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1. 下列说法正确的是(
A.有最小的有理数
B.实数可以分为正实数和负实数
C.无理数是无限小数,无限小数是无理数
D.绝对值等于同一个正数的数有两个,它们互为相反数
D
)A.有最小的有理数
B.实数可以分为正实数和负实数
C.无理数是无限小数,无限小数是无理数
D.绝对值等于同一个正数的数有两个,它们互为相反数
答案
D
解析
A.有理数没有最小的，故A错误；B.实数分为正实数、0和负实数，故B错误；C.无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故C错误；D.绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故D正确。
2. 已知面积为12的正方形的边长为$x$,那么$x$的取值范围是(
A.$1 ＜ x ＜ 3$
B.$2 ＜ x ＜ 3$
C.$3 ＜ x ＜ 4$
D.$4 ＜ x ＜ 5$
C
)A.$1 ＜ x ＜ 3$
B.$2 ＜ x ＜ 3$
C.$3 ＜ x ＜ 4$
D.$4 ＜ x ＜ 5$
答案
C
解析
正方形的面积为12，故边长 $ x = \sqrt{12} $。
估算 $ \sqrt{12} $ 的范围：
$ 3^2 = 9 $，$ 4^2 = 16 $，而 $ 9 ＜ 12 ＜ 16 $，故 $ 3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4 $。
3. 若正三角形的边长为6,高为$h$,则$h$(
A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数
D
)A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数
答案
D
解析
正三角形三线合一，高将底边分为两等份，每份长3。由勾股定理得$h^2=6^2 - 3^2=36 - 9=27$，则$h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$是无理数，故$h$不是有理数。
4. 下列各数是无理数的是(
A.$-5$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$4.121121112$
D.$\frac{22}{5}$
B
)A.$-5$
B.$\frac{\pi}{2}$
C.$4.121121112$
D.$\frac{22}{5}$
答案
B
解析
无理数是指无限不循环小数，不能表示为两个整数之比。
A. $-5$ 是整数，属于有理数；
B. $\frac{\pi}{2}$，其中 $\pi$ 是无理数，因此 $\frac{\pi}{2}$ 也是无理数；
C. $4.121121112$ 是有限小数，属于有理数；
D. $\frac{22}{5}$ 是分数，属于有理数。
A. $-5$ 是整数，属于有理数；
B. $\frac{\pi}{2}$，其中 $\pi$ 是无理数，因此 $\frac{\pi}{2}$ 也是无理数；
C. $4.121121112$ 是有限小数，属于有理数；
D. $\frac{22}{5}$ 是分数，属于有理数。
5. 面积为6的正方形的边长为$a$,则$a$是一个
无
理数,它的整数部分是2
。答案
无，2
解析
正方形的面积为6，即$a^2=6$，则$a=\sqrt{6}$。
$\sqrt{6}$不是整数，也不能表示为两个整数的比值，且开方开不尽，所以$a$是一个无理数。
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2 ＜ a ＜ 3$，所以$a$的整数部分是2。
$\sqrt{6}$不是整数，也不能表示为两个整数的比值，且开方开不尽，所以$a$是一个无理数。
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2 ＜ a ＜ 3$，所以$a$的整数部分是2。
6. 下列各数：$-3$,$5.1234$,$2\pi$,$-\frac{3}{23}$,$2025^{0}$,$-2.3030030003…$(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中,无理数的个数为
2
。答案
2
解析
无理数是无限不循环小数。$-3$是整数，是有理数；$5.1234$是有限小数，是有理数；$2\pi$中$\pi$是无限不循环小数，所以$2\pi$是无理数；$-\frac{3}{23}$是分数，是有理数；$2025^0=1$是整数，是有理数；$-2.3030030003…$（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数。综上，无理数有$2\pi$，$-2.3030030003…$，共2个。
7. 把下列各数填在相应的横线上。
$3.14$,$-\frac{4}{5}$,$0.53666$,$-\pi$,$0.\dot{1}\dot{7}$,$3.212112111$,$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
有理数有
无理数有
$3.14$,$-\frac{4}{5}$,$0.53666$,$-\pi$,$0.\dot{1}\dot{7}$,$3.212112111$,$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
有理数有
$3.14$，$-\frac{4}{5}$，$0.53666$，$0.\dot{1}\dot{7}$，$3.212112111$
；无理数有
$-\pi$，$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
。答案
$3.14$，$-\frac{4}{5}$，$0.53666$，$0.\dot{1}\dot{7}$，$3.212112111$；$-\pi$，$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
解析
有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数。
$3.14$是有限小数，是有理数；$-\frac{4}{5}$是分数，是有理数；$0.53666$是有限小数，是有理数；$-\pi$是无限不循环小数，是无理数；$0.\dot{1}\dot{7}$是无限循环小数，是有理数；$3.212112111$是有限小数，是有理数；$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无限不循环小数，是无理数。
有理数有：$3.14$，$-\frac{4}{5}$，$0.53666$，$0.\dot{1}\dot{7}$，$3.212112111$；
无理数有：$-\pi$，$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
$3.14$是有限小数，是有理数；$-\frac{4}{5}$是分数，是有理数；$0.53666$是有限小数，是有理数；$-\pi$是无限不循环小数，是无理数；$0.\dot{1}\dot{7}$是无限循环小数，是有理数；$3.212112111$是有限小数，是有理数；$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无限不循环小数，是无理数。
有理数有：$3.14$，$-\frac{4}{5}$，$0.53666$，$0.\dot{1}\dot{7}$，$3.212112111$；
无理数有：$-\pi$，$0.1010010001…$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
8. 如图,是由16个边长为1的小正方形拼成的,连接这些小正方形的若干个顶点,得到五条线段$CA$,$CB$,$CD$,$CE$,$CF$,这些线段的长度是有理数的有哪些？是无理数的有哪些？
答案
有理数：CA，CD；无理数：CB，CE，CF。
解析：
在4×4网格中，每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算各线段长度：
CA：竖直方向4个单位，长度=4（有理数）。
CB：水平1，竖直4，长度=√(1²+4²)=√17（无理数）。
CD：水平3，竖直4，长度=√(3²+4²)=5（有理数）。
CE：水平2，竖直2，长度=√(2²+2²)=√8=2√2（无理数）。
CF：水平3，竖直3，长度=√(3²+3²)=√18=3√2（无理数）。
结论：有理数为CA，CD；无理数为CB，CE，CF。
解析：
在4×4网格中，每个小正方形边长为1，利用勾股定理计算各线段长度：
CA：竖直方向4个单位，长度=4（有理数）。
CB：水平1，竖直4，长度=√(1²+4²)=√17（无理数）。
CD：水平3，竖直4，长度=√(3²+4²)=5（有理数）。
CE：水平2，竖直2，长度=√(2²+2²)=√8=2√2（无理数）。
CF：水平3，竖直3，长度=√(3²+3²)=√18=3√2（无理数）。
结论：有理数为CA，CD；无理数为CB，CE，CF。
9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC$的三个顶点均在格点上。
(1)求$\triangle ABC$的面积；
(2)估算$AB$的长。(结果精确到0.1)
(1)求$\triangle ABC$的面积；
(2)估算$AB$的长。(结果精确到0.1)
答案
(1) 12；(2) 5.0
解析
(1) 由图可知，以BC为底边，BC的长度为6，点A到BC的距离（高）为4，根据三角形面积公式可得：$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。
(2) 由图可知，点A与点B在水平方向上的距离为3，竖直方向上的距离为4，根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5.0$。
(2) 由图可知，点A与点B在水平方向上的距离为3，竖直方向上的距离为4，根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5.0$。
