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8.如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，则∠BCD的度数为
$125°$
。答案
8.$125°$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“AB是半圆的直径”，优先运用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ACB=90°；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由∠BAC=20°求出弧BC的度数，进而得到剩余弧ADC的总度数；结合$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$的条件，可求出弧AD的度数，再次利用圆周角定理求出∠ACD的度数，最后将∠ACB与∠ACD相加即可得到∠BCD的度数，也可通过圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠BAC=20°，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×20°=40°$，
∵半圆对应的弧度数为180°，
∴$\overset{\frown}{ADC}$的度数为$180°-40°=140°$，
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}×140°=70°$，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}$的度数$=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=$90°+35°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用考题，核心考查学生对圆周角相关定理的掌握程度，解题时要能结合直径、等弧等已知条件，快速定位对应的角度关系，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件“AB是半圆的直径”，优先运用直径所对圆周角为直角的性质，得到∠ACB=90°；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，由∠BAC=20°求出弧BC的度数，进而得到剩余弧ADC的总度数；结合$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$的条件，可求出弧AD的度数，再次利用圆周角定理求出∠ACD的度数，最后将∠ACB与∠ACD相加即可得到∠BCD的度数，也可通过圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵∠BAC=20°，根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×20°=40°$，
∵半圆对应的弧度数为180°，
∴$\overset{\frown}{ADC}$的度数为$180°-40°=140°$，
又
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=\frac{1}{2}×140°=70°$，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}$的度数$=\frac{1}{2}×70°=35°$，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=$90°+35°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆周角定理，直径所对圆周角性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用考题，核心考查学生对圆周角相关定理的掌握程度，解题时要能结合直径、等弧等已知条件，快速定位对应的角度关系，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，半径$OD⊥$弦$AE$于点$C$，连接$BC$，若$AE=8$，$CD=2$，则$BC$的长为
$2\sqrt{13}$
。答案
9.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知OD⊥AE，可直接求出AC的长度；第二步，设圆的半径为r，用含r的式子表示OC的长度，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程，求出半径r和OC的长度；第三步，构造直角三角形，结合勾股定理求出BC的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥弦AE，OD是$\odot O$的半径，$AE=8$
∴根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AE=4$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$
∵$CD=2$，
∴$OC=OD-CD=r-2$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得：$4r=20$，解得$r=5$
∴$OC=5-2=3$，$AB=2r=10$
过点C作$CF⊥AB$于点F，
在$Rt△ OAC$中，利用面积法：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}OC· AC=\frac{1}{2}OA· CF$
代入得：$3×4=5× CF$，解得$CF=\frac{12}{5}$
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
∵$OB=5$，F在O的右侧，
∴$BF=OB+OF=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$
在$Rt△ BCF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{(\frac{34}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{1300}{25}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是先利用垂径定理得到线段相等，再结合勾股定理求出圆的半径，进一步构造直角三角形求解目标线段长度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知OD⊥AE，可直接求出AC的长度；第二步，设圆的半径为r，用含r的式子表示OC的长度，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程，求出半径r和OC的长度；第三步，构造直角三角形，结合勾股定理求出BC的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥弦AE，OD是$\odot O$的半径，$AE=8$
∴根据垂径定理，$AC=\frac{1}{2}AE=4$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$
∵$CD=2$，
∴$OC=OD-CD=r-2$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+4^2$
展开计算：$r^2=r^2-4r+4+16$
化简得：$4r=20$，解得$r=5$
∴$OC=5-2=3$，$AB=2r=10$
过点C作$CF⊥AB$于点F，
在$Rt△ OAC$中，利用面积法：$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}OC· AC=\frac{1}{2}OA· CF$
代入得：$3×4=5× CF$，解得$CF=\frac{12}{5}$
在$Rt△ OCF$中，由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$
∵$OB=5$，F在O的右侧，
∴$BF=OB+OF=5+\frac{9}{5}=\frac{34}{5}$
在$Rt△ BCF$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BF^2+CF^2}=\sqrt{(\frac{34}{5})^2+(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{\frac{1300}{25}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是先利用垂径定理得到线段相等，再结合勾股定理求出圆的半径，进一步构造直角三角形求解目标线段长度，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$\odot O$中，$AC=\frac{1}{2}AB$，直径$BC=2\sqrt{5}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，则$AD=$
$3\sqrt{2}$
。答案
10.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路进行：1. 由BC是直径，根据直径所对圆周角为直角，得到Rt△ABC，结合AC与AB的关系、BC的长度，用勾股定理求出AB、AC的长度；2. 由弧BD等于弧CD，可得AD平分∠BAC，且BD=CD；3. 过D作角两边的垂线，利用角平分线性质和全等三角形得到边的等量关系，求出等腰直角△ADE的直角边长度，最终算出AD的长。
【解析】
解：
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ABC$中，设$AC=x$，则$AB=2x$，由勾股定理得：
$x^2+(2x)^2=(2\sqrt{5})^2$
解得$x=2$（线段长度为正，舍去负根），
∴$AC=2$，$AB=4$。
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$（等弧所对的圆周角相等），即AD平分$∠ BAC$，且$BD=CD$（等弧对等弦）。
过点D作$DE⊥ AB$于E，$DF⊥ AC$交AC的延长线于F，
根据角平分线的性质，得$DE=DF$，且$∠ DEB=∠ DFC=90°$。
∵四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ABD+∠ ACD=180°$，
又
∵$∠ ACD+∠ DCF=180°$，
∴$∠ ABD=∠ DCF$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC \\∠ DBE=∠ DCF \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，故$BE=CF$。
∵$∠ BAD=∠ CAD=45°$，$∠ DEA=∠ DFA=90°$，
∴$AE=DE$，$AF=DF$，即$AE=AF$。
设$BE=CF=y$，则$AE=AB-BE=4-y$，$AF=AC+CF=2+y$，
列方程得：$4-y=2+y$，解得$y=1$，
∴$AE=4-1=3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合计算题，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合等弧的性质推导角和边的等量关系，通过构造全等三角形转化边长，最终完成求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路进行：1. 由BC是直径，根据直径所对圆周角为直角，得到Rt△ABC，结合AC与AB的关系、BC的长度，用勾股定理求出AB、AC的长度；2. 由弧BD等于弧CD，可得AD平分∠BAC，且BD=CD；3. 过D作角两边的垂线，利用角平分线性质和全等三角形得到边的等量关系，求出等腰直角△ADE的直角边长度，最终算出AD的长。
【解析】
解：
∵BC是$\odot O$的直径，
∴$∠ BAC=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$Rt△ ABC$中，设$AC=x$，则$AB=2x$，由勾股定理得：
$x^2+(2x)^2=(2\sqrt{5})^2$
解得$x=2$（线段长度为正，舍去负根），
∴$AC=2$，$AB=4$。
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$（等弧所对的圆周角相等），即AD平分$∠ BAC$，且$BD=CD$（等弧对等弦）。
过点D作$DE⊥ AB$于E，$DF⊥ AC$交AC的延长线于F，
根据角平分线的性质，得$DE=DF$，且$∠ DEB=∠ DFC=90°$。
∵四边形ABDC是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ ABD+∠ ACD=180°$，
又
∵$∠ ACD+∠ DCF=180°$，
∴$∠ ABD=∠ DCF$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC \\∠ DBE=∠ DCF \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，故$BE=CF$。
∵$∠ BAD=∠ CAD=45°$，$∠ DEA=∠ DFA=90°$，
∴$AE=DE$，$AF=DF$，即$AE=AF$。
设$BE=CF=y$，则$AE=AB-BE=4-y$，$AF=AC+CF=2+y$，
列方程得：$4-y=2+y$，解得$y=1$，
∴$AE=4-1=3$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合计算题，解题的突破口是利用直径的性质得到直角三角形，再结合等弧的性质推导角和边的等量关系，通过构造全等三角形转化边长，最终完成求解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11.已知圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角是$96°$，则侧面展开图的面积为
$60π$
.答案
11.$60π$
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长。首先计算圆锥底面周长得到扇形的弧长，再利用弧长公式求出侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长），最后代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
设圆锥侧面展开图的扇形半径（即圆锥母线长）为$ R $。
1. 计算圆锥底面周长（即侧面展开扇形的弧长）：
圆锥底面周长$ C = 2π r = 2π × 4 = 8π $。
2. 根据弧长公式列方程求母线长$ R $：
扇形弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角度数），将$ l=8π $、$ n=96° $代入得：
$ 8π = \frac{96π R}{180} $
两边同时约去$ π $，解得：$ R = \frac{8 × 180}{96} = 15 $。
3. 计算侧面展开图的面积：
扇形面积公式为$ S = \frac{1}{2} l R $，将$ l=8π $、$ R=15 $代入得：
$ S = \frac{1}{2} × 8π × 15 = 60π $。
【答案】
$ 60π $
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算
【点评】
本题重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题的关键是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一核心等量关系，只要熟练掌握相关公式，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确圆锥和其侧面展开扇形的对应等量关系：圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长。首先计算圆锥底面周长得到扇形的弧长，再利用弧长公式求出侧面展开扇形的半径（即圆锥母线长），最后代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
设圆锥侧面展开图的扇形半径（即圆锥母线长）为$ R $。
1. 计算圆锥底面周长（即侧面展开扇形的弧长）：
圆锥底面周长$ C = 2π r = 2π × 4 = 8π $。
2. 根据弧长公式列方程求母线长$ R $：
扇形弧长公式为$ l = \frac{nπ R}{180} $（其中$ n $为扇形圆心角度数），将$ l=8π $、$ n=96° $代入得：
$ 8π = \frac{96π R}{180} $
两边同时约去$ π $，解得：$ R = \frac{8 × 180}{96} = 15 $。
3. 计算侧面展开图的面积：
扇形面积公式为$ S = \frac{1}{2} l R $，将$ l=8π $、$ R=15 $代入得：
$ S = \frac{1}{2} × 8π × 15 = 60π $。
【答案】
$ 60π $
【知识点】
圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算
【点评】
本题重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题的关键是掌握“圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长”这一核心等量关系，只要熟练掌握相关公式，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E.
(1)连接BD,求证:点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)当$BC=12$,且$AD:CD=1:2$时,求$\odot O$的半径.
(1)连接BD,求证:点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)当$BC=12$,且$AD:CD=1:2$时,求$\odot O$的半径.
答案
12.(1)证明:连接AE,DE.
$\because AB$为直径,$\therefore AE⊥ BC$，
$\because AB=AC,\therefore∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$,即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)设$AD=x$,则$CD=2x,\therefore AB=AC=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中$CD^2+BD^2=BC^2$,则$(2x)^2+8x^2=12^2$,解得$x=\pm2\sqrt{3}$(负值舍去)，
$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$.
$\because AB$为直径,$\therefore AE⊥ BC$，
$\because AB=AC,\therefore∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$,即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)设$AD=x$,则$CD=2x,\therefore AB=AC=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中$CD^2+BD^2=BC^2$,则$(2x)^2+8x^2=12^2$,解得$x=\pm2\sqrt{3}$(负值舍去)，
$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证明$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理，可通过证明两个弧对应的圆周角$∠BAE=∠CAE$实现。首先连接辅助线AE，由AB为直径可得$∠AEB=90°$，即AE⊥BC，结合$AB=AC$的等腰三角形三线合一性质，可推出AE平分$∠BAC$，进而推导得到弧相等。
(2) 求$\odot O$的半径，需要先求出直径AB的长度。设$AD=x$，根据$AD:CD=1:2$可得$CD=2x$，则$AB=AC=3x$。由AB是直径可得$∠ADB=90°$，即BD⊥AC，分别在$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$中用勾股定理表示$BD^2$，结合$BC=12$列方程求解x，即可算出AB的长度，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠AEB=90°$，即$AE⊥BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ AE平分$∠BAC$，即$∠CAE=∠BAE$。
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ 点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：设$AD=x$，则$CD=2x$，
∴ $AB=AC=AD+CD=3x$。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ADB=90°$，即$BD⊥AC$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$。
在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$CD^2+BD^2=BC^2$，
代入$BC=12$、$CD=2x$、$BD^2=8x^2$得：
$(2x)^2+8x^2=12^2$，
整理得$12x^2=144$，解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=3x=6\sqrt{3}$，
∴ $\odot O$的半径$OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形性质结合的基础综合题，第一问的核心是构造辅助线AE，结合等腰三角形三线合一和圆周角定理推导弧相等；第二问考查方程思想的应用，利用直径所对圆周角为直角构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，对学生的基础性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证明$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理，可通过证明两个弧对应的圆周角$∠BAE=∠CAE$实现。首先连接辅助线AE，由AB为直径可得$∠AEB=90°$，即AE⊥BC，结合$AB=AC$的等腰三角形三线合一性质，可推出AE平分$∠BAC$，进而推导得到弧相等。
(2) 求$\odot O$的半径，需要先求出直径AB的长度。设$AD=x$，根据$AD:CD=1:2$可得$CD=2x$，则$AB=AC=3x$。由AB是直径可得$∠ADB=90°$，即BD⊥AC，分别在$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$中用勾股定理表示$BD^2$，结合$BC=12$列方程求解x，即可算出AB的长度，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠AEB=90°$，即$AE⊥BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ AE平分$∠BAC$，即$∠CAE=∠BAE$。
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ 点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：设$AD=x$，则$CD=2x$，
∴ $AB=AC=AD+CD=3x$。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ADB=90°$，即$BD⊥AC$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$。
在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$CD^2+BD^2=BC^2$，
代入$BC=12$、$CD=2x$、$BD^2=8x^2$得：
$(2x)^2+8x^2=12^2$，
整理得$12x^2=144$，解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=3x=6\sqrt{3}$，
∴ $\odot O$的半径$OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$3\sqrt{3}$。
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形性质结合的基础综合题，第一问的核心是构造辅助线AE，结合等腰三角形三线合一和圆周角定理推导弧相等；第二问考查方程思想的应用，利用直径所对圆周角为直角构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，对学生的基础性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
13.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，点G为$\overset{\frown}{BC}$上一动点，CG与AB的延长线交于点F，连接OD，DG.
(1)$∠ AOD$与$∠ CGD$的大小关系为________，连接GB并求证：GB平分$∠ DGF$.
(2)在G点运动过程中，当$GD=GF$时，$DE=4$，$BF=4\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
(1)$∠ AOD$与$∠ CGD$的大小关系为________，连接GB并求证：GB平分$∠ DGF$.
(2)在G点运动过程中，当$GD=GF$时，$DE=4$，$BF=4\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
答案
13.(1)$∠ AOD=∠ CGD$
证明:连接BG,BC,BD.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
$\because$四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形,$\therefore∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
$\because∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°,\therefore∠ BGD=∠ BGF$,即GB平分$∠ DGF$.
(2)$\because∠ BGD=∠ BGF,GD=GF,\therefore△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS}),\therefore BD=BF=4\sqrt{5}$，
$\because DE=4,\therefore BE=8$，
设$\odot O$的半径为$r$,则$OE=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中$OE^2+DE^2=OD^2$,则$(8-r)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$，
$\odot O$的半径为5.
证明:连接BG,BC,BD.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
$\because$四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形,$\therefore∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
$\because∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°,\therefore∠ BGD=∠ BGF$,即GB平分$∠ DGF$.
(2)$\because∠ BGD=∠ BGF,GD=GF,\therefore△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS}),\therefore BD=BF=4\sqrt{5}$，
$\because DE=4,\therefore BE=8$，
设$\odot O$的半径为$r$,则$OE=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中$OE^2+DE^2=OD^2$,则$(8-r)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$，
$\odot O$的半径为5.
解析
【分析】
(1) 首先根据垂径定理，弦CD垂直直径AB，可得弧AD=弧AC，圆心角∠AOD的度数等于其所对弧AD的度数，圆周角∠CGD的度数等于其所对弧CD度数的一半，而弧CD=2弧AD，因此可得两角相等；要证明GB平分∠DGF，先利用垂径定理得弧BC=弧BD，推出等弧对应的圆周角∠BGD=∠BDC，再结合圆内接四边形的性质、平角为180°，通过角度推导得到∠BGD=∠BGF即可得证。
(2) 已知GD=GF，结合(1)中得到的∠BGD=∠BGF，加上公共边GB，可证△BGD≌△BGF，得到BD=BF，先在Rt△DEB中利用勾股定理求出BE的长度，再设圆O半径为r，用r表示出OE的长度，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AOD=∠CGD}$，证明如下：
连接BG，BC，BD。
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠BCD=∠BGD=∠BDC$，
∵四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形，
∴$∠BCD+∠BGC=180°$，即$∠BGD+∠CGD+∠BDC=180°$，
又
∵$∠BGF+∠BGD+∠CGD=180°$（平角的定义），
∴$∠BGD=∠BGF$，即GB平分$∠DGF$。
(2) 由(1)得$∠BGD=∠BGF$，
在$△ BGD$和$△ BGF$中：
$\begin{cases} GD=GF \\ ∠BGD=∠BGF \\ GB=GB \end{cases}$
∴$△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BF=4\sqrt{5}$，
∵$CD⊥AB$，$DE=4$，在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE=BE-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
即$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开整理得$80-16r=0$，解得$r=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD=∠CGD}$，GB平分$∠DGF$证明见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题，将圆的基本性质、全等三角形的判定、勾股定理相结合考查，解题时需灵活运用垂径定理得到等弧、等角，结合方程思想求解线段长度，是圆章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据垂径定理，弦CD垂直直径AB，可得弧AD=弧AC，圆心角∠AOD的度数等于其所对弧AD的度数，圆周角∠CGD的度数等于其所对弧CD度数的一半，而弧CD=2弧AD，因此可得两角相等；要证明GB平分∠DGF，先利用垂径定理得弧BC=弧BD，推出等弧对应的圆周角∠BGD=∠BDC，再结合圆内接四边形的性质、平角为180°，通过角度推导得到∠BGD=∠BGF即可得证。
(2) 已知GD=GF，结合(1)中得到的∠BGD=∠BGF，加上公共边GB，可证△BGD≌△BGF，得到BD=BF，先在Rt△DEB中利用勾股定理求出BE的长度，再设圆O半径为r，用r表示出OE的长度，在Rt△ODE中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠AOD=∠CGD}$，证明如下：
连接BG，BC，BD。
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠BCD=∠BGD=∠BDC$，
∵四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形，
∴$∠BCD+∠BGC=180°$，即$∠BGD+∠CGD+∠BDC=180°$，
又
∵$∠BGF+∠BGD+∠CGD=180°$（平角的定义），
∴$∠BGD=∠BGF$，即GB平分$∠DGF$。
(2) 由(1)得$∠BGD=∠BGF$，
在$△ BGD$和$△ BGF$中：
$\begin{cases} GD=GF \\ ∠BGD=∠BGF \\ GB=GB \end{cases}$
∴$△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BF=4\sqrt{5}$，
∵$CD⊥AB$，$DE=4$，在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{80-16}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE=BE-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
即$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开整理得$80-16r=0$，解得$r=5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠AOD=∠CGD}$，GB平分$∠DGF$证明见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题，将圆的基本性质、全等三角形的判定、勾股定理相结合考查，解题时需灵活运用垂径定理得到等弧、等角，结合方程思想求解线段长度，是圆章节的典型中档题型。
【难度系数】
0.6
