11. (2025·江苏盐城模拟)如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动.若以O,A,B三点为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB的度数为________.

$25^{\circ}$或$50^{\circ}$或$65^{\circ}$或$80^{\circ}$

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=100°$,边$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转$m°(0＜m＜180)$,得到线段$BD$,连接$AD$,$CD$.若$△ ACD$为等腰三角形,则$m$所有可能的取值是______.

$100$或$130$或$160$

13. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=50°$,$D$为$BC$的中点,点$E$在$AB$上,$∠ AED=70°$.若$P$是等腰三角形$ABC$腰上的一点,则当$△ DEP$是以$∠ EDP$为顶角的等腰三角形时,$∠ EDP$的度数是______.

$40^{\circ}$或$100^{\circ}$或$140^{\circ}$

14. 定义:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,那么我们把这两条线段叫作这个三角形的三分线.在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$AD$和$DE$是$△ ABC$的三分线,点$D$在边$BC$上,点$E$在边$AC$上,且$AD=BD$,$DE=CE$,则$∠ C$所有可能的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

$20^{\circ}$或$40^{\circ}$

15. 已知在三角形纸片 $ ABC $ 中，$ ∠ A = 80° $，$ D $ 是边 $ AC $ 上一点，沿 $ BD $ 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 $ ∠ C $ 的度数是 ______。

$10^{\circ}$或$25^{\circ}$或$40^{\circ}$

16. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫作等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线.如图①，当$△ ABD$和$△ ACD$都为等腰三角形时，$AD$为$△ ABC$的等腰分割线.
（1）如图②，在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ C$，线段$AC$的垂直平分线$ED$分别交$AC$，$BC$于$D$，$E$两点，连接$AE$.求证：$AE$是$△ ABC$的一条等腰分割线；
（2）已知在$△ ABC$中，$AD$为$△ ABC$的等腰分割线，$AD=BD$，$∠ C=30°$，请你画出所有可能的图形，并求出$∠ B$的度数.

​$(1)$​证明：∵​$DE$​是线段​$AC$​的垂直平分线∴​$EA = EC，$​即​$\triangle EAC$​是等腰三角形，​$∠EAC=∠C$​∴​$∠AEB=∠EAC+∠C = 2∠C$​∵​$∠B = 2∠C$​∴​$∠AEB=∠B，$​即​$\triangle EAB$​是等腰三角形∴​$AE$​是​$\triangle ABC$​的一条等腰分割线​$(2)$​解：∵线段​$AD$​为​$\triangle ABC$​的等腰分割线，​$∠C = 30°$​∴​$\triangle ABD$​和​$\triangle ACD$​都是等腰三角形分类讨论如下：①如图①，当​$AD = CD = BD$​时，​$∠CAD=∠C = 30°$​∴​$∠ADB=∠C+∠CAD = 60°$​∵​$AD = BD$​∴​$\triangle ABD$​是等边三角形，即​$∠B = 60°$​②如图②，当​$AD = BD = AC$​时，​$∠ADC=∠C = 30°$​∵​$AD = BD，$​∴​$∠B=∠BAD$​∵​$∠ADC=∠B+∠BAD，$​∴​$∠B=\frac 12∠ADC = 15°$​③如图③，当​$AD = BD，$​​$AC = CD$​时​$∠CAD=∠ADC，$​​$∠B=∠BAD$​又​$∠C+∠CAD+∠ADC = 180°$​∴​$∠ADC=\frac 12(180°-∠C)=75°$​∵​$∠ADC=∠B+∠BAD$​∴​$∠B=\frac 12∠ADC = 37.5°$​综上，​$∠B$​的度数为​$60°$​或​$15°$​或​$37.5°$​