1. ★★★如图,在△ABC中,两个外角的平分线交于点D,∠D=50°,则∠A的度数是 ()

A.$50°$
B.$55°$
C.$80°$
D.$65°$

1. C

2. 如图，∠BAD，∠BCD的平分线相交于点P，若∠B=5∠D=65°，则∠P的度数为。

2. $26°$

3. ★★★ 已知:如图,在$△ ABC$中,D,E是边BC上的两点,G是边AB上的一点,连结EG并延长,交CA的延长线于点F.从以下三个条件中选两个作为条件,另一个作为结论,构成一个真命题,并加以证明:①AD平分$∠ BAC$;②$EF // AD$;③$∠ AGF = ∠ F$.条件:,结论:.(填序号)
证明:

3. 当条件是①②,结论是③时:$\because AD$平分$∠BAC,\therefore ∠DAB=∠DAC.\because EF// AD,\therefore ∠AGF=∠BAD,∠F=∠DAC,\therefore ∠AGF=∠F.$
当条件是①③,结论是②时:$\because AD$平分$∠BAC,\therefore ∠DAB=∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC.\because ∠AGF=∠F,\therefore ∠BAC=∠AGF+∠F=2∠F,\therefore ∠CAD=∠F,\therefore EF// AD.$
当条件是②③,结论是①时:$\because EF// AD,\therefore ∠AGF=∠BAD,∠F=∠DAC.\because ∠AGF=∠F,\therefore ∠DAB=∠DAC,\therefore AD$平分$∠BAC.$

4. |新定义 对任意的实数 $ m $ 有如下规定:用 $ \lceil m \rceil $ 表示不小于 $ m $ 的最小整数,例如 $ \lceil \frac{5}{2} \rceil = 3 $, $ \lceil 5 \rceil = 5 $, $ \lceil -1.3 \rceil = -1 $,请回答下列问题:
(1)①$ 0 ≤ \lceil x \rceil - x ＜ 1 $;②$ \lceil x - 1010 \rceil = \lceil x \rceil - 1010 $;③$ \lceil 3x \rceil = 3\lceil x \rceil $;④$ \lceil x \rceil + \lceil y \rceil = \lceil x + y \rceil $;⑤若$ \lceil x \rceil = a $（$ a $ 为整数）,则$ a - 1 ＜ x ≤ a $.以上五个命题中为真命题的是(填序号).
(2)解关于 $ x $ 的方程$ \lceil x - 1 \rceil = 2x + 1 $.

4. (1)①②⑤ 解析:①当$x$为整数时,$\lceil x \rceil=x$,则$\lceil x \rceil -x=x-x=0$,当$x=k+b($其中$k$为整数,$0＜|b|＜1)$,则$\lceil x \rceil=k+1(0＜b＜1)$或$\lceil x \rceil=k(-1＜b＜0),\therefore \lceil x \rceil -x=k+1-(k+b)=1-b$或$\lceil x \rceil -x=k-(k+b)=-b$,即$0＜\lceil x \rceil -x＜1.$综上所述,$0≤\lceil x \rceil -x＜1$,故①正确.②当$x$为整数时,$\lceil x-1\ 010 \rceil=x-1\ 010$,$\lceil x \rceil-1\ 010=x-1\ 010$,则$\lceil x-1\ 010 \rceil=\lceil x \rceil-1\ 010$;当$x=k+b($其中$k$为整数,$0＜|b|＜1)$,则当$0＜b＜1$时,$\lceil x-1\ 010 \rceil=k-1\ 010+1$,$\lceil x \rceil=k+1$,$\therefore \lceil x \rceil-1\ 010=k+1-1\ 010,\therefore \lceil x-1\ 010 \rceil=\lceil x \rceil-1\ 010$;当$-1＜b＜0$时,$\lceil x-1\ 010 \rceil=k-1\ 010$,$\lceil x \rceil=k$,$\therefore \lceil x \rceil-1\ 010=k-1\ 010$,$\therefore \lceil x-1\ 010 \rceil=\lceil x \rceil-1\ 010.$综上所述,$\lceil x-1\ 010 \rceil=\lceil x \rceil-1\ 010$,故②正确.③当$x=0.6$时,$\lceil 3x \rceil=\lceil 1.8 \rceil=2$,$3\lceil x \rceil=3\lceil 0.6 \rceil=3×1=3$,此时$\lceil 3x \rceil≠3\lceil x \rceil$,故③错误.④当$x=y=0.5$时,$\lceil x \rceil+\lceil y \rceil=\lceil 0.5 \rceil+\lceil 0.5 \rceil=1+1=2≠\lceil x+y \rceil=\lceil 0.5+0.5 \rceil=1$,故④错误.⑤当$x$为整数时,$\lceil x \rceil=x=a$,当$x=k+b($其中$k$为整数,$0＜|b|＜1)$,则$\lceil x \rceil=k+1=a(0＜b＜1)$或$\lceil x \rceil=k=a(-1＜b＜0),\therefore k=a-1$或$k=a,.\therefore x=a-1+b$或$x=a+b$,即$a-1＜x≤a$,故⑤正确.故答案为①②⑤.
(2)当$x$为整数时,$\because \lceil x-1 \rceil=2x+1,.\therefore x-1=2x+1$,解得$x=-2$;当$x=k+b($其中$k$为整数,$0＜|b|＜1)$,$\because \lceil x-1 \rceil=2x+1,.\therefore 2x+1$是整数,即$2k+2b+1$是整数,$\therefore b=0.5$或$b=-0.5,.\therefore$当$b=0.5$时,$\lceil x-1 \rceil=k,.\therefore k=2k+2b+1,.\therefore k=-1-2b=-2$,此时$x=-1.5$;当$b=-0.5$时,$\lceil x-1 \rceil=k-1,.\therefore k-1=2k+2b+1,.\therefore k=-2-2b=-1$,此时$x=-1.5.$综上所述,$x=-2$或$x=-1.5.$

5. ★★(2026·嘉兴月考)【问题探究】(1)已知:如图①,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$BP$,$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,$∠ BPC$的度数是.
(2)已知:如图②,$∠ DBC$与$∠ ECB$分别是$△ ABC$的两个外角,且$∠ DBC+∠ ECB=210°$,则$∠ A=$.
【拓展与应用】(3)如图③,在四边形$ABCD$中,$∠ F$为四边形$ABCD$的$∠ ABC$的平分线及外角$∠ DCE$的平分线所在的直线构成的锐角,若设$∠ A=α$,$∠ D=β$,求$∠ F$的度数.(用含$α$,$β$的式子表示)
(4)如图④,$BI$平分$∠ ABC$,$CI$平分$∠ ACB$,把$△ ABC$折叠,使点$A$与点$I$重合,若$∠1+∠2=130°$,则$∠ BIC=$.

5. (1)$120°$ 解析:在$△ABC$中,$\because BP,CP$分别平分$∠ABC$和$∠ACB$,$\therefore ∠PBC=\frac{1}{2}∠ABC,∠PCB=\frac{1}{2}∠ACB,.\therefore ∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac{1}{2}∠A$,$\therefore ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A=90°+30°=120°.$
(2)$30°$ 解析:$\because ∠DBC$与$∠ECB$分别是$△ABC$的两个外角,且$∠DBC+∠ECB=210°,.\therefore ∠ABC+∠ACB=180°+180°-(∠DBC+∠ECB)=360°-210°=150°,.\therefore ∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-150°=30°.$
(3)如图,延长$BA,CD$交于点$Q$,$\because ∠BAD=α,∠ADC=β,.\therefore$ 同(2)可得$∠Q=α+β-180°.\because ∠F$为四边形$ABCD$的$∠ABC$的平分线及外角$∠DCE$的平分线所在的直线构成的锐角,$\therefore ∠FBE=\frac{1}{2}∠QBC,∠FCE=\frac{1}{2}∠DCE.$
$\because ∠DCE=∠QBC+∠Q,∠FCE=∠FBC+∠F,.\therefore ∠Q=∠DCE-∠QBC,2∠F=2∠FCE-2∠FBC=∠DCE-∠QBC,.\therefore ∠Q=2∠F$,$\therefore ∠F=\frac{1}{2}∠Q=\frac{1}{2}(α+β)-90°.$

(4)$122.5°$ 解析:$\because ∠1+∠2=130°$,结合折叠可知$∠ADI+AEI=180°+180°-(∠1+∠2)=230°,∠A=∠DIE,.\therefore ∠A=∠DIE=\frac{1}{2}×(360°-230°)=65°.\because BI$平分$∠ABC,CI$平分$∠ACB$,由(1)得$∠BIC=90°+\frac{1}{2}∠A=90°+32.5°=122.5°.$