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在实验课上,小明做了一个试验.如图5,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5 g.在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离x(单位:cm)(0＜x≤60),记录容器中加入的水的质量,得到下表:
| 托盘B与点C的距离$x$/cm | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g |
| 12 | 15 | 20 | 30 |
| 加入的水的质量$y_2$/g | 5 | 7 | 10 | 15 | 25 |
把上表中的$x$与$y_1$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图6所示的$y_1$关于$x$的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_2$关于$x$的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据解答以下问题:
①猜测$y_1$与$x$之间的函数关系,并求$y_1$关于$x$的函数解析式;
②求$y_2$关于$x$的函数解析式;
③当$0＜x≤60$时,$y_1$随$x$的增大而
(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$满足$19≤y_2≤45$,求托盘B与点C的距离$x$的取值范围.
| 托盘B与点C的距离$x$/cm | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g |
| 12 | 15 | 20 | 30 || 加入的水的质量$y_2$/g | 5 | 7 | 10 | 15 | 25 |
把上表中的$x$与$y_1$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图6所示的$y_1$关于$x$的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_2$关于$x$的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据解答以下问题:
①猜测$y_1$与$x$之间的函数关系,并求$y_1$关于$x$的函数解析式;
②求$y_2$关于$x$的函数解析式;
③当$0＜x≤60$时,$y_1$随$x$的增大而
减小
(填“增大”或“减小”),$y_2$随$x$的增大而减小
(填“增大”或“减小”),$y_2$的图象可以由$y_1$的图象向下
(填“上”“下”“左”或“右”)平移得到.(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$满足$19≤y_2≤45$,求托盘B与点C的距离$x$的取值范围.
答案
1. 作出$y_2$关于$x$的函数图象如
所示2. ① 观察表格可知，$y_1$是$x$的反比例函数，设$y_1=\frac{k}{x}$，把$(30,10)$代入得$10=\frac{k}{30}$，$\therefore k=300. \therefore y_1$关于$x$的函数解析式是$y_1=\frac{300}{x}$
② $\because y_1=y_2+5, \therefore y_2+5=\frac{300}{x}. \therefore y_2=\frac{300}{x}-5$
③ 减小 减小 下
3. $\because y_2=\frac{300}{x}-5,19≤ y_2≤45, \therefore 19≤\frac{300}{x}-5≤45. \therefore 24≤\frac{300}{x}≤50. \therefore 6≤ x≤12.5$
解析
【分析】
1. 作图题：已知容器质量为5g，可得同一x下$y_2=y_1-5$，将表格中x对应的$y_2$值作为点的纵坐标，描点后用光滑曲线连接即可得到$y_2$的函数图象。
2. 函数相关问题：
① 观察表格中x和$y_1$的数值，计算可得$x· y_1=300$为定值，可判断$y_1$是x的反比例函数，设解析式为$y_1=\frac{k}{x}$，代入一组对应值即可求出k得到解析式。
② 根据总质量$y_1$等于容器质量加水的质量$y_2$，即$y_1=y_2+5$，将$y_1$的解析式代入变形即可得到$y_2$的解析式。
③ 反比例函数$k＞0$时，第一象限内y随x增大而减小，据此可判断增减性；对比两个函数解析式，结合“上加下减”的平移规律即可判断平移方向。
3. 求x的取值范围：将$y_2$的解析式代入$19≤y_2≤45$得到关于x的不等式组，结合x＞0的限制解不等式组即可得到结果。
【解析】
(1) 根据表格中x与$y_2$的对应值：(30,5)、(25,7)、(20,10)、(15,15)、(10,25)，在平面直角坐标系中描出各点，用光滑曲线连接即可得到$y_2$关于x的函数图象。
(2) ① 观察表格数据，$x· y_1=300$为定值，因此$y_1$是x的反比例函数。
设$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$(30,10)$代入得$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$，因此$y_1$关于x的函数解析式为$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$。
② 由题意得$y_1=y_2+5$，将$y_1=\frac{300}{x}$代入得$y_2+5=\frac{300}{x}$，变形得$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$。
③ 反比例函数$k=300＞0$，因此$y_1$随x的增大而减小，$y_2$与$y_1$增减性一致，也随x的增大而减小；$y_2=y_1-5$，因此$y_2$的图象可由$y_1$的图象向下平移5个单位得到。
(3) 将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入$19≤y_2≤45$得：
$19≤\frac{300}{x}-5≤45$
三边同时加5得$24≤\frac{300}{x}≤50$，由于$x＞0$，三边乘x得$24x≤300≤50x$
解$24x≤300$得$x≤12.5$，解$300≤50x$得$x≥6$，因此x的取值范围为$6≤x≤12.5$。
【答案】
1. 作出$y_2$关于$x$的函数图象如所示
2. ① $y_1=\frac{300}{x}$
② $y_2=\frac{300}{x}-5$
③ 减小；减小；下
3. $6≤x≤12.5$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；不等式组的应用
【点评】
本题结合平衡实验的实际情境考查反比例函数相关知识，需要学生通过数据分析确定函数类型，再结合函数性质、平移规律和不等式解决实际问题，侧重考查学生的数据分析能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 作图题：已知容器质量为5g，可得同一x下$y_2=y_1-5$，将表格中x对应的$y_2$值作为点的纵坐标，描点后用光滑曲线连接即可得到$y_2$的函数图象。
2. 函数相关问题：
① 观察表格中x和$y_1$的数值，计算可得$x· y_1=300$为定值，可判断$y_1$是x的反比例函数，设解析式为$y_1=\frac{k}{x}$，代入一组对应值即可求出k得到解析式。
② 根据总质量$y_1$等于容器质量加水的质量$y_2$，即$y_1=y_2+5$，将$y_1$的解析式代入变形即可得到$y_2$的解析式。
③ 反比例函数$k＞0$时，第一象限内y随x增大而减小，据此可判断增减性；对比两个函数解析式，结合“上加下减”的平移规律即可判断平移方向。
3. 求x的取值范围：将$y_2$的解析式代入$19≤y_2≤45$得到关于x的不等式组，结合x＞0的限制解不等式组即可得到结果。
【解析】
(1) 根据表格中x与$y_2$的对应值：(30,5)、(25,7)、(20,10)、(15,15)、(10,25)，在平面直角坐标系中描出各点，用光滑曲线连接即可得到$y_2$关于x的函数图象。
(2) ① 观察表格数据，$x· y_1=300$为定值，因此$y_1$是x的反比例函数。
设$y_1=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$(30,10)$代入得$10=\frac{k}{30}$，解得$k=300$，因此$y_1$关于x的函数解析式为$y_1=\frac{300}{x}(0＜x≤60)$。
② 由题意得$y_1=y_2+5$，将$y_1=\frac{300}{x}$代入得$y_2+5=\frac{300}{x}$，变形得$y_2=\frac{300}{x}-5(0＜x≤60)$。
③ 反比例函数$k=300＞0$，因此$y_1$随x的增大而减小，$y_2$与$y_1$增减性一致，也随x的增大而减小；$y_2=y_1-5$，因此$y_2$的图象可由$y_1$的图象向下平移5个单位得到。
(3) 将$y_2=\frac{300}{x}-5$代入$19≤y_2≤45$得：
$19≤\frac{300}{x}-5≤45$
三边同时加5得$24≤\frac{300}{x}≤50$，由于$x＞0$，三边乘x得$24x≤300≤50x$
解$24x≤300$得$x≤12.5$，解$300≤50x$得$x≥6$，因此x的取值范围为$6≤x≤12.5$。
【答案】
1. 作出$y_2$关于$x$的函数图象如
所示2. ① $y_1=\frac{300}{x}$
② $y_2=\frac{300}{x}-5$
③ 减小；减小；下
3. $6≤x≤12.5$
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象与性质；不等式组的应用
【点评】
本题结合平衡实验的实际情境考查反比例函数相关知识，需要学生通过数据分析确定函数类型，再结合函数性质、平移规律和不等式解决实际问题，侧重考查学生的数据分析能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
