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7.下列说法中正确的是()
A.当某纸板P平行于某投影面时，P的正投影与P的形状相同，大小不同
B.当某纸板P平行于某投影面时，P的正投影与P的形状、大小完全相同
C.当某纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影面积大于P的面积
D.当某纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影面积与P的面积相等
A.当某纸板P平行于某投影面时，P的正投影与P的形状相同，大小不同
B.当某纸板P平行于某投影面时，P的正投影与P的形状、大小完全相同
C.当某纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影面积大于P的面积
D.当某纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影面积与P的面积相等
答案
B
解析
【分析】
这道题考查正投影的相关性质，解题时需先明确平面图形与投影面处于不同位置关系时的正投影规律：①当平面图形平行于投影面时，正投影与原图形形状、大小完全一致；②当平面图形倾斜于投影面时，正投影是与原图形形状类似、面积更小的图形；③当平面图形垂直于投影面时，正投影积聚为一条线段。后续只需将各选项对应上述规律逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当纸板P平行于投影面时，正投影与P的形状、大小均相同，因此A错误；
B. 当纸板P平行于投影面时，正投影与P全等，形状、大小完全相同，因此B正确；
C. 当纸板P倾斜于投影面Q时，正投影面积小于P的面积，因此C错误；
D. 当纸板P垂直于投影面Q时，正投影为一条线段，面积为0，和P的面积不相等，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正投影的性质；平面投影规律
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握平面在平行、倾斜、垂直于投影面三种情况下的正投影特点，牢记对应规律即可快速解题，出错率较低。
【难度系数】
0.8
这道题考查正投影的相关性质，解题时需先明确平面图形与投影面处于不同位置关系时的正投影规律：①当平面图形平行于投影面时，正投影与原图形形状、大小完全一致；②当平面图形倾斜于投影面时，正投影是与原图形形状类似、面积更小的图形；③当平面图形垂直于投影面时，正投影积聚为一条线段。后续只需将各选项对应上述规律逐一判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当纸板P平行于投影面时，正投影与P的形状、大小均相同，因此A错误；
B. 当纸板P平行于投影面时，正投影与P全等，形状、大小完全相同，因此B正确；
C. 当纸板P倾斜于投影面Q时，正投影面积小于P的面积，因此C错误；
D. 当纸板P垂直于投影面Q时，正投影为一条线段，面积为0，和P的面积不相等，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
正投影的性质；平面投影规律
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握平面在平行、倾斜、垂直于投影面三种情况下的正投影特点，牢记对应规律即可快速解题，出错率较低。
【难度系数】
0.8
8.如图，下面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影是()
答案
解：
根据正投影的性质：当物体的某个平面与投影面平行时，这个平面的正投影与原平面的形状、大小完全相同。
本题中杯口与投影面平行，投影线竖直向下且垂直于投影面：水杯的杯身为圆柱，其轴线垂直于投影面，正投影为和杯口大小一致的圆；杯把的正投影是从圆边缘向外伸出的短线，符合该特征的是选项D。
答：D。
根据正投影的性质：当物体的某个平面与投影面平行时，这个平面的正投影与原平面的形状、大小完全相同。
本题中杯口与投影面平行，投影线竖直向下且垂直于投影面：水杯的杯身为圆柱，其轴线垂直于投影面，正投影为和杯口大小一致的圆；杯把的正投影是从圆边缘向外伸出的短线，符合该特征的是选项D。
答：D。
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查正投影的相关知识，先提取题干关键条件：杯口与投影面平行，投影线垂直于投影面（属于正投影）。第一步回忆正投影的性质：当平面平行于投影面时，其正投影与原平面形状、大小完全相同，因此可先确定杯口的正投影为与杯口等大的圆，初步排除形状不符的选项；第二步再分析杯把的正投影特征：杯把位于杯身外侧，投影后会呈现为从圆边缘向外伸出的短线，结合这两个特征即可匹配到正确选项。
【解析】
根据正投影的性质：当物体的某个平面与投影面平行时，这个平面的正投影与原平面的形状、大小完全相同。
本题中投影线垂直于投影面，属于正投影：①杯口与投影面平行，杯身为轴线垂直于投影面的圆柱，因此杯身和杯口的正投影为和杯口大小一致的圆；②杯把的正投影为从圆边缘向外伸出的短线段。结合上述特征，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.正投影的性质
2.立体图形的正投影
【点评】
本题是正投影性质的基础应用考题，解题核心是抓住“平行于投影面的平面的正投影与原图形全等”这一关键性质，同时注意不要遗漏附属结构的投影特征，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查正投影的相关知识，先提取题干关键条件：杯口与投影面平行，投影线垂直于投影面（属于正投影）。第一步回忆正投影的性质：当平面平行于投影面时，其正投影与原平面形状、大小完全相同，因此可先确定杯口的正投影为与杯口等大的圆，初步排除形状不符的选项；第二步再分析杯把的正投影特征：杯把位于杯身外侧，投影后会呈现为从圆边缘向外伸出的短线，结合这两个特征即可匹配到正确选项。
【解析】
根据正投影的性质：当物体的某个平面与投影面平行时，这个平面的正投影与原平面的形状、大小完全相同。
本题中投影线垂直于投影面，属于正投影：①杯口与投影面平行，杯身为轴线垂直于投影面的圆柱，因此杯身和杯口的正投影为和杯口大小一致的圆；②杯把的正投影为从圆边缘向外伸出的短线段。结合上述特征，只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.正投影的性质
2.立体图形的正投影
【点评】
本题是正投影性质的基础应用考题，解题核心是抓住“平行于投影面的平面的正投影与原图形全等”这一关键性质，同时注意不要遗漏附属结构的投影特征，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
9.投影线的方向如箭头所示,画出下列各图形的正投影.
答案
解：
各图形的正投影绘制结果如下：
(1) 投影线竖直向下，横放圆柱的正投影为矩形，矩形的一组对边长度等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长度等于圆柱的轴向长度。
(2) 投影线水平向右，下方圆柱的正投影为矩形，上方圆锥的正投影为等腰三角形，二者底边长度相等，拼接为下部分是矩形、上部分是等腰三角形的组合图形。
(3) 投影线竖直向下，正五棱柱的正投影为与棱柱上底面全等的正五边形。
(4) 投影线水平向右，直三棱柱的正投影为与棱柱朝向投影面的侧面全等的矩形。
(5) 投影线竖直向下，空心圆柱的正投影为两个同心圆，外圆与空心圆柱的外底面全等，内圆与空心圆柱的内底面全等。
(6) 投影线从下向上指向立方体，立方体的正投影为矩形，矩形内部包含一个与立方体正面圆孔大小相等的圆。
按照上述描述即可画出所有图形的正投影。
各图形的正投影绘制结果如下：
(1) 投影线竖直向下，横放圆柱的正投影为矩形，矩形的一组对边长度等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长度等于圆柱的轴向长度。
(2) 投影线水平向右，下方圆柱的正投影为矩形，上方圆锥的正投影为等腰三角形，二者底边长度相等，拼接为下部分是矩形、上部分是等腰三角形的组合图形。
(3) 投影线竖直向下，正五棱柱的正投影为与棱柱上底面全等的正五边形。
(4) 投影线水平向右，直三棱柱的正投影为与棱柱朝向投影面的侧面全等的矩形。
(5) 投影线竖直向下，空心圆柱的正投影为两个同心圆，外圆与空心圆柱的外底面全等，内圆与空心圆柱的内底面全等。
(6) 投影线从下向上指向立方体，立方体的正投影为矩形，矩形内部包含一个与立方体正面圆孔大小相等的圆。
按照上述描述即可画出所有图形的正投影。
解析
【分析】
解决正投影绘图题首先要抓住正投影的核心特征：投影线垂直于投影面，投影结果能反映物体对应维度的真实尺寸或对应面的真实形状。解题思路如下：第一步先明确每一组的投影线方向，确定几何体朝向投影面的方向；第二步回忆单个常见几何体的正投影规律，比如圆柱投影线垂直轴向时投影为矩形、垂直底面时投影为圆，棱柱投影线垂直底面时投影与底面全等；第三步如果是组合体，拆分出各组成部分分别求投影后按位置拼接，同时注意空心、开孔等细节特征也要在投影中体现。
【解析】
我们结合正投影的规律逐个分析各图形的投影：
1. 横放圆柱的投影线竖直向下，方向垂直于圆柱的轴向，因此投影为矩形：矩形的一组对边长等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长等于圆柱的轴向长度；
2. 圆柱加圆锥的组合体的投影线水平向右，方向平行于二者的轴向：圆柱投影为矩形，圆锥投影为等腰三角形，二者底边长度均等于底面直径，拼接后为下部分矩形、上部分等腰三角形的组合图形；
3. 正五棱柱的投影线竖直向下，方向垂直于棱柱上下底面，因此投影与上底面全等，为正五边形；
4. 直三棱柱的投影线水平向右，方向垂直于棱柱朝向投影面的侧面，因此投影与该侧面全等，为矩形；
5. 空心圆柱的投影线竖直向下，方向垂直于上下底面，因此投影为两个同心圆，外圆与外底面全等，内圆与内底面全等；
6. 带圆孔的立方体的投影线从下向上指向立方体：立方体投影为矩形，圆孔投影为与圆孔大小相等的圆，位于矩形内部。
按照上述结论即可画出所有正投影。
【答案】
解：
各图形的正投影绘制结果如下：
(1) 投影线竖直向下，横放圆柱的正投影为矩形，矩形的一组对边长度等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长度等于圆柱的轴向长度。
(2) 投影线水平向右，下方圆柱的正投影为矩形，上方圆锥的正投影为等腰三角形，二者底边长度相等，拼接为下部分是矩形、上部分是等腰三角形的组合图形。
(3) 投影线竖直向下，正五棱柱的正投影为与棱柱上底面全等的正五边形。
(4) 投影线水平向右，直三棱柱的正投影为与棱柱朝向投影面的侧面全等的矩形。
(5) 投影线竖直向下，空心圆柱的正投影为两个同心圆，外圆与空心圆柱的外底面全等，内圆与空心圆柱的内底面全等。
(6) 投影线从下向上指向立方体，立方体的正投影为矩形，矩形内部包含一个与立方体正面圆孔大小相等的圆。
按照上述描述即可画出所有图形的正投影。
【知识点】
正投影的特征、常见几何体的正投影、组合体的正投影
【点评】
本题考查正投影的实际应用，解题的核心是准确判断投影方向，熟练掌握各类几何体的正投影规律，同时要注意几何体的特殊结构（如空心、表面开孔）需要在投影中准确体现，避免遗漏细节。
【难度系数】
0.7
解决正投影绘图题首先要抓住正投影的核心特征：投影线垂直于投影面，投影结果能反映物体对应维度的真实尺寸或对应面的真实形状。解题思路如下：第一步先明确每一组的投影线方向，确定几何体朝向投影面的方向；第二步回忆单个常见几何体的正投影规律，比如圆柱投影线垂直轴向时投影为矩形、垂直底面时投影为圆，棱柱投影线垂直底面时投影与底面全等；第三步如果是组合体，拆分出各组成部分分别求投影后按位置拼接，同时注意空心、开孔等细节特征也要在投影中体现。
【解析】
我们结合正投影的规律逐个分析各图形的投影：
1. 横放圆柱的投影线竖直向下，方向垂直于圆柱的轴向，因此投影为矩形：矩形的一组对边长等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长等于圆柱的轴向长度；
2. 圆柱加圆锥的组合体的投影线水平向右，方向平行于二者的轴向：圆柱投影为矩形，圆锥投影为等腰三角形，二者底边长度均等于底面直径，拼接后为下部分矩形、上部分等腰三角形的组合图形；
3. 正五棱柱的投影线竖直向下，方向垂直于棱柱上下底面，因此投影与上底面全等，为正五边形；
4. 直三棱柱的投影线水平向右，方向垂直于棱柱朝向投影面的侧面，因此投影与该侧面全等，为矩形；
5. 空心圆柱的投影线竖直向下，方向垂直于上下底面，因此投影为两个同心圆，外圆与外底面全等，内圆与内底面全等；
6. 带圆孔的立方体的投影线从下向上指向立方体：立方体投影为矩形，圆孔投影为与圆孔大小相等的圆，位于矩形内部。
按照上述结论即可画出所有正投影。
【答案】
解：
各图形的正投影绘制结果如下：
(1) 投影线竖直向下，横放圆柱的正投影为矩形，矩形的一组对边长度等于圆柱底面圆的直径，另一组对边长度等于圆柱的轴向长度。
(2) 投影线水平向右，下方圆柱的正投影为矩形，上方圆锥的正投影为等腰三角形，二者底边长度相等，拼接为下部分是矩形、上部分是等腰三角形的组合图形。
(3) 投影线竖直向下，正五棱柱的正投影为与棱柱上底面全等的正五边形。
(4) 投影线水平向右，直三棱柱的正投影为与棱柱朝向投影面的侧面全等的矩形。
(5) 投影线竖直向下，空心圆柱的正投影为两个同心圆，外圆与空心圆柱的外底面全等，内圆与空心圆柱的内底面全等。
(6) 投影线从下向上指向立方体，立方体的正投影为矩形，矩形内部包含一个与立方体正面圆孔大小相等的圆。
按照上述描述即可画出所有图形的正投影。
【知识点】
正投影的特征、常见几何体的正投影、组合体的正投影
【点评】
本题考查正投影的实际应用，解题的核心是准确判断投影方向，熟练掌握各类几何体的正投影规律，同时要注意几何体的特殊结构（如空心、表面开孔）需要在投影中准确体现，避免遗漏细节。
【难度系数】
0.7
10.直角三角形架垂直于投影面，斜边AB在投影面上，一组平行光线竖直照在三角架上，如图所示.
(1)标出顶点C在斜边AB上的投影点D，并指出AC，BC的正投影；
(2)写出线段CD与AD，BD的正投影的关系，并说明理由.
(1)标出顶点C在斜边AB上的投影点D，并指出AC，BC的正投影；
(2)写出线段CD与AD，BD的正投影的关系，并说明理由.
答案
解：
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，点D即为顶点C在斜边AB上的投影点。
AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 关系：线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积，即$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$。
理由：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{CD}{BD}$，即$CD^2 = AD · BD$。
∵ 点A、D、B都在投影面上，
∴ AD的正投影就是AD，BD的正投影就是BD，
因此线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积。
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，点D即为顶点C在斜边AB上的投影点。
AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 关系：线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积，即$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$。
理由：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{CD}{BD}$，即$CD^2 = AD · BD$。
∵ 点A、D、B都在投影面上，
∴ AD的正投影就是AD，BD的正投影就是BD，
因此线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积。
解析
【分析】
本题需要结合正投影的定义和相似三角形的性质求解。①解决第(1)问时，先明确正投影的核心特征：平行光线垂直于投影面照射时，点的投影是过该点向投影面作垂线的垂足，线段的正投影是线段两个端点的正投影的连线，据此先找C点的投影D，再确定AC、BC的正投影即可。②解决第(2)问时，首先根据投影面上线段的正投影是其本身，确定AD、BD的正投影就是自身；再结合直角三角形的特征，证明△ACD与△CBD相似，通过相似三角形的性质推导三条线段的数量关系，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据正投影的定义，过点C作$CD ⊥ AB$于点D，点D就是顶点C在斜边AB上的投影点。
由于点A、B都在投影面AB上，因此A的正投影是自身A，B的正投影是自身B，C的正投影是D，因此AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 关系：$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$
理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{CD}{BD}$，即$CD^2 = AD · BD$。
∵ 点A、D、B都在投影面上，
∴ AD的正投影就是AD，BD的正投影就是BD，
因此$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$。
【答案】
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，D即为顶点C在斜边AB上的投影点；AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积，即$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$，理由见解析。
【知识点】
正投影的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了投影与三角形几何证明两类知识点，既考查了正投影基本概念的应用，也考查了利用相似三角形推导线段数量关系的能力，要求学生能够灵活融合不同模块的知识解题。
【难度系数】
0.7
本题需要结合正投影的定义和相似三角形的性质求解。①解决第(1)问时，先明确正投影的核心特征：平行光线垂直于投影面照射时，点的投影是过该点向投影面作垂线的垂足，线段的正投影是线段两个端点的正投影的连线，据此先找C点的投影D，再确定AC、BC的正投影即可。②解决第(2)问时，首先根据投影面上线段的正投影是其本身，确定AD、BD的正投影就是自身；再结合直角三角形的特征，证明△ACD与△CBD相似，通过相似三角形的性质推导三条线段的数量关系，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据正投影的定义，过点C作$CD ⊥ AB$于点D，点D就是顶点C在斜边AB上的投影点。
由于点A、B都在投影面AB上，因此A的正投影是自身A，B的正投影是自身B，C的正投影是D，因此AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 关系：$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$
理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ ACD + ∠ BCD = 90°$，
$\therefore ∠ A = ∠ BCD$，
又$\because ∠ ADC = ∠ CDB = 90°$，
$\therefore △ ACD ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AD}{CD} = \dfrac{CD}{BD}$，即$CD^2 = AD · BD$。
∵ 点A、D、B都在投影面上，
∴ AD的正投影就是AD，BD的正投影就是BD，
因此$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$。
【答案】
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，D即为顶点C在斜边AB上的投影点；AC的正投影是线段AD，BC的正投影是线段BD。
(2) 线段CD长度的平方等于AD的正投影的长度与BD的正投影的长度的乘积，即$CD^2 = AD_{\mathrm{正投影}} · BD_{\mathrm{正投影}}$，理由见解析。
【知识点】
正投影的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合了投影与三角形几何证明两类知识点，既考查了正投影基本概念的应用，也考查了利用相似三角形推导线段数量关系的能力，要求学生能够灵活融合不同模块的知识解题。
【难度系数】
0.7
11.一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是$△ ABC$，已知$AB=AC=5\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，求圆锥的体积和侧面积.
答案
解：
由题意可知，圆锥的母线长$l=AB=5\ \mathrm{cm}$，圆锥底面圆的直径等于$BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此圆锥底面半径$r=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore D$为$BC$中点，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得圆锥的高：
$h=AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥的体积：
$V=\dfrac{1}{3}π r^2 h=\dfrac{1}{3}π× 3^2× 4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π× 3× 5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
答：圆锥的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$，侧面积为$15π\ \mathrm{cm}^2$。
由题意可知，圆锥的母线长$l=AB=5\ \mathrm{cm}$，圆锥底面圆的直径等于$BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此圆锥底面半径$r=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore D$为$BC$中点，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得圆锥的高：
$h=AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥的体积：
$V=\dfrac{1}{3}π r^2 h=\dfrac{1}{3}π× 3^2× 4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π× 3× 5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
答：圆锥的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$，侧面积为$15π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先结合正投影的性质：当圆锥轴截面平行于投影面时，其正投影就是圆锥的轴截面，因此投影得到的等腰△ABC和圆锥的轴截面完全对应：三角形的腰AB、AC对应圆锥的母线长，底边BC对应圆锥底面圆的直径。要求圆锥的体积和侧面积，需要先确定三个关键量：底面半径r、圆锥的高h、母线长l。首先由BC的长度算出底面半径，再利用等腰三角形三线合一的性质，通过勾股定理算出圆锥的高，最后分别代入圆锥体积公式和侧面积公式计算即可。
【解析】
由题意可知，圆锥的轴截面与正投影△ABC全等，因此圆锥的母线长$l=AB=5\ \mathrm{cm}$，圆锥底面圆的直径等于$BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此圆锥底面半径$r=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore D$为$BC$中点，即$BD=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得圆锥的高：
$h=AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥的体积：
$V=\dfrac{1}{3}π r^2 h=\dfrac{1}{3}π× 3^2× 4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π× 3× 5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
圆锥的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$，侧面积为$15π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正投影的性质，圆锥的相关计算，勾股定理的应用
【点评】
本题将正投影知识与圆锥的计算相结合，解题的核心是准确建立正投影图形与圆锥各要素的对应关系，熟记圆锥的体积、侧面积公式即可顺利求解，是几何部分的基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正投影的性质：当圆锥轴截面平行于投影面时，其正投影就是圆锥的轴截面，因此投影得到的等腰△ABC和圆锥的轴截面完全对应：三角形的腰AB、AC对应圆锥的母线长，底边BC对应圆锥底面圆的直径。要求圆锥的体积和侧面积，需要先确定三个关键量：底面半径r、圆锥的高h、母线长l。首先由BC的长度算出底面半径，再利用等腰三角形三线合一的性质，通过勾股定理算出圆锥的高，最后分别代入圆锥体积公式和侧面积公式计算即可。
【解析】
由题意可知，圆锥的轴截面与正投影△ABC全等，因此圆锥的母线长$l=AB=5\ \mathrm{cm}$，圆锥底面圆的直径等于$BC=6\ \mathrm{cm}$，
因此圆锥底面半径$r=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$。
过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，
$\because AB=AC$，
$\therefore D$为$BC$中点，即$BD=\dfrac{1}{2}BC=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得圆锥的高：
$h=AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4\ \mathrm{cm}$。
圆锥的体积：
$V=\dfrac{1}{3}π r^2 h=\dfrac{1}{3}π× 3^2× 4=12π\ \mathrm{cm}^3$。
圆锥的侧面积：
$S_{\mathrm{侧}}=π r l=π× 3× 5=15π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
圆锥的体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$，侧面积为$15π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正投影的性质，圆锥的相关计算，勾股定理的应用
【点评】
本题将正投影知识与圆锥的计算相结合，解题的核心是准确建立正投影图形与圆锥各要素的对应关系，熟记圆锥的体积、侧面积公式即可顺利求解，是几何部分的基础综合题。
【难度系数】
0.7
