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1.(2025上海杨浦区期末)乘法运算$(-4)×4×4×4×4×4$可以表示为（
A.$-4^6$
B.$(-4)^6$
C.$(-4)×6$
D.$(-6)×4$
A
）A.$-4^6$
B.$(-4)^6$
C.$(-4)×6$
D.$(-6)×4$
答案
1. A
解析
【分析】
解题第一步先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。第二步分析原式的结构：先数相同因数的个数，原式中一共有6个4相乘，仅第一个因数带负号，负号不属于所有相乘的因数，因此原式等同于6个4相乘的相反数。第三步对比选项，区分负号在括号内和括号外的区别：$(-4)^6$表示6个-4相乘，和原式结构不同，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先整理原式：$(-4)×4×4×4×4×4 = -(4×4×4×4×4×4)$
根据乘方的定义，6个4相乘可记作$4^6$，因此原式可表示为$-4^6$。
逐一判断选项：
A. $-4^6$，与推导结果一致，符合要求；
B. $(-4)^6$表示6个$-4$相乘，即$(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$，与原式不符，排除；
C. $(-4)×6$表示6个$-4$相加，是加法的简便运算，和乘法运算的原式不符，排除；
D. $(-6)×4$表示4个$-6$相加，与原式完全不符，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方概念的基础考察题，易错点是混淆负号是否在底数的括号内，做题时要明确：只有负号和底数共同被括号包裹时，才表示n个负数相乘，否则负号是整个乘方结果的符号。
【难度系数】
0.7
解题第一步先回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数。第二步分析原式的结构：先数相同因数的个数，原式中一共有6个4相乘，仅第一个因数带负号，负号不属于所有相乘的因数，因此原式等同于6个4相乘的相反数。第三步对比选项，区分负号在括号内和括号外的区别：$(-4)^6$表示6个-4相乘，和原式结构不同，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
首先整理原式：$(-4)×4×4×4×4×4 = -(4×4×4×4×4×4)$
根据乘方的定义，6个4相乘可记作$4^6$，因此原式可表示为$-4^6$。
逐一判断选项：
A. $-4^6$，与推导结果一致，符合要求；
B. $(-4)^6$表示6个$-4$相乘，即$(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)×(-4)$，与原式不符，排除；
C. $(-4)×6$表示6个$-4$相加，是加法的简便运算，和乘法运算的原式不符，排除；
D. $(-6)×4$表示4个$-6$相加，与原式完全不符，排除。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方概念的基础考察题，易错点是混淆负号是否在底数的括号内，做题时要明确：只有负号和底数共同被括号包裹时，才表示n个负数相乘，否则负号是整个乘方结果的符号。
【难度系数】
0.7
2. 甲、乙、丙、丁4位同学在学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（
甲：$2^5$是2个5相加.
乙：$-(\dfrac{3}{4})^3$与$(-\dfrac{3}{4})^3$意义相同.
丙：$(-3)^4$中底数是-3，指数是4.
丁：$n^4$是n个4相乘.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
$\underbrace{\quad}_{m个2}$
B
）甲：$2^5$是2个5相加.
乙：$-(\dfrac{3}{4})^3$与$(-\dfrac{3}{4})^3$意义相同.
丙：$(-3)^4$中底数是-3，指数是4.
丁：$n^4$是n个4相乘.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
$\underbrace{\quad}_{m个2}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数乘方的相关概念：乘方表示n个相同因数的积的运算，形如$a^n$中，$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。接下来我们逐一分析四位同学的观点，判断正误后统计正确观点的数量，即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个判断四人观点的正确性：
1. 甲的观点：$2^5$表示5个2相乘，2个5相加为$2×5$，二者意义完全不同，甲的观点错误。
2. 乙的观点：$-(\dfrac{3}{4})^3$表示$\dfrac{3}{4}$的3次方的相反数，底数是$\dfrac{3}{4}$；$(-\dfrac{3}{4})^3$表示3个$-\dfrac{3}{4}$相乘，底数是$-\dfrac{3}{4}$，二者意义不相同，乙的观点错误。
3. 丙的观点：$(-3)^4$中括号将$-3$作为整体，所以底数是$-3$，指数是4，丙的观点正确。
4. 丁的观点：$n^4$表示4个$n$相乘，$n$个4相乘应为$4^n$，丁的观点错误。
综上，只有丙1人的观点正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义；底数与指数的识别；乘方的意义
【点评】
本题重点考查乘方相关基础概念的理解，易错点在于混淆乘方的底数和指数的含义，以及带负号的乘方是否带括号时的意义差异，掌握核心概念即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确有理数乘方的相关概念：乘方表示n个相同因数的积的运算，形如$a^n$中，$a$叫做底数，$n$叫做指数，$a^n$表示$n$个$a$相乘。接下来我们逐一分析四位同学的观点，判断正误后统计正确观点的数量，即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个判断四人观点的正确性：
1. 甲的观点：$2^5$表示5个2相乘，2个5相加为$2×5$，二者意义完全不同，甲的观点错误。
2. 乙的观点：$-(\dfrac{3}{4})^3$表示$\dfrac{3}{4}$的3次方的相反数，底数是$\dfrac{3}{4}$；$(-\dfrac{3}{4})^3$表示3个$-\dfrac{3}{4}$相乘，底数是$-\dfrac{3}{4}$，二者意义不相同，乙的观点错误。
3. 丙的观点：$(-3)^4$中括号将$-3$作为整体，所以底数是$-3$，指数是4，丙的观点正确。
4. 丁的观点：$n^4$表示4个$n$相乘，$n$个4相乘应为$4^n$，丁的观点错误。
综上，只有丙1人的观点正确，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义；底数与指数的识别；乘方的意义
【点评】
本题重点考查乘方相关基础概念的理解，易错点在于混淆乘方的底数和指数的含义，以及带负号的乘方是否带括号时的意义差异，掌握核心概念即可快速判断。
【难度系数】
0.7
3. 将$\frac{\underbrace{2×2×···×2}_{n个2}}{\underbrace{3+3+···+3}_{n个3}}$写成幂的形式：
$\dfrac{2^m}{3n}$
。答案
3. $\dfrac{2^m}{3n}$
解析
【分析】
解题时分别对分子、分母进行转化即可：①先回忆乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算叫做乘方，n个2相乘可以直接写成2的n次幂的形式；②再回忆乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算为乘法，n个3相加可以转化为3与n的乘积；③最后将转化后的分子、分母组合，得到最终结果。
【解析】
1. 化简分子：
$\underbrace{2×2×···×2}_{n个2}$是n个相同因数2相乘，根据乘方的定义，可得：
$\underbrace{2×2×···×2}_{n个2}=2^n$
2. 化简分母：
$\underbrace{3+3+···+3}_{n个3}$是n个相同加数3相加，根据乘法的意义，可得：
$\underbrace{3+3+···+3}_{n个3}=3×n=3n$
3. 组合分子分母得：
原式$=\dfrac{2^n}{3n}$
【答案】
$\dfrac{2^n}{3n}$
【知识点】
乘方的意义，乘法的意义
【点评】
本题需要区分乘方和乘法的适用场景，注意“相同数相乘”用乘方转化，“相同数相加”用乘法转化，避免把分母也错写成乘方形式。
【难度系数】
0.8
解题时分别对分子、分母进行转化即可：①先回忆乘方的定义：求几个相同因数乘积的运算叫做乘方，n个2相乘可以直接写成2的n次幂的形式；②再回忆乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算为乘法，n个3相加可以转化为3与n的乘积；③最后将转化后的分子、分母组合，得到最终结果。
【解析】
1. 化简分子：
$\underbrace{2×2×···×2}_{n个2}$是n个相同因数2相乘，根据乘方的定义，可得：
$\underbrace{2×2×···×2}_{n个2}=2^n$
2. 化简分母：
$\underbrace{3+3+···+3}_{n个3}$是n个相同加数3相加，根据乘法的意义，可得：
$\underbrace{3+3+···+3}_{n个3}=3×n=3n$
3. 组合分子分母得：
原式$=\dfrac{2^n}{3n}$
【答案】
$\dfrac{2^n}{3n}$
【知识点】
乘方的意义，乘法的意义
【点评】
本题需要区分乘方和乘法的适用场景，注意“相同数相乘”用乘方转化，“相同数相加”用乘法转化，避免把分母也错写成乘方形式。
【难度系数】
0.8
4.下列数或式子：$2^3$，$(-\dfrac{1}{2})^5$，$-5^2$，$0$，$m^2+1$，其中在数轴上对应的点一定在原点右边的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. B
解析
【分析】
要判断数轴上对应的点在原点右边的个数，首先明确数轴上原点右侧的数均为正数，因此本题只需逐个判断所给数及式子的正负性，统计正数的个数即可。解题时先根据有理数乘方的运算法则计算各常数项的结果，再结合平方的非负性判断含字母式子的正负。
【解析】
我们逐个分析每个数或式子的正负性：
1. 计算$2^3$：$2^3=2×2×2=8$，8是正数，符合要求；
2. 计算$(-\dfrac{1}{2})^5$：负数的奇次幂为负数，$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，是负数，不符合要求；
3. 计算$-5^2$：先算乘方再取相反数，$-5^2=-25$，是负数，不符合要求；
4. $0$对应数轴上的原点，不在原点右侧，不符合要求；
5. 分析$m^2+1$：任何数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1$，恒为正数，符合要求。
综上，符合要求的正数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的概念、有理数乘方运算、偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查有理数乘方的正负判断和偶次方的非负性，解题时需特别注意区分乘方运算中底数是否带括号，避免出现$-5^2=25$这类符号错误。
【难度系数】
0.7
要判断数轴上对应的点在原点右边的个数，首先明确数轴上原点右侧的数均为正数，因此本题只需逐个判断所给数及式子的正负性，统计正数的个数即可。解题时先根据有理数乘方的运算法则计算各常数项的结果，再结合平方的非负性判断含字母式子的正负。
【解析】
我们逐个分析每个数或式子的正负性：
1. 计算$2^3$：$2^3=2×2×2=8$，8是正数，符合要求；
2. 计算$(-\dfrac{1}{2})^5$：负数的奇次幂为负数，$(-\dfrac{1}{2})^5=-\dfrac{1}{32}$，是负数，不符合要求；
3. 计算$-5^2$：先算乘方再取相反数，$-5^2=-25$，是负数，不符合要求；
4. $0$对应数轴上的原点，不在原点右侧，不符合要求；
5. 分析$m^2+1$：任何数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1$，恒为正数，符合要求。
综上，符合要求的正数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的概念、有理数乘方运算、偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查有理数乘方的正负判断和偶次方的非负性，解题时需特别注意区分乘方运算中底数是否带括号，避免出现$-5^2=25$这类符号错误。
【难度系数】
0.7
5. (2025 山东德州陵城区期末)下列各组数中，运算结果相等的是 (
A.$10^2$ 和 $5^4$
B.$-4^4$ 和 $(-4)^4$
C.$-5^5$ 和 $(-5)^5$
D.$(\dfrac{2}{3})^3$ 和 $\dfrac{2^3}{3}$
C
)A.$10^2$ 和 $5^4$
B.$-4^4$ 和 $(-4)^4$
C.$-5^5$ 和 $(-5)^5$
D.$(\dfrac{2}{3})^3$ 和 $\dfrac{2^3}{3}$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查有理数乘方的运算，解题思路是分别计算每个选项中两个乘方的结果，再对比结果是否相等。计算时要注意两个易混点：一是负数的乘方，底数带括号和不带括号的运算顺序不同，不带括号时负号不属于底数，是乘方结果的相反数；二是负数的奇次幂为负、偶次幂为正，分数的乘方要分子分母分别乘方。
【解析】
依次计算每个选项的运算结果：
A选项：$10^2=10×10=100$，$5^4=5×5×5×5=625$，$100≠625$，结果不相等，不符合要求；
B选项：$-4^4=-(4×4×4×4)=-256$，$(-4)^4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256$，$-256≠256$，结果不相等，不符合要求；
C选项：$-5^5=-(5×5×5×5×5)=-3125$，$(-5)^5=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=-3125$，两个结果相等，符合要求；
D选项：$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}$，$\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{8}{3}$，$\dfrac{8}{27}≠\dfrac{8}{3}$，结果不相等，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，负数乘方符号规律，分数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点在于区分带括号和不带括号的乘方运算的底数差异，以及负数、分数乘方的运算规则，计算时先明确底数再运算，就能有效避免符号和运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数乘方的运算，解题思路是分别计算每个选项中两个乘方的结果，再对比结果是否相等。计算时要注意两个易混点：一是负数的乘方，底数带括号和不带括号的运算顺序不同，不带括号时负号不属于底数，是乘方结果的相反数；二是负数的奇次幂为负、偶次幂为正，分数的乘方要分子分母分别乘方。
【解析】
依次计算每个选项的运算结果：
A选项：$10^2=10×10=100$，$5^4=5×5×5×5=625$，$100≠625$，结果不相等，不符合要求；
B选项：$-4^4=-(4×4×4×4)=-256$，$(-4)^4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256$，$-256≠256$，结果不相等，不符合要求；
C选项：$-5^5=-(5×5×5×5×5)=-3125$，$(-5)^5=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=-3125$，两个结果相等，符合要求；
D选项：$(\dfrac{2}{3})^3=\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}$，$\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{8}{3}$，$\dfrac{8}{27}≠\dfrac{8}{3}$，结果不相等，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算，负数乘方符号规律，分数乘方运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心易错点在于区分带括号和不带括号的乘方运算的底数差异，以及负数、分数乘方的运算规则，计算时先明确底数再运算，就能有效避免符号和运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
6. (2025浙江杭州拱墅区月考)如果$|x-3|+(y+2)^2=0$，那么$y^x=$
-8
.答案
6. -8 解析 因为$|x-3|+(y+2)^2=0$,所以$x-3=0,y+2=0$. 所以$x=3,y=-2$. 所以$y^x=(-2)^3=-8$.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。我们可以根据这个性质分别列出关于x、y的一元一次方程，求解得到x和y的取值，再代入$y^x$按照有理数乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
因为绝对值和偶次幂都具有非负性，即$\vert x-3\vert≥0$，$(y+2)^2≥0$，两者相加等于0，所以只能是各自都等于0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$；
$y+2=0$，解得$y=-2$；
将$x=3$，$y=-2$代入$y^x$得：$y^x=(-2)^3=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是掌握非负数的和为0时每个非负数均为0的规律，再结合乘方运算规则计算即可，需要注意负数乘方的符号问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0。我们可以根据这个性质分别列出关于x、y的一元一次方程，求解得到x和y的取值，再代入$y^x$按照有理数乘方的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
因为绝对值和偶次幂都具有非负性，即$\vert x-3\vert≥0$，$(y+2)^2≥0$，两者相加等于0，所以只能是各自都等于0，即：
$x-3=0$，解得$x=3$；
$y+2=0$，解得$y=-2$；
将$x=3$，$y=-2$代入$y^x$得：$y^x=(-2)^3=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方运算
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是掌握非负数的和为0时每个非负数均为0的规律，再结合乘方运算规则计算即可，需要注意负数乘方的符号问题。
【难度系数】
0.8
7.《孙子算经》中记载有“今有出门，望见九堤，
堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为
今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵
树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个
鸟巢……文中的鸟巢共有
堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为
今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵
树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个
鸟巢……文中的鸟巢共有
6 561
个.答案
7. 6 561
解析
【分析】
解题时首先梳理题目中的数量层级关系：共有9座堤坝，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢，求总鸟巢数本质是求4个9相乘的积，可利用乘方的相关知识快速计算。
【解析】
解：根据题意，总鸟巢数为4个9相乘，可列乘方算式计算：
$9×9×9×9=9^4=6561$
【答案】
6561
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题以古代数学典籍为背景，考查乘方在实际问题中的应用，解题的关键是理清数量层级，明确相同因数的个数，准确计算乘方结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题目中的数量层级关系：共有9座堤坝，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢，求总鸟巢数本质是求4个9相乘的积，可利用乘方的相关知识快速计算。
【解析】
解：根据题意，总鸟巢数为4个9相乘，可列乘方算式计算：
$9×9×9×9=9^4=6561$
【答案】
6561
【知识点】
乘方的意义；有理数乘法运算
【点评】
本题以古代数学典籍为背景，考查乘方在实际问题中的应用，解题的关键是理清数量层级，明确相同因数的个数，准确计算乘方结果。
【难度系数】
0.8
8.计算：
(1)$(-2)^4$；(2)$-2^4$；(3)$(-\dfrac{3}{7})^3$；(4)$-\dfrac{3^3}{7}$。
(1)$(-2)^4$；(2)$-2^4$；(3)$(-\dfrac{3}{7})^3$；(4)$-\dfrac{3^3}{7}$。
答案
8. 解:(1)$(-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)= 16$.
(2)$-2^4 = -2×2×2×2 = -16$.
(3)$(-\dfrac{3}{7})^3 = (-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7}) = -\dfrac{27}{343}$.
(4)$-\dfrac{3^3}{7} = -\dfrac{3×3×3}{7} = -\dfrac{27}{7}$.
(2)$-2^4 = -2×2×2×2 = -16$.
(3)$(-\dfrac{3}{7})^3 = (-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7}) = -\dfrac{27}{343}$.
(4)$-\dfrac{3^3}{7} = -\dfrac{3×3×3}{7} = -\dfrac{27}{7}$.
解析
【分析】
解决这组题目首先要牢记乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，写作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。解题第一步要准确识别每个式子的底数：①$(-2)^4$的底数是$-2$，表示4个$-2$相乘；②$-2^4$的底数是$2$，表示4个2相乘的相反数；③$(-\dfrac{3}{7})^3$的底数是$-\dfrac{3}{7}$，表示3个$-\dfrac{3}{7}$相乘；④$-\dfrac{3^3}{7}$的底数是$3$，表示3个3相乘的结果除以7后取相反数。再结合乘方符号法则：负数的偶次幂为正、奇次幂为负，分步计算即可。
【解析】
(1) $(-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)= 16$
(2) $-2^4 = -2×2×2×2 = -16$
(3) $(-\dfrac{3}{7})^3 = (-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7}) = -\dfrac{27}{343}$
(4) $-\dfrac{3^3}{7} = -\dfrac{3×3×3}{7} = -\dfrac{27}{7}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{-16}$；(3) $\boxed{-\dfrac{27}{343}}$；(4) $\boxed{-\dfrac{27}{7}}$
【知识点】
乘方的定义，乘方符号法则，底数辨识
【点评】
本题是乘方运算的基础易混题型，核心易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数范围，计算时需先明确底数，再结合符号规则运算，避免因误判底数出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
解决这组题目首先要牢记乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，写作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数。解题第一步要准确识别每个式子的底数：①$(-2)^4$的底数是$-2$，表示4个$-2$相乘；②$-2^4$的底数是$2$，表示4个2相乘的相反数；③$(-\dfrac{3}{7})^3$的底数是$-\dfrac{3}{7}$，表示3个$-\dfrac{3}{7}$相乘；④$-\dfrac{3^3}{7}$的底数是$3$，表示3个3相乘的结果除以7后取相反数。再结合乘方符号法则：负数的偶次幂为正、奇次幂为负，分步计算即可。
【解析】
(1) $(-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)= 16$
(2) $-2^4 = -2×2×2×2 = -16$
(3) $(-\dfrac{3}{7})^3 = (-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7})×(-\dfrac{3}{7}) = -\dfrac{27}{343}$
(4) $-\dfrac{3^3}{7} = -\dfrac{3×3×3}{7} = -\dfrac{27}{7}$
【答案】
(1) $\boxed{16}$；(2) $\boxed{-16}$；(3) $\boxed{-\dfrac{27}{343}}$；(4) $\boxed{-\dfrac{27}{7}}$
【知识点】
乘方的定义，乘方符号法则，底数辨识
【点评】
本题是乘方运算的基础易混题型，核心易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的底数范围，计算时需先明确底数，再结合符号规则运算，避免因误判底数出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.8
9. 新考法·操作实践（2025山东淄博周村区期中）下面是科学计算器的按键顺序.
其对应的算式为 （
A.$0.6×\frac{6}{5}+2^3$
B.$0.6×\frac{5}{6}+2^3$
C.$0.6×\frac{5}{6}+3^2$
D.$0.6×\frac{6}{5}+3^2$
其对应的算式为 （
B
）A.$0.6×\frac{6}{5}+2^3$
B.$0.6×\frac{5}{6}+2^3$
C.$0.6×\frac{5}{6}+3^2$
D.$0.6×\frac{6}{5}+3^2$
答案
9. B
解析
【分析】
要确定按键对应的算式，需按顺序逐一识别每个按键的含义：首先看最前面的三个按键，0、小数点、6，对应小数0.6；接下来是乘号，再往后是5、分数功能键、6，计算器输入分数时，先输入的数字是分子，按分数键后输入的是分母，因此这部分对应分数$\frac{5}{6}$；接下来是加号，然后是2、乘方功能键、3，计算器输入乘方时，先输入的是底数，按乘方键后输入的是指数，因此这部分对应$2^3$，把这些部分组合起来就能得到对应的算式，再匹配选项即可。
【解析】
我们按顺序拆解按键对应的运算：
1. 按键“0”“.”“6”：对应小数$\boxed{0.6}$；
2. 按键“×”：对应运算符号$\boxed{×}$；
3. 按键“5”“分数键”“6”：根据计算器分数输入规则，先输分子，后输分母，因此对应分数$\boxed{\frac{5}{6}}$；
4. 按键“+”：对应运算符号$\boxed{+}$；
5. 按键“2”“乘方键”“3”：根据计算器乘方输入规则，先输底数，后输指数，因此对应乘方$\boxed{2^3}$。
将上述部分组合，得到算式：$0.6×\frac{5}{6}+2^3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
计算器按键操作，分数的表示，乘方的表示
【点评】
本题考查对科学计算器按键功能的识别，需要掌握计算器中分数、乘方等特殊运算的输入规则，理清按键顺序和对应的运算逻辑即可正确解答。
【难度系数】
0.7
要确定按键对应的算式，需按顺序逐一识别每个按键的含义：首先看最前面的三个按键，0、小数点、6，对应小数0.6；接下来是乘号，再往后是5、分数功能键、6，计算器输入分数时，先输入的数字是分子，按分数键后输入的是分母，因此这部分对应分数$\frac{5}{6}$；接下来是加号，然后是2、乘方功能键、3，计算器输入乘方时，先输入的是底数，按乘方键后输入的是指数，因此这部分对应$2^3$，把这些部分组合起来就能得到对应的算式，再匹配选项即可。
【解析】
我们按顺序拆解按键对应的运算：
1. 按键“0”“.”“6”：对应小数$\boxed{0.6}$；
2. 按键“×”：对应运算符号$\boxed{×}$；
3. 按键“5”“分数键”“6”：根据计算器分数输入规则，先输分子，后输分母，因此对应分数$\boxed{\frac{5}{6}}$；
4. 按键“+”：对应运算符号$\boxed{+}$；
5. 按键“2”“乘方键”“3”：根据计算器乘方输入规则，先输底数，后输指数，因此对应乘方$\boxed{2^3}$。
将上述部分组合，得到算式：$0.6×\frac{5}{6}+2^3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
计算器按键操作，分数的表示，乘方的表示
【点评】
本题考查对科学计算器按键功能的识别，需要掌握计算器中分数、乘方等特殊运算的输入规则，理清按键顺序和对应的运算逻辑即可正确解答。
【难度系数】
0.7
10.一根1 m长的绳子，第一次剪去它的三分之一，第二次再剪去剩下的三分之一，如此剪下去，第十次剪完后剩下的绳子长度为（
A.$( \dfrac{1}{3} )^9 \mathrm{m}$
B.$[ 1 - ( \dfrac{1}{3} )^9 ] \mathrm{m}$
C.$( \dfrac{2}{3} )^{10} \mathrm{m}$
D.$( \dfrac{2}{3} )^9 \mathrm{m}$
C
）A.$( \dfrac{1}{3} )^9 \mathrm{m}$
B.$[ 1 - ( \dfrac{1}{3} )^9 ] \mathrm{m}$
C.$( \dfrac{2}{3} )^{10} \mathrm{m}$
D.$( \dfrac{2}{3} )^9 \mathrm{m}$
答案
10. C 解析 第一次剪完后剩下的绳子长度为 $1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}(\ \mathrm{m}) ,\dfrac{2}{3} = (\dfrac{2}{3})^1$,第二次剪完后剩下的绳子长度为 $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{9}(\ \mathrm{m}) ,\dfrac{4}{9} = (\dfrac{2}{3})^2 \dots\dots$,第十次剪完后剩下的绳子长度为$(\dfrac{2}{3})^{10}\ \mathrm{m}$. 故选 C.
解析
【分析】
遇到这类每次按固定比例减少的问题，我们可以先计算前几次剪完后的剩余长度，从中总结剩余长度和裁剪次数的规律，再推导第十次的结果。首先要明确：每次剪去当前长度的$\frac{1}{3}$，则每次剪完后剩下的长度是裁剪前长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，通过列举前几次的剩余长度就能找到通用规律。
【解析】
第一次剪完后，剩下的绳子长度为：
$1×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}=(\dfrac{2}{3})^1\ \mathrm{m}$
第二次剪完后，剩下的绳子长度为：
$\dfrac{2}{3}×(1-\dfrac{1}{3})=(\dfrac{2}{3})×(\dfrac{2}{3})=(\dfrac{2}{3})^2\ \mathrm{m}$
第三次剪完后，剩下的绳子长度为：
$(\dfrac{2}{3})^2×(1-\dfrac{1}{3})=(\dfrac{2}{3})^3\ \mathrm{m}$
……
以此类推，第$n$次剪完后，剩下的绳子长度为$(\dfrac{2}{3})^n\ \mathrm{m}$
当$n=10$时，剩余长度为$(\dfrac{2}{3})^{10}\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是准确判断每次裁剪后剩余长度和前一次长度的比例关系，通过列举前几次结果归纳通用公式，易错点是容易混淆剩余比例和剪去的比例，或搞错乘方的次数。
【难度系数】
0.7
遇到这类每次按固定比例减少的问题，我们可以先计算前几次剪完后的剩余长度，从中总结剩余长度和裁剪次数的规律，再推导第十次的结果。首先要明确：每次剪去当前长度的$\frac{1}{3}$，则每次剪完后剩下的长度是裁剪前长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，通过列举前几次的剩余长度就能找到通用规律。
【解析】
第一次剪完后，剩下的绳子长度为：
$1×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}=(\dfrac{2}{3})^1\ \mathrm{m}$
第二次剪完后，剩下的绳子长度为：
$\dfrac{2}{3}×(1-\dfrac{1}{3})=(\dfrac{2}{3})×(\dfrac{2}{3})=(\dfrac{2}{3})^2\ \mathrm{m}$
第三次剪完后，剩下的绳子长度为：
$(\dfrac{2}{3})^2×(1-\dfrac{1}{3})=(\dfrac{2}{3})^3\ \mathrm{m}$
……
以此类推，第$n$次剪完后，剩下的绳子长度为$(\dfrac{2}{3})^n\ \mathrm{m}$
当$n=10$时，剩余长度为$(\dfrac{2}{3})^{10}\ \mathrm{m}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类基础题，解题核心是准确判断每次裁剪后剩余长度和前一次长度的比例关系，通过列举前几次结果归纳通用公式，易错点是容易混淆剩余比例和剪去的比例，或搞错乘方的次数。
【难度系数】
0.7
11.计算：$(-\dfrac{2}{3})^{2024} × 1.5^{2025} = $
$\dfrac{3}{2}$
.答案
11. $\dfrac{3}{2}$ 解析 原式 = $(-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2024} × \dfrac{3}{2} = (-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{2})^{2024} ×\dfrac{3}{2} = (-1)^{2024} ×\dfrac{3}{2} = 1×\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题是两个幂相乘的运算，解题思路如下：首先观察到两个幂的指数接近，且底数互为负倒数，先将小数1.5化为分数$\dfrac{3}{2}$，方便和$-\dfrac{2}{3}$凑乘积；再把指数更高的$(\dfrac{3}{2})^{2025}$拆成$(\dfrac{3}{2})^{2024}×\dfrac{3}{2}$，这样就得到了两个指数都是2024的幂；最后逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$简化计算，再结合有理数乘方的符号法则算出结果即可。
【解析】
先将小数化为分数，再拆分高次幂逐步计算：
$\begin{aligned}原式 &= (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2025} \\&= (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2024} × \dfrac{3}{2} \\&= (-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{2})^{2024} ×\dfrac{3}{2} \\&= (-1)^{2024} ×\dfrac{3}{2} \\&= 1×\dfrac{3}{2} \\&= \dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
积的乘方逆运算、有理数乘方运算、幂的乘法运算
【点评】
本题重点考查幂的运算公式的灵活运用，解题的核心是通过拆分高次幂得到同指数幂，再逆用积的乘方公式简化计算，避免了直接计算高次幂的复杂过程，熟练掌握幂的运算公式及其逆用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是两个幂相乘的运算，解题思路如下：首先观察到两个幂的指数接近，且底数互为负倒数，先将小数1.5化为分数$\dfrac{3}{2}$，方便和$-\dfrac{2}{3}$凑乘积；再把指数更高的$(\dfrac{3}{2})^{2025}$拆成$(\dfrac{3}{2})^{2024}×\dfrac{3}{2}$，这样就得到了两个指数都是2024的幂；最后逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$简化计算，再结合有理数乘方的符号法则算出结果即可。
【解析】
先将小数化为分数，再拆分高次幂逐步计算：
$\begin{aligned}原式 &= (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2025} \\&= (-\dfrac{2}{3})^{2024} × (\dfrac{3}{2})^{2024} × \dfrac{3}{2} \\&= (-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{2})^{2024} ×\dfrac{3}{2} \\&= (-1)^{2024} ×\dfrac{3}{2} \\&= 1×\dfrac{3}{2} \\&= \dfrac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
积的乘方逆运算、有理数乘方运算、幂的乘法运算
【点评】
本题重点考查幂的运算公式的灵活运用，解题的核心是通过拆分高次幂得到同指数幂，再逆用积的乘方公式简化计算，避免了直接计算高次幂的复杂过程，熟练掌握幂的运算公式及其逆用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
