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1. 如图，数轴上有A，B，C，D四点，表示的数都是整数，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且$b-2a=9$（图中每一小段表示1个单位长度）。
（1）数轴上的原点是A，B，C，D四点中的哪一点？
（2）A，B，C，D四点表示的有理数分别是多少？
（1）数轴上的原点是A，B，C，D四点中的哪一点？
（2）A，B，C，D四点表示的有理数分别是多少？
答案
1.解:(1)由题图,得点A,B之间的距离为4,即$b-a=4$,且$b-2a=9$,所以$4-a=9$,即$a=-5$.易得C是数轴的原点.
(2)由(1)及题图,可得A,B,C,D四点表示的有理数分别为$-5,-1,0,3$.
(2)由(1)及题图,可得A,B,C,D四点表示的有理数分别为$-5,-1,0,3$.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定A、B两点的距离，得到b与a的数量关系，再结合题干给出的$b-2a=9$的条件，通过代入计算求出a的值，就能判断原点的位置；最后根据数轴上各点的相对位置，依次计算出四个点对应的有理数即可。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A和点B之间间隔4个单位长度，因此$b-a=4$，即$b=a+4$。
将$b=a+4$代入$b-2a=9$，可得：
$a+4-2a=9$
解得$a=-5$，即点A表示的数为-5。
点C在点A右侧5个单位长度处，对应数值为$-5+5=0$，因此点C是数轴的原点。
(2) 结合(1)的结果和各点的相对位置计算：
点A表示的数为$a=-5$；
点B在A右侧4个单位，数值为$-5+4=-1$；
点C为原点，数值为0；
点D在C右侧3个单位，数值为$0+3=3$。
【答案】
(1) 数轴的原点是点C；
(2) A，B，C，D四点表示的有理数分别为$-5,-1,0,3$。
【知识点】
数轴的应用，一元一次方程求解，有理数与数轴对应
【点评】
本题是数轴数形结合思想的典型基础题，解题核心是将数轴上点的位置关系转化为数值的运算关系，结合方程求解数值，既考察了数轴的基础性质，也体现了方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定A、B两点的距离，得到b与a的数量关系，再结合题干给出的$b-2a=9$的条件，通过代入计算求出a的值，就能判断原点的位置；最后根据数轴上各点的相对位置，依次计算出四个点对应的有理数即可。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A和点B之间间隔4个单位长度，因此$b-a=4$，即$b=a+4$。
将$b=a+4$代入$b-2a=9$，可得：
$a+4-2a=9$
解得$a=-5$，即点A表示的数为-5。
点C在点A右侧5个单位长度处，对应数值为$-5+5=0$，因此点C是数轴的原点。
(2) 结合(1)的结果和各点的相对位置计算：
点A表示的数为$a=-5$；
点B在A右侧4个单位，数值为$-5+4=-1$；
点C为原点，数值为0；
点D在C右侧3个单位，数值为$0+3=3$。
【答案】
(1) 数轴的原点是点C；
(2) A，B，C，D四点表示的有理数分别为$-5,-1,0,3$。
【知识点】
数轴的应用，一元一次方程求解，有理数与数轴对应
【点评】
本题是数轴数形结合思想的典型基础题，解题核心是将数轴上点的位置关系转化为数值的运算关系，结合方程求解数值，既考察了数轴的基础性质，也体现了方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
2. 如图，点Q，P，R，S，T在数轴上（图中每一小段表示1个单位长度）。
(1)若点P和点T表示的数互为相反数，则点S表示的数是多少？点P和点T表示的数又分别是多少？
(2)如果点Q，P，R，T中的两点所表示的数互为相反数，那么此时点S表示的数可以是哪一个整数？
(1)若点P和点T表示的数互为相反数，则点S表示的数是多少？点P和点T表示的数又分别是多少？
(2)如果点Q，P，R，T中的两点所表示的数互为相反数，那么此时点S表示的数可以是哪一个整数？
答案
2.解:(1)因为点P和点T表示的数互为相反数,点P和点T之间相距8个单位长度,点S与点P和点T均相距4个单位长度,点P在点T的左侧,所以点S表示的数是0,点P和点T表示的数分别是$-4,4$.
(2)当点Q和点P表示的数互为相反数时,点S表示的数是5;当点Q和点R表示的数互为相反数时,点S表示的数是4;当点Q和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是1;当点P和点R表示的数互为相反数,点S表示的数是3;当点P和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是0;当点R和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是$-1$.
(2)当点Q和点P表示的数互为相反数时,点S表示的数是5;当点Q和点R表示的数互为相反数时,点S表示的数是4;当点Q和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是1;当点P和点R表示的数互为相反数,点S表示的数是3;当点P和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是0;当点R和点T表示的数互为相反数时,点S表示的数是$-1$.
解析
【分析】
(1) 解题核心是利用相反数的数轴性质：互为相反数的两个数对应的点到原点距离相等，两点的中点就是原点。首先数出P、T两点的距离，找到中点即可确定原点位置，再根据各点与原点的相对位置计算对应数值。
(2) 第二问需要先列出Q、P、R、T四个点所有两两互为相反数的组合，共6种情况，对每种情况先找两点中点确定原点位置，再根据点S和原点的距离、相对方向算出点S对应的整数，分类讨论时注意不要遗漏组合。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点P和点T之间相距8个单位长度。因为互为相反数的两个点的中点为原点，且点S到P、T的距离均为4个单位长度，即S是P、T的中点，因此点S为原点，表示的数是0。
因为点P在S左侧4个单位长度，所以P表示的数为$0-4=-4$；点T在S右侧4个单位长度，所以T表示的数为$0+4=4$。
(2) 对Q、P、R、T两两组合的所有情况分别讨论：
① 当Q和P互为相反数时：Q、P间隔2个单位长度，原点在P左侧1个单位长度处，此时S在原点右侧5个单位长度，S表示5；
② 当Q和R互为相反数时：Q、R间隔4个单位长度，原点为P点，此时S在原点右侧4个单位长度，S表示4；
③ 当Q和T互为相反数时：Q、T间隔10个单位长度，原点在Q右侧5个单位长度处，此时S在原点右侧1个单位长度，S表示1；
④ 当P和R互为相反数时：P、R间隔2个单位长度，原点在P右侧1个单位长度处，此时S在原点右侧3个单位长度，S表示3；
⑤ 当P和T互为相反数时：同(1)的情况，S表示0；
⑥ 当R和T互为相反数时：R、T间隔6个单位长度，原点在R右侧3个单位长度处，此时S在原点左侧1个单位长度，S表示$-1$。
【答案】
(1) 点S表示的数是0，点P和点T表示的数分别是$-4,4$。
(2) 点S表示的数可以是5、4、3、1、0、$-1$。
【知识点】
相反数的性质，数轴的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴考察相反数的相关性质，解题关键是明确互为相反数的两个点在数轴上关于原点对称，即两点的中点为原点。第二问需要对所有符合条件的点对进行分类讨论，避免漏解，能有效锻炼数形结合与分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题核心是利用相反数的数轴性质：互为相反数的两个数对应的点到原点距离相等，两点的中点就是原点。首先数出P、T两点的距离，找到中点即可确定原点位置，再根据各点与原点的相对位置计算对应数值。
(2) 第二问需要先列出Q、P、R、T四个点所有两两互为相反数的组合，共6种情况，对每种情况先找两点中点确定原点位置，再根据点S和原点的距离、相对方向算出点S对应的整数，分类讨论时注意不要遗漏组合。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点P和点T之间相距8个单位长度。因为互为相反数的两个点的中点为原点，且点S到P、T的距离均为4个单位长度，即S是P、T的中点，因此点S为原点，表示的数是0。
因为点P在S左侧4个单位长度，所以P表示的数为$0-4=-4$；点T在S右侧4个单位长度，所以T表示的数为$0+4=4$。
(2) 对Q、P、R、T两两组合的所有情况分别讨论：
① 当Q和P互为相反数时：Q、P间隔2个单位长度，原点在P左侧1个单位长度处，此时S在原点右侧5个单位长度，S表示5；
② 当Q和R互为相反数时：Q、R间隔4个单位长度，原点为P点，此时S在原点右侧4个单位长度，S表示4；
③ 当Q和T互为相反数时：Q、T间隔10个单位长度，原点在Q右侧5个单位长度处，此时S在原点右侧1个单位长度，S表示1；
④ 当P和R互为相反数时：P、R间隔2个单位长度，原点在P右侧1个单位长度处，此时S在原点右侧3个单位长度，S表示3；
⑤ 当P和T互为相反数时：同(1)的情况，S表示0；
⑥ 当R和T互为相反数时：R、T间隔6个单位长度，原点在R右侧3个单位长度处，此时S在原点左侧1个单位长度，S表示$-1$。
【答案】
(1) 点S表示的数是0，点P和点T表示的数分别是$-4,4$。
(2) 点S表示的数可以是5、4、3、1、0、$-1$。
【知识点】
相反数的性质，数轴的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合数轴考察相反数的相关性质，解题关键是明确互为相反数的两个点在数轴上关于原点对称，即两点的中点为原点。第二问需要对所有符合条件的点对进行分类讨论，避免漏解，能有效锻炼数形结合与分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6
3.如图,四个有理数$m,n,p,q$在数轴上对应的点分别为$M,N,P,Q$,若$n+q=0$,则$m,n,p,q$四个有理数中,绝对值最小的一个是
（
A.$p$
B.$q$
C.$m$
D.$n$
（
C
）A.$p$
B.$q$
C.$m$
D.$n$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先利用“若两个数的和为0，则这两个数互为相反数”的性质，由n+q=0可知n和q互为相反数，因此数轴的原点就是点N和点Q的中点。再结合绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，距离越小绝对值越小，只需判断四个点中哪个距离原点最近，就能找到绝对值最小的数。
【解析】
解：
∵n+q=0，
∴n与q互为相反数，
∴数轴的原点是线段NQ的中点。
根据绝对值的几何意义，数轴上的点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，观察数轴可知，点M到原点的距离最近，点M对应的数是m，因此四个数中绝对值最小的是m。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，绝对值的几何意义，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与相反数、绝对值结合的基础题，解题核心是先根据相反数的性质确定原点的位置，再利用绝对值的几何意义判断即可，能很好地考查数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用“若两个数的和为0，则这两个数互为相反数”的性质，由n+q=0可知n和q互为相反数，因此数轴的原点就是点N和点Q的中点。再结合绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，距离越小绝对值越小，只需判断四个点中哪个距离原点最近，就能找到绝对值最小的数。
【解析】
解：
∵n+q=0，
∴n与q互为相反数，
∴数轴的原点是线段NQ的中点。
根据绝对值的几何意义，数轴上的点到原点的距离就是该点对应数的绝对值，观察数轴可知，点M到原点的距离最近，点M对应的数是m，因此四个数中绝对值最小的是m。
【答案】
C
【知识点】
相反数的性质，绝对值的几何意义，数轴的应用
【点评】
本题是数轴与相反数、绝对值结合的基础题，解题核心是先根据相反数的性质确定原点的位置，再利用绝对值的几何意义判断即可，能很好地考查数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.8
4. 下列各数：$+3$，$-(-2)$，$-|-1|$，$-2^2$，$0$，$1\frac{1}{2}$，$-\frac{2}{3}$，$-(+5)$。把它们在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来。
答案
4.解:图略,$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}＜0＜1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$.
解析
【分析】
解题的核心思路分三步：第一步先将所有带运算符号的有理数化简为最简形式，避免直接比较出现错误；第二步可通过两种方法比较大小，方法一是利用有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较时绝对值大的数反而小，方法二是利用数轴性质：数轴上右边的数总比左边的数大，将化简后的数标在数轴上再按从左到右的顺序排序；最后按要求写出排序结果，数轴表示按规范作图即可。需要注意计算$-2^2$时要先算乘方再加负号，不要和$(-2)^2$混淆。
【解析】
第一步：先化简各数：
$+3=3$；
$-(-2)=2$（多重符号化简，负负得正）；
$-|-1|=-1$（先计算绝对值得1，再添加负号）；
$-2^2=-4$（先计算乘方$2^2=4$，再添加负号）；
$0$无需化简；
$1\frac{1}{2}$无需化简；
$-\frac{2}{3}$无需化简；
$-(+5)=-5$（多重符号化简，正数前加负号得负数）。
第二步：比较大小：
先分类：负数有$-(+5),-2^2,-|-1|,-\frac{2}{3}$，0，正数有$1\frac{1}{2},-(-2),+3$。
负数比较：先算绝对值$|-(+5)|=5$，$|-2^2|=4$，$|-|-1||=1$，$|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$，因为$5＞4＞1＞\frac{2}{3}$，所以负数从小到大排序为$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}$；
正数比较：$1\frac{1}{2}＜2＜3$，即$1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$；
综上可得整体排序为$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}＜0＜1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$。
第三步：数轴表示：画出带原点、正方向、单位长度的数轴，将上述化简后的数对应标注在数轴对应位置即可，图略。
【答案】
图略，$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}＜0＜1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$
【知识点】
1. 有理数大小比较
2. 数轴的性质
3. 有理数化简
【点评】
本题是有理数章节的基础常考题，解题的关键是先正确化简各数，尤其要注意乘方、绝对值、多重符号的运算规则，避免出现符号错误，再结合大小比较规则或数轴性质排序即可，掌握数轴数形结合的方法能有效降低排序错误率。
【难度系数】
0.7
解题的核心思路分三步：第一步先将所有带运算符号的有理数化简为最简形式，避免直接比较出现错误；第二步可通过两种方法比较大小，方法一是利用有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较时绝对值大的数反而小，方法二是利用数轴性质：数轴上右边的数总比左边的数大，将化简后的数标在数轴上再按从左到右的顺序排序；最后按要求写出排序结果，数轴表示按规范作图即可。需要注意计算$-2^2$时要先算乘方再加负号，不要和$(-2)^2$混淆。
【解析】
第一步：先化简各数：
$+3=3$；
$-(-2)=2$（多重符号化简，负负得正）；
$-|-1|=-1$（先计算绝对值得1，再添加负号）；
$-2^2=-4$（先计算乘方$2^2=4$，再添加负号）；
$0$无需化简；
$1\frac{1}{2}$无需化简；
$-\frac{2}{3}$无需化简；
$-(+5)=-5$（多重符号化简，正数前加负号得负数）。
第二步：比较大小：
先分类：负数有$-(+5),-2^2,-|-1|,-\frac{2}{3}$，0，正数有$1\frac{1}{2},-(-2),+3$。
负数比较：先算绝对值$|-(+5)|=5$，$|-2^2|=4$，$|-|-1||=1$，$|-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$，因为$5＞4＞1＞\frac{2}{3}$，所以负数从小到大排序为$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}$；
正数比较：$1\frac{1}{2}＜2＜3$，即$1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$；
综上可得整体排序为$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}＜0＜1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$。
第三步：数轴表示：画出带原点、正方向、单位长度的数轴，将上述化简后的数对应标注在数轴对应位置即可，图略。
【答案】
图略，$-(+5)＜-2^2＜-|-1|＜-\frac{2}{3}＜0＜1\frac{1}{2}＜-(-2)＜+3$
【知识点】
1. 有理数大小比较
2. 数轴的性质
3. 有理数化简
【点评】
本题是有理数章节的基础常考题，解题的关键是先正确化简各数，尤其要注意乘方、绝对值、多重符号的运算规则，避免出现符号错误，再结合大小比较规则或数轴性质排序即可，掌握数轴数形结合的方法能有效降低排序错误率。
【难度系数】
0.7
5. 一只蚂蚁从原点出发来回爬行，爬行的各段路程依次为＋5，－3，＋10，－8，－9，＋12，－10. 回答下列问题：
(1)在如图所示的数轴上画出蚂蚁最后所在的位置；
(2)蚂蚁在爬行过程中距离原点最远是多少？
(3)在爬行过程中，若每爬1个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？
(1)在如图所示的数轴上画出蚂蚁最后所在的位置；
(2)蚂蚁在爬行过程中距离原点最远是多少？
(3)在爬行过程中，若每爬1个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻？
答案
5.解:(1)图略,蚂蚁最后的位置在$-3$处.
(2)第一次爬行,距离原点5个单位长度;第二次爬行,距离原点$5-3=2$(个)单位长度;第三次爬行,距离原点$2+10=12$(个)单位长度;第四次爬行,距离原点$12-8=4$(个)单位长度;第五次爬行,距离原点$|4-9|=|-5|=5$(个)单位长度;第六次爬行,距离原点$-5+12=7$(个)单位长度;第七次爬行,距离原点$|7-10|=3$(个)单位长度,所以蚂蚁在爬行过程中离原点最远是12个单位长度.
(3)一共得到$(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114$(粒)芝麻.
(2)第一次爬行,距离原点5个单位长度;第二次爬行,距离原点$5-3=2$(个)单位长度;第三次爬行,距离原点$2+10=12$(个)单位长度;第四次爬行,距离原点$12-8=4$(个)单位长度;第五次爬行,距离原点$|4-9|=|-5|=5$(个)单位长度;第六次爬行,距离原点$-5+12=7$(个)单位长度;第七次爬行,距离原点$|7-10|=3$(个)单位长度,所以蚂蚁在爬行过程中离原点最远是12个单位长度.
(3)一共得到$(|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|)×2=114$(粒)芝麻.
解析
【分析】
(1)要确定蚂蚁最终的位置，只需将各段爬行路程相加，所得结果就是蚂蚁相对于原点的位置，结果为正则在原点右侧，为负则在原点左侧。
(2)求距离原点的最远距离，需要依次计算每次爬行结束后蚂蚁所在位置到原点的距离（即对应数的绝对值），再比较所有距离的大小，最大的就是所求的最远距离。
(3)芝麻奖励只和爬行的总长度有关，和方向无关，因此先求出所有爬行路程的绝对值之和得到总路程，再乘每单位长度奖励的芝麻数，即可得到总芝麻数。
【解析】
(1) 计算蚂蚁最终位置：
$+5-3+10-8-9+12-10=-3$，因此蚂蚁最后在数轴上$-3$的位置，在数轴上标注出$-3$即可。
(2) 逐次计算每次爬行后到原点的距离：
第一次爬行后：位置为$+5$，到原点距离为$|+5|=5$个单位长度；
第二次爬行后：位置为$5-3=2$，到原点距离为$|2|=2$个单位长度；
第三次爬行后：位置为$2+10=12$，到原点距离为$|12|=12$个单位长度；
第四次爬行后：位置为$12-8=4$，到原点距离为$|4|=4$个单位长度；
第五次爬行后：位置为$4-9=-5$，到原点距离为$|-5|=5$个单位长度；
第六次爬行后：位置为$-5+12=7$，到原点距离为$|7|=7$个单位长度；
第七次爬行后：位置为$7-10=-3$，到原点距离为$|-3|=3$个单位长度；
比较可得$12$是最大距离，即蚂蚁离原点最远是12个单位长度。
(3) 先计算总爬行路程：
$|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+9+12+10=57$
总芝麻数：$57×2=114$（粒）
【答案】
(1) 蚂蚁最后在数轴上$-3$处，图略；
(2) 距离原点最远是12个单位长度；
(3) 一共得到114粒芝麻。
【知识点】
正负数的意义，数轴的应用，绝对值的计算
【点评】
本题结合实际场景考察正负数、数轴和绝对值的综合应用，解题时要注意区分位移和路程的差异：位移需要带符号计算，路程仅看长度需取绝对值，第二问要逐次计算每次的距离避免遗漏最大值，能有效锻炼数形结合思维和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
(1)要确定蚂蚁最终的位置，只需将各段爬行路程相加，所得结果就是蚂蚁相对于原点的位置，结果为正则在原点右侧，为负则在原点左侧。
(2)求距离原点的最远距离，需要依次计算每次爬行结束后蚂蚁所在位置到原点的距离（即对应数的绝对值），再比较所有距离的大小，最大的就是所求的最远距离。
(3)芝麻奖励只和爬行的总长度有关，和方向无关，因此先求出所有爬行路程的绝对值之和得到总路程，再乘每单位长度奖励的芝麻数，即可得到总芝麻数。
【解析】
(1) 计算蚂蚁最终位置：
$+5-3+10-8-9+12-10=-3$，因此蚂蚁最后在数轴上$-3$的位置，在数轴上标注出$-3$即可。
(2) 逐次计算每次爬行后到原点的距离：
第一次爬行后：位置为$+5$，到原点距离为$|+5|=5$个单位长度；
第二次爬行后：位置为$5-3=2$，到原点距离为$|2|=2$个单位长度；
第三次爬行后：位置为$2+10=12$，到原点距离为$|12|=12$个单位长度；
第四次爬行后：位置为$12-8=4$，到原点距离为$|4|=4$个单位长度；
第五次爬行后：位置为$4-9=-5$，到原点距离为$|-5|=5$个单位长度；
第六次爬行后：位置为$-5+12=7$，到原点距离为$|7|=7$个单位长度；
第七次爬行后：位置为$7-10=-3$，到原点距离为$|-3|=3$个单位长度；
比较可得$12$是最大距离，即蚂蚁离原点最远是12个单位长度。
(3) 先计算总爬行路程：
$|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+9+12+10=57$
总芝麻数：$57×2=114$（粒）
【答案】
(1) 蚂蚁最后在数轴上$-3$处，图略；
(2) 距离原点最远是12个单位长度；
(3) 一共得到114粒芝麻。
【知识点】
正负数的意义，数轴的应用，绝对值的计算
【点评】
本题结合实际场景考察正负数、数轴和绝对值的综合应用，解题时要注意区分位移和路程的差异：位移需要带符号计算，路程仅看长度需取绝对值，第二问要逐次计算每次的距离避免遗漏最大值，能有效锻炼数形结合思维和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
