 2) - x = x(x - 2)$：
将方程整理为标准形式：
$6x - 12 - x = x^2 - 2x$，
$5x - 12 = x^2 - 2x$，
$x^2 - 7x + 12 = 0$，
使用求根公式：
$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}$，
$x_1 = 3, \quad x_2 = 4$，
将解填入表中：
$x_1 = 3, \quad x_2 = 4$，
(2) 方程 $12(x - a) - x = x(x - a)$ 有一个解是 $x = 6$：
代入 $x = 6$：
$12(6 - a) - 6 = 6(6 - a)$，
$72 - 12a - 6 = 36 - 6a$，
$66 - 12a = 36 - 6a$，
$30 = 6a$，
$a = 5$，
将 $a = 5$ 代入方程：
$12(x - 5) - x = x(x - 5)$，
$12x - 60 - x = x^2 - 5x$，
$11x - 60 = x^2 - 5x$，
$x^2 - 16x + 60 = 0$，
解方程：
$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}$，
$x_1 = 10, \quad x_2 = 6$，
该方程是题中给出的一列方程中的第4个方程（因为 $12 = 2 × (4 + 2)$）。
(3) 第 $n$ 个方程为：
$2(n + 2)(x - (n + 1)) - x = x(x - (n + 1))$，
整理为标准形式：
$2(n + 2)x - 2(n + 2)(n + 1) - x = x^2 - (n + 1)x$，
$x^2 - (3n + 4)x + 2(n + 2)(n + 1) = 0$，
解方程：
$x = \frac{3n + 4 \pm \sqrt{(3n + 4)^2 - 8(n + 2)(n + 1)}}{2}$，
$x = \frac{3n + 4 \pm \sqrt{9n^2 + 24n + 16 - 8n^2 - 24n - 16}}{2}$，
$x = \frac{3n + 4 \pm n}{2}$，
$x_1 = n + 2, \quad x_2 = 2n + 2$，
验证解适合第 $n$ 个方程：
代入 $x_1 = n + 2$：
$2(n + 2)((n + 2) - (n + 1)) - (n + 2) = (n + 2)((n + 2) - (n + 1))$，
$2(n + 2)(1) - (n + 2) = (n + 2)(1)$，
$2n + 4 - n - 2 = n + 2$，
$n + 2 = n + 2$，
代入 $x_2 = 2n + 2$：
$2(n + 2)((2n + 2) - (n + 1)) - (2n + 2) = (2n + 2)((2n + 2) - (n + 1))$，
$2(n + 2)(n + 1) - (2n + 2) = (2n + 2)(n + 1)$，
$2n^2 + 6n + 4 - 2n - 2 = 2n^2 + 4n + 2$，
$2n^2 + 4n + 2 = 2n^2 + 4n + 2$，
验证通过。