1. 下列二次根式中,能与$\sqrt{2}$合并的是()
A.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
B.$\sqrt{48}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{18}$

D

将各选项化为最简二次根式：
A. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不能合并；
B. $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不能合并；
C. $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不能合并；
D. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，与$\sqrt{2}$被开方数相同，能合并。

2. 下列计算正确的是()

A.$\sqrt{2}+\sqrt{8}= 3\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}= 2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{8}}{2}= \sqrt{4}$
D.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$

A

A.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，正确；B.$2$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，错误；C.$\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，错误；D.$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，错误。

3. 若$3\sqrt{7}+\sqrt{m}= 5\sqrt{7}$,则$m$的值为()
A.$56$
B.$34$
C.$28$
D.$14$

C

由题意，有 $3\sqrt{7} + \sqrt{m} = 5\sqrt{7}$，
移项可得 $\sqrt{m} = 5\sqrt{7} - 3\sqrt{7}$，
合并同类项，有$\sqrt{m} = 2\sqrt{7}$，
对等式两边平方可得$m = (2\sqrt{7})^2 = 4 × 7 = 28$。

4. $\sqrt{32}与最简二次根式\sqrt{x+1}$能合并,则$x=$。

1

首先将 $\sqrt{32}$ 化为最简二次根式，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，因为 $\sqrt{32}$ 与 $\sqrt{x + 1}$ 能合并，所以 $\sqrt{x + 1}$ 与 $4\sqrt{2}$ 是同类二次根式，那么 $x + 1 = 2$，解得 $x = 1$。

5. 计算：$\vert\sqrt{2}-2\vert+\sqrt{2}-1= $。

$1$

首先计算绝对值 $\vert\sqrt{2} - 2\vert$。由于 $\sqrt{2} ＜ 2$，所以 $\vert\sqrt{2} - 2\vert = 2 - \sqrt{2}$。
将其代入原式：
$\vert\sqrt{2} - 2\vert + \sqrt{2} - 1 = (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} - 1$，
合并同类项，得到：
$2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 1$。

6. 计算：
(1) $\sqrt{24}+\sqrt{54}$；
(2) $\sqrt{98}-\sqrt{32}$；
(3) $\sqrt{20}-5\sqrt{\dfrac{9}{5}}$。

(1)
$\begin{aligned} \sqrt{24} + \sqrt{54} \\= \sqrt{4 × 6} + \sqrt{9 × 6} \\= 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} \\= 5\sqrt{6} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\sqrt{98} - \sqrt{32} \\= \sqrt{49 × 2} - \sqrt{16 × 2} \\= 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \\= 3\sqrt{2} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \sqrt{20} - 5\sqrt{\frac{9}{5}} \\= \sqrt{4 × 5} - 5\sqrt{\frac{9}{5}} \\= 2\sqrt{5} - 5 × \frac{3}{\sqrt{5}} \\= 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \\= -\sqrt{5} \end{aligned}$

7. 计算：
(1) $5\sqrt{2}+\sqrt{8}-7\sqrt{18}$；
(2) $2\sqrt{12}-4\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{32}$；
(3) $(\sqrt{0.5}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$。

(1) $5\sqrt{2}+\sqrt{8}-7\sqrt{18}$
$=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}-7×3\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}+2\sqrt{2}-21\sqrt{2}$
$=(5+2-21)\sqrt{2}$
$=-14\sqrt{2}$
(2) $2\sqrt{12}-4\sqrt{\dfrac{1}{27}}+3\sqrt{32}$
$=2×2\sqrt{3}-4×\dfrac{\sqrt{3}}{9}+3×4\sqrt{2}$
$=4\sqrt{3}-\dfrac{4\sqrt{3}}{9}+12\sqrt{2}$
$=\dfrac{36\sqrt{3}}{9}-\dfrac{4\sqrt{3}}{9}+12\sqrt{2}$
$=\dfrac{32\sqrt{3}}{9}+12\sqrt{2}$
(3) $(\sqrt{0.5}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})-(\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{75})$
$=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\sqrt{\dfrac{1}{8}}+\sqrt{75}$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}+5\sqrt{3}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{4})+(-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+5\sqrt{3})$
$=\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$
(1) $-14\sqrt{2}$；(2) $12\sqrt{2}+\dfrac{32\sqrt{3}}{9}$；(3) $\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$

8. 计算：
(1) $\sqrt{48}÷\sqrt{3}-2\sqrt{\dfrac{1}{5}}×\sqrt{30}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}$；
(2) $(\sqrt{2}-1)^{2}+(\dfrac{1}{2})^{-1}+(\sqrt{2})^{3}$；
(3) $-\dfrac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+(-\sqrt{12})^{2}-\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{18}$。

(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{48}÷\sqrt{3}-2\sqrt{\frac{1}{5}}×\sqrt{30}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\\=&\sqrt{\frac{48}{3}}-2\sqrt{\frac{1}{5}×30}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\\=&\sqrt{16}-2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\\=&4 - 2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(\sqrt{2}-1)^{2}+(\frac{1}{2})^{-1}+(\sqrt{2})^{3}\\=&(2 - 2\sqrt{2}+1)+2 + 2\sqrt{2}\\=&2 - 2\sqrt{2}+1+2+2\sqrt{2}\\=&5\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&-\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+(-\sqrt{12})^{2}-\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}}+\sqrt{18}\\=&-\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+12-( \sqrt{2}-1)+3\sqrt{2}\\=&-\sqrt{\frac{32}{2}}+\sqrt{\frac{8}{2}}+12-\sqrt{2}+1 + 3\sqrt{2}\\=&-\sqrt{16}+\sqrt{4}+13+2\sqrt{2}\\=&-4 + 2+13+2\sqrt{2}\\=&11+2\sqrt{2}\end{aligned}$