8 [2025绥化]如图，函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过A，C两点，过点A作$AB⊥y$轴于点B，过点C作$CD⊥x$轴于点D，连结OA，OC，AC.若$S_{△ ACO}=4$，$CD:OB=1:3$，则k的值是（）

A.$-12$
B.$-9$
C.$-6$
D.$-3$

D
解析:如图,延长DC,BA交于点E.设CD=a(a＞0).因为CD:OB=1:3,所以OB=3a.因为AB⊥y轴,CD⊥x轴,所以点A的纵坐标为3a,点C的纵坐标为a.因为点A,C在函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上,所以$x_C=\frac{k}{a}$,$x_A=\frac{k}{3a}$,$S_{△DOC}=S_{△AOB}=-\frac{k}{2}$.所以$OD=-\frac{k}{a}$,$AB=-\frac{k}{3a}$.因为∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°,所以四边形OBED是矩形.所以$BE=OD=-\frac{k}{a}$,$DE=OB=3a$.所以$AE=BE-AB=-\frac{k}{a}-(-\frac{k}{3a})=-\frac{2k}{3a}$,$CE=DE-CD=3a-a=2a$.所以$S_{△AEC}=\frac{1}{2}AE·CE=\frac{1}{2}·(-\frac{2k}{3a})·(2a)=-\frac{2k}{3}$.又因为$S_{矩形OBED}=OD·OB=-\frac{k}{a}·3a=-3k$,$S_{△DOC}=4$,$S_{矩形OBED}-S_{△DOC}-S_{△AOB}-S_{△AEC}=S_{△ACO}$,所以$-3k-(-\frac{k}{2})-(-\frac{k}{2})-(-\frac{2k}{3})=4$,解得k=-3.

9 如图,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$ 的图象上,AC 交 y 轴于点 B,B 是 AC 的中点,$△ AOC$ 的面积为 5,则 k 的值为 .

-10

10 如图，函数$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象与矩形AOCB的边AB，BC分别交于点E，F，边OA，OC在坐标轴上，连结OE，OF。若$BE=2AE$，且$S_{四边形OEBF}=2$，求k的值。

设点E的横坐标为m.因为点E在函数$y=\frac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上,所以$E(m,\frac{k}{m})$.因为BE=2AE,所以$B(m,\frac{3k}{m})$.因为$S_{四边形OEBF}=S_{矩形AOCB}-S_{△AOE}-S_{△COF}=2$,所以$|m|×|\frac{3k}{m}|-\frac{1}{2}|k|-\frac{1}{2}|k|=2$.所以|k|=1.又因为k＜0,所以k=-1

11 如图,在直角坐标系中,函数 $y=\frac{k}{x}(k＜0, x＜0)$ 的图象经过$□ ABOC$ 的顶点 A,函数 $y=\frac{2}{x}(x＞0)$ 的图象经过顶点 C,点 B 在 x 轴上.若点 C 的横坐标为 1,$□ ABOC$ 的面积为 3.求:
(1) k 的值;
(2) 直线 AB 对应的函数表达式.

(1) 设AC与y轴相交于点D,连结OA.因为四边形ABOC为平行四边形,且其面积为3,所以AC//x轴,$S_{△AOC}=\frac{1}{2}S_{□ABOC}=\frac{3}{2}$.所以∠CDO=90°.因为函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象经过顶点C,所以$S_{△ODC}=\frac{2}{2}=1$.所以$S_{△ODA}=S_{△AOC}-S_{△ODC}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}=\frac{|k|}{2}$.所以|k|=1.因为k＜0,所以k=-1
(2) 将x=1代入$y=\frac{2}{x}$,得y=2,所以点C的纵坐标为2.因为AC//x轴,所以点A的纵坐标为2.由(1),得点A在函数$y=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象上,把y=2代入,得$x=-\frac{1}{2}$.所以点A的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$.所以$AC=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$.因为四边形ABOC是平行四边形,所以$BO=AC=\frac{3}{2}$.所以点B的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$.设直线AB对应的函数表达式为y=ax+b.将$A(-\frac{1}{2},2)$,$B(-\frac{3}{2},0)$代入,得$\begin{cases}-\frac{1}{2}a+b=2,\\-\frac{3}{2}a+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=3.\end{cases}$所以直线AB对应的函数表达式为y=2x+3