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1. [2025镇江中考]如图，小丽从点A出发，沿坡角为$10°$的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（
A.$\frac{120}{\tan 10°}$米
B.$\frac{120}{\sin 10°}$米
C.$120\tan 10°$米
D.$120\sin 10°$米
D
）A.$\frac{120}{\tan 10°}$米
B.$\frac{120}{\sin 10°}$米
C.$120\tan 10°$米
D.$120\sin 10°$米
答案
在Rt△ABC中，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \sin 10°$. $\because AB = 120$米，$\therefore BC = 120\sin 10°$米.
解析
【分析】
首先根据题意和图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=10°，行走的路程AB是直角三角形的斜边，长度为120米，要求的垂直升高高度是∠A的对边BC。接下来结合锐角三角函数的定义，正弦函数表示锐角的对边与斜边的比值，正好匹配已知斜边、求对边的条件，因此选择正弦函数建立等式求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=10°，AB=120米。
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{BC}{AB}$
代入已知条件得$\sin10°=\frac{BC}{120}$
变形可得$BC = 120\sin10°$米，符合选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，主要考查对锐角三角函数中正弦概念的理解与应用，解题的核心是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先根据题意和图形可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，已知坡角∠A=10°，行走的路程AB是直角三角形的斜边，长度为120米，要求的垂直升高高度是∠A的对边BC。接下来结合锐角三角函数的定义，正弦函数表示锐角的对边与斜边的比值，正好匹配已知斜边、求对边的条件，因此选择正弦函数建立等式求解即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=10°，AB=120米。
根据正弦函数的定义：$\sin A = \frac{BC}{AB}$
代入已知条件得$\sin10°=\frac{BC}{120}$
变形可得$BC = 120\sin10°$米，符合选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正弦函数定义
2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，主要考查对锐角三角函数中正弦概念的理解与应用，解题的核心是准确找到直角三角形中对应角的对边和斜边，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. [2025绥化中考]如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
.答案
$\because$ 迎水坡AB的斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$,$\therefore BC:AC = 1:\sqrt{2}$(坡度是正切值). $\because BC = 15\ \mathrm{m}$,$\therefore AC = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$. 由勾股定理得 $AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{2})^2} = 15\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$.
得分要点：
(1)不能把坡度比式的前项和后项颠倒;(2)坡角是指坡面与水平面的夹角,而不是坡面与铅垂线的夹角.
得分要点：
(1)不能把坡度比式的前项和后项颠倒;(2)坡角是指坡面与水平面的夹角,而不是坡面与铅垂线的夹角.
解析
【分析】
解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，本题中即为BC与AC的比。已知坡度和铅直高度BC的长度，可先根据比例关系求出水平宽度AC的长度；再观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边的长度，最后用勾股定理即可求出斜边AB的长度。注意不要把坡度比的前后项颠倒，避免计算AC时出错。
【解析】
∵ 迎水坡AB的斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$，根据坡度定义可知$BC:AC = 1:\sqrt{2}$，
又
∵ $BC = 15\ \mathrm{m}$，
∴ $AC = 15×\sqrt{2}=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 450} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确掌握坡度的定义，避免比例项颠倒，结合勾股定理即可快速求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，本题中即为BC与AC的比。已知坡度和铅直高度BC的长度，可先根据比例关系求出水平宽度AC的长度；再观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边的长度，最后用勾股定理即可求出斜边AB的长度。注意不要把坡度比的前后项颠倒，避免计算AC时出错。
【解析】
∵ 迎水坡AB的斜面坡度$i = 1:\sqrt{2}$，根据坡度定义可知$BC:AC = 1:\sqrt{2}$，
又
∵ $BC = 15\ \mathrm{m}$，
∴ $AC = 15×\sqrt{2}=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (15\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 450} = \sqrt{675} = 15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确掌握坡度的定义，避免比例项颠倒，结合勾股定理即可快速求解，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. [2025德州中考]暑假期间,小明一家到某旅游风景区登山.如图,他们从山底A处出发,先步行200 m到达B处,再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角$α = 16°$,缆车的行驶路线BC与水平面的夹角$β = 37°$,这座山的高度$CD = 296$ m,$A,B,C,D$在同一平面内.
(1)求小明一家步行上升的垂直高度;(结果取整数)
(2)求缆车的行驶路线BC的长.(结果取整数,参考数据:$\sin 16° \approx 0.28$,$\cos 16° \approx 0.96$,$\tan 16° \approx 0.29$,$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$)
(1)求小明一家步行上升的垂直高度;(结果取整数)
(2)求缆车的行驶路线BC的长.(结果取整数,参考数据:$\sin 16° \approx 0.28$,$\cos 16° \approx 0.96$,$\tan 16° \approx 0.29$,$\sin 37° \approx 0.60$,$\cos 37° \approx 0.80$,$\tan 37° \approx 0.75$)
答案
解:(1)如图,过点B作$BE ⊥ AD$于点E.
在Rt△ABE中,$\sin A = \frac{BE}{AB} = \sin 16°$,
$\therefore BE = AB · \sin 16° \approx 200 × 0.28 = 56(\mathrm{m})$.
答:小明一家步行上升的垂直高度约为56 m.
(2)如图,过点B作$BF ⊥ CD$于点F,则四边形BEDF为矩形,
$\therefore DF = BE = 56\ \mathrm{m}$,$\therefore CF = CD - DF = 296 - 56 = 240(\mathrm{m})$.
在Rt△CBF中,$\sin ∠ CBF = \frac{CF}{BC} = \sin 37°$,
$\therefore BC = \frac{CF}{\sin 37°} \approx \frac{240}{0.6} = 400(\mathrm{m})$.
答:缆车的行驶路线BC的长约为400 m.
解析
【分析】
(1) 求步行上升的垂直高度，就是求点B到AD的竖直距离，因此过点B作$BE⊥AD$于E，构造$Rt△ ABE$。已知斜边AB的长度和坡角$α$，根据正弦函数的定义$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BE}{AB}$，代入已知数值即可求出BE的长度，即步行上升的垂直高度。
(2) 求缆车路线BC的长度，先过点B作$BF⊥CD$于F，可证四边形BEDF是矩形，根据矩形对边相等得$DF=BE$，用总高度CD减去DF得到$Rt△ CBF$中角$β$的对边CF的长度，再根据$\sinβ=\frac{CF}{BC}$变形，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 如图，过点B作$BE ⊥ AD$于点E。
在$Rt△ ABE$中，$\sinα = \frac{BE}{AB}$，已知$AB=200\mathrm{m}$，$\sin16°\approx0.28$，
$\therefore BE = AB · \sin16° \approx 200 × 0.28 = 56(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点B作$BF ⊥ CD$于点F，
$\because BE⊥AD$，$CD⊥AD$，$BF⊥CD$，
$\therefore$ 四边形BEDF为矩形，
$\therefore DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
$\therefore CF = CD - DF = 296 - 56 = 240(\mathrm{m})$。
在$Rt△ CBF$中，$\sinβ = \frac{CF}{BC}$，已知$\sin37°\approx0.60$，
$\therefore BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.6} = 400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 小明一家步行上升的垂直高度约为56 m；
(2) 缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题是结合生活场景的解直角三角形应用题，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题中的条件转化为直角三角形的边角关系，结合相关性质计算即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
(1) 求步行上升的垂直高度，就是求点B到AD的竖直距离，因此过点B作$BE⊥AD$于E，构造$Rt△ ABE$。已知斜边AB的长度和坡角$α$，根据正弦函数的定义$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BE}{AB}$，代入已知数值即可求出BE的长度，即步行上升的垂直高度。
(2) 求缆车路线BC的长度，先过点B作$BF⊥CD$于F，可证四边形BEDF是矩形，根据矩形对边相等得$DF=BE$，用总高度CD减去DF得到$Rt△ CBF$中角$β$的对边CF的长度，再根据$\sinβ=\frac{CF}{BC}$变形，代入数值即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 如图，过点B作$BE ⊥ AD$于点E。
在$Rt△ ABE$中，$\sinα = \frac{BE}{AB}$，已知$AB=200\mathrm{m}$，$\sin16°\approx0.28$，
$\therefore BE = AB · \sin16° \approx 200 × 0.28 = 56(\mathrm{m})$。
(2) 如图，过点B作$BF ⊥ CD$于点F，
$\because BE⊥AD$，$CD⊥AD$，$BF⊥CD$，
$\therefore$ 四边形BEDF为矩形，
$\therefore DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
$\therefore CF = CD - DF = 296 - 56 = 240(\mathrm{m})$。
在$Rt△ CBF$中，$\sinβ = \frac{CF}{BC}$，已知$\sin37°\approx0.60$，
$\therefore BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.6} = 400(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 小明一家步行上升的垂直高度约为56 m；
(2) 缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数，矩形的性质
【点评】
本题是结合生活场景的解直角三角形应用题，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题中的条件转化为直角三角形的边角关系，结合相关性质计算即可，解题思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
4. [2025眉山中考]人字梯为现代家庭常用的工具.如图,若AB,AC的长都为2 m,当α=65°时,人字梯顶端离地面的高度是
$1.8$
m.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 65° \approx 0.91$,$\cos 65° \approx 0.42$,$\tan 65° \approx 2.14$)答案
如图,过点A作$AD ⊥ BC$于点D. 在Rt△ACD中,
$\sin ∠ ACD = \frac{AD}{AC} = \sin 65°$,$\therefore AD = AC · \sin 65° \approx 2 × 0.91 \approx 1.8(\mathrm{m})$.
解析
【分析】
要求人字梯顶端离地面的高度，即求点A到地面BC的垂线段长度。我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：过点A作AD⊥BC于点D，得到Rt△ACD。已知Rt△ACD的斜边AC=2m，锐角∠ACD=α=65°，要求∠ACD的对边AD的长度，根据锐角三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，因此选择正弦函数即可列式计算AD的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，则$∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=α=65°$，
由正弦函数的定义可得：$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$，
变形得$AD=AC·\sin65°$，
代入参考数据计算：$AD\approx2×0.91=1.82\approx1.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{1.8}$
【知识点】
解直角三角形应用，正弦函数，构造直角三角形
【点评】
本题结合生活中人字梯的场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数进行计算，题目贴合生活实际，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要求人字梯顶端离地面的高度，即求点A到地面BC的垂线段长度。我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：过点A作AD⊥BC于点D，得到Rt△ACD。已知Rt△ACD的斜边AC=2m，锐角∠ACD=α=65°，要求∠ACD的对边AD的长度，根据锐角三角函数的定义，正弦函数为对边与斜边的比值，因此选择正弦函数即可列式计算AD的长度。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$于点D，则$∠ ADC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC=2\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=α=65°$，
由正弦函数的定义可得：$\sin∠ ACD=\frac{AD}{AC}$，
变形得$AD=AC·\sin65°$，
代入参考数据计算：$AD\approx2×0.91=1.82\approx1.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{1.8}$
【知识点】
解直角三角形应用，正弦函数，构造直角三角形
【点评】
本题结合生活中人字梯的场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，选择合适的锐角三角函数进行计算，题目贴合生活实际，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
5. 新情境 [2026连云港新海初级中学月考] 近年“机器狗技术”发展迅速，正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角(如图1)，图2是其腿部简化图，其中$AB = BC = 20\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC = 120°$，则$A,C$两点的距离为
$20\sqrt{3}$
$\mathrm{cm}.$答案
如图,连接AC,过点B作$BD ⊥ AC$于点D. $\because AB = BC$,$\therefore BD$是△ABC的高、中线及角平分线,$\therefore AC = 2AD$,$∠ ABD = 60°$,$\therefore ∠ A = 30°$,$\therefore AD = AB · \cos 30° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$\therefore AC = 2AD = 20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，$AB=BC$，可判断$△ ABC$是等腰三角形，已知顶角$∠ ABC=120°$，要求底边$AC$的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点$B$作$AC$的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过解直角三角形求出线段$AD$的长度，进而得到$AC$的总长度。
【解析】
连接$AC$，过点$B$作$BD ⊥ AC$于点D。
$\because AB = BC$，$BD$为等腰$△ ABC$底边$AC$上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD$同时是$∠ ABC$的角平分线和$AC$的中线，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，$AC = 2AD$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ A = 90° - ∠ ABD = 30°$，$AB = 20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD = AB · \cos30° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC = 2AD = 2 × 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题结合机器狗的生活新情境，考查几何知识的实际应用，解题的关键是通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形的性质简化计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，$AB=BC$，可判断$△ ABC$是等腰三角形，已知顶角$∠ ABC=120°$，要求底边$AC$的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点$B$作$AC$的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，再通过解直角三角形求出线段$AD$的长度，进而得到$AC$的总长度。
【解析】
连接$AC$，过点$B$作$BD ⊥ AC$于点D。
$\because AB = BC$，$BD$为等腰$△ ABC$底边$AC$上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，$BD$同时是$∠ ABC$的角平分线和$AC$的中线，
$\therefore ∠ ABD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，$AC = 2AD$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ A = 90° - ∠ ABD = 30°$，$AB = 20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD = AB · \cos30° = 20 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC = 2AD = 2 × 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$20\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形性质，解直角三角形，锐角三角函数
【点评】
本题结合机器狗的生活新情境，考查几何知识的实际应用，解题的关键是通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形的性质简化计算，侧重考查基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 新趋势·传统文化 [2025长沙模拟] 桔槔[jié gāo]俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，其示意图如图2，垂直于水平地面的支撑杆OM=3 m，杠杆AB=6 m，OA:OB=2:1. 当点A位于最高点时，∠AOM=120°，求此时点A到地面的距离.
答案
解:如图,过点O作$EF ⊥ OM$于点O,过点A作$AG ⊥ EF$于点G.
$\because AB = 6\ \mathrm{m}$,$OA:OB = 2:1$,$\therefore OA = 4\ \mathrm{m}$.
$\because ∠ AOM = 120°$,$∠ EOM = 90°$,$\therefore ∠ AOE = 30°$.
在Rt△AOG中,$AG = AO · \sin 30° = 4 × \frac{1}{2} = 2(\mathrm{m})$,
$\because OM = 3\ \mathrm{m}$,
$\therefore$ 点A位于最高点时到地面的距离为$2 + 3 = 5(\mathrm{m})$.
答:此时点A到地面的距离为5 m.
解析
【分析】
要求点A到地面的距离，可通过作辅助线将该距离拆解为两段可计算的长度之和：一段是已知的支撑杆OM的高度，另一段是点A到过O且平行于地面的水平线的垂直距离。首先根据杠杆总长度和OA、OB的比例算出OA的长度，再结合已知的∠AOM=120°求出OA与水平线的夹角，最后在构造出的直角三角形中利用锐角三角函数算出A到水平线的距离，两段长度相加即可得到最终结果。
【解析】
过点O作$EF ⊥ OM$于点O，过点A作$AG ⊥ EF$于点G。
$\because AB = 6\ \mathrm{m}$，$OA:OB = 2:1$，$\therefore OA = \frac{2}{2+1}×6 = 4\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ AOM = 120°$，$∠ EOM = 90°$，$\therefore ∠ AOE = ∠AOM - ∠EOM = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△AOG$中，$AG = AO · \sin 30° = 4 × \frac{1}{2} = 2(\mathrm{m})$。
$\because OM = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点A到地面的距离为$2 + 3 = 5(\mathrm{m})$。
【答案】
此时点A到地面的距离为5 m。
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，比例计算
【点评】
本题以我国古代农用工具桔槔为命题背景，既考查了解直角三角形在实际问题中的应用，也能让学生体会我国古代劳动人民的智慧。解题关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将实际长度问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.7
要求点A到地面的距离，可通过作辅助线将该距离拆解为两段可计算的长度之和：一段是已知的支撑杆OM的高度，另一段是点A到过O且平行于地面的水平线的垂直距离。首先根据杠杆总长度和OA、OB的比例算出OA的长度，再结合已知的∠AOM=120°求出OA与水平线的夹角，最后在构造出的直角三角形中利用锐角三角函数算出A到水平线的距离，两段长度相加即可得到最终结果。
【解析】
过点O作$EF ⊥ OM$于点O，过点A作$AG ⊥ EF$于点G。
$\because AB = 6\ \mathrm{m}$，$OA:OB = 2:1$，$\therefore OA = \frac{2}{2+1}×6 = 4\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ AOM = 120°$，$∠ EOM = 90°$，$\therefore ∠ AOE = ∠AOM - ∠EOM = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△AOG$中，$AG = AO · \sin 30° = 4 × \frac{1}{2} = 2(\mathrm{m})$。
$\because OM = 3\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点A到地面的距离为$2 + 3 = 5(\mathrm{m})$。
【答案】
此时点A到地面的距离为5 m。
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，比例计算
【点评】
本题以我国古代农用工具桔槔为命题背景，既考查了解直角三角形在实际问题中的应用，也能让学生体会我国古代劳动人民的智慧。解题关键是合理作出辅助线构造直角三角形，将实际长度问题转化为直角三角形的边长求解问题。
【难度系数】
0.7
