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1. 教材P116复习题T13变式 如图,在$△ ABC$和$△ AED$中,$∠ C = ∠ D,AC = AD$,添加下列一个条件后,仍不能证明$△ ABC≌△ AED$的是 (
A.$∠ B = ∠ E$
B.$BC = ED$
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.$AB = AE$
D
)A.$∠ B = ∠ E$
B.$BC = ED$
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.$AB = AE$
答案
A选项,添加$∠B = ∠E$,可利用“AAS”判定$△ABC≌△AED$. B选项,添加$BC = ED$,可利用“SAS”判定$△ABC≌△AED$. C选项,添加$∠1 = ∠2$,$\therefore ∠1 + ∠EAB = ∠2 + ∠EAB$, 即 $∠CAB = ∠DAE$, 可利用 “ASA” 判定$△ABC≌△AED$.
2.［2026绍兴新昌期中］如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
B
）A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
答案
在甲中,$\because$边长为$a,c$的边的夹角未知,$\therefore$甲不符合题意;在乙中,两边长分别为$a,c$,且夹角为$50°$,符合“SAS”,$\therefore$乙符合题意;在丙中,两角分别是$50°,72°$,且$72°$角所对的边长是$a$,符合“AAS”,$\therefore$丙符合题意. 故和$△ABC$全等的是乙和丙.
3. 如图,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的点F处,DF与BC交于点E.求证:$△ DCE ≌ △ BFE$.
答案
证明:$\because$ 四边形$ABCD$为长方形,
$\therefore AB = CD,∠BAD = ∠C = 90°$(长方形的性质).
根据题意,得$BF = AB,∠F = ∠A$(折叠的性质),
$\therefore DC = BF,∠C = ∠F$(等量代换).
在$△DCE$和$△BFE$中,
$∠C = ∠F$(已证),$∠CED = ∠FEB$(对顶角相等),$DC = BF$(已证),
$\therefore △DCE≌△BFE(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AB = CD,∠BAD = ∠C = 90°$(长方形的性质).
根据题意,得$BF = AB,∠F = ∠A$(折叠的性质),
$\therefore DC = BF,∠C = ∠F$(等量代换).
在$△DCE$和$△BFE$中,
$∠C = ∠F$(已证),$∠CED = ∠FEB$(对顶角相等),$DC = BF$(已证),
$\therefore △DCE≌△BFE(\mathrm{AAS})$.
4. [2026 昆明三中期中] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°, ∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 于点 $D, DE ⊥ BC$ 于点 $E$. 若 $△ ABC$ 与 $△ CDE$ 的周长分别为 15 和 3, 求 $AB$ 的长.
答案
解:$\because BD$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABD = ∠EBD$(角平分线的定义).
$\because DE⊥CB$,$\therefore ∠DEB = ∠A = 90°$(垂直的定义).
在$△ABD$和$△EBD$中,
$∠A = ∠BED$(已证),$∠ABD = ∠EBD$(已证),$BD = BD$(公共边),
$\therefore △ABD≌△EBD(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB = BE,AD = DE$(全等三角形的对应边相等),
$\therefore C_{△ABC} - C_{△DEC} = 2AB = 15 - 3 = 12$,$\therefore AB = 6$.
$\therefore ∠ABD = ∠EBD$(角平分线的定义).
$\because DE⊥CB$,$\therefore ∠DEB = ∠A = 90°$(垂直的定义).
在$△ABD$和$△EBD$中,
$∠A = ∠BED$(已证),$∠ABD = ∠EBD$(已证),$BD = BD$(公共边),
$\therefore △ABD≌△EBD(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AB = BE,AD = DE$(全等三角形的对应边相等),
$\therefore C_{△ABC} - C_{△DEC} = 2AB = 15 - 3 = 12$,$\therefore AB = 6$.
5. [2026洛阳嵩县期中]如图，小明与小敏在玩跷跷板游戏，若跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是42 cm，当小敏从水平位置CD垂直下降16 cm时，小明离地面的高度为
58
cm.答案
根据题意,得$OF = OG,∠OCF = ∠ODG$. 在$△OCF$和$△ODG$中,$∠OCF = ∠ODG,∠COF = ∠DOG,OF = OG$,
$\therefore △OCF≌△ODG(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF = DG = 16\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 小明离地面的高度为$42 + 16 = 58(\mathrm{cm})$.
$\therefore △OCF≌△ODG(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF = DG = 16\ \mathrm{cm}$,$\therefore$ 小明离地面的高度为$42 + 16 = 58(\mathrm{cm})$.
6. [2026 厦门思明区月考] 证明:全等三角形对应边上的中线相等.
在证明几何文字命题时,通常会经历:“画示意图→写已知,求证→写证明过程”这三个步骤.请按照以上步骤完善下面相应内容.
(1)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如下图.
(2)结合(1)中的示意图,请完善已知,求证.
已知:如图,
求证:
(3)写出证明过程.
在证明几何文字命题时,通常会经历:“画示意图→写已知,求证→写证明过程”这三个步骤.请按照以上步骤完善下面相应内容.
(1)结合命题的条件和结论,画出符合题意的图形,如下图.
(2)结合(1)中的示意图,请完善已知,求证.
已知:如图,
$△ABC≌△A'B'C'$
,线段 AD, A'D'分别是边 BC,B'C'上的中线.求证:
$AD = A'D'$
.(3)写出证明过程.
答案
(2)解:$△ABC≌△A'B'C'\ \ \ AD = A'D'$
(3)证明:$\because △ABC≌△A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',BC = B'C',∠B = ∠B'$(全等三角形的对应边相等,对应角相等).
$\because AD,A'D'$分别是边$BC,B'C'$上的中线,
$\therefore BD = \dfrac{1}{2}BC, B'D' = \dfrac{1}{2}B'C'$(中点的定义),
$\therefore BD = B'D'$(等量代换).
在$△ABD$和$△A'B'D'$中,
$AB = A'B'$(已证),$∠B = ∠B'$(已证),$BD = B'D'$(已证),
$\therefore △ABD≌△A'B'D'(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD = A'D'$(全等三角形的对应边相等).
(3)证明:$\because △ABC≌△A'B'C'$,
$\therefore AB = A'B',BC = B'C',∠B = ∠B'$(全等三角形的对应边相等,对应角相等).
$\because AD,A'D'$分别是边$BC,B'C'$上的中线,
$\therefore BD = \dfrac{1}{2}BC, B'D' = \dfrac{1}{2}B'C'$(中点的定义),
$\therefore BD = B'D'$(等量代换).
在$△ABD$和$△A'B'D'$中,
$AB = A'B'$(已证),$∠B = ∠B'$(已证),$BD = B'D'$(已证),
$\therefore △ABD≌△A'B'D'(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD = A'D'$(全等三角形的对应边相等).
