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8.如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，则∠BCD的度数为
$125°$
。答案
8.$125°$
解析
【分析】
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角是直角，先求出∠ACB的度数，结合已知∠BAC的度数可算出∠ABC的度数；再根据圆内接四边形对角互补的性质，求出∠ADC的度数；接着由等弧对等弦可知△ADC为等腰三角形，结合三角形内角和求出∠ACD的度数；最后将∠ACB与∠ACD相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-70°=110°。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=CD（等弧对等弦），即△ADC是等腰三角形，
∴∠ACD=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
∴∠BCD=∠ACB + ∠ACD=90°+35°=125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 圆内接四边形性质
3. 等弧的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的相关性质，结合三角形内角和、等腰三角形的性质进行角度计算，是圆中角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角是直角，先求出∠ACB的度数，结合已知∠BAC的度数可算出∠ABC的度数；再根据圆内接四边形对角互补的性质，求出∠ADC的度数；接着由等弧对等弦可知△ADC为等腰三角形，结合三角形内角和求出∠ACD的度数；最后将∠ACB与∠ACD相加即可得到∠BCD的度数。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-20°=70°。
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-70°=110°。
∵$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=CD（等弧对等弦），即△ADC是等腰三角形，
∴∠ACD=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
∴∠BCD=∠ACB + ∠ACD=90°+35°=125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 圆内接四边形性质
3. 等弧的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是熟练掌握圆的相关性质，结合三角形内角和、等腰三角形的性质进行角度计算，是圆中角度计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，半径$OD⊥$弦$AE$于点$C$，连接$BC$，若$AE=8$，$CD=2$，则$BC$的长为
$2\sqrt{13}$
。答案
9.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先根据垂径定理可得到弦AE被OD平分，求出AC的长度；设圆的半径为r，用r表示出OC的长度，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程求出半径r；再连接BE，利用直径所对的圆周角是直角得到△AEB是直角三角形，结合中位线性质求出BE的长度，最后在Rt△BEC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵半径OD⊥弦AE，AE=8，
根据垂径定理可得：$AC=CE=\frac{1}{2}AE=4$。
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数值：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开化简：$r^2=r^2-4r+4+16$，
解得$r=5$，
∴$OC=5-2=3$。
∵O是AB的中点，$OC// BE$（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴OC是△ABE的中位线，
∴$BE=2OC=6$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ BEC=90°$，$BE=6$，$CE=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题的关键是灵活运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理，通过设未知数列方程先求出圆的半径，再结合中位线的性质简化计算，综合性较强但难度适中。
【难度系数】
0.65
首先根据垂径定理可得到弦AE被OD平分，求出AC的长度；设圆的半径为r，用r表示出OC的长度，在Rt△OAC中利用勾股定理列方程求出半径r；再连接BE，利用直径所对的圆周角是直角得到△AEB是直角三角形，结合中位线性质求出BE的长度，最后在Rt△BEC中用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵半径OD⊥弦AE，AE=8，
根据垂径定理可得：$AC=CE=\frac{1}{2}AE=4$。
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OC=OD-CD=r-2$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数值：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开化简：$r^2=r^2-4r+4+16$，
解得$r=5$，
∴$OC=5-2=3$。
∵O是AB的中点，$OC// BE$（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴OC是△ABE的中位线，
∴$BE=2OC=6$。
在$Rt△ BEC$中，$∠ BEC=90°$，$BE=6$，$CE=4$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{BE^2+CE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题的关键是灵活运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理，通过设未知数列方程先求出圆的半径，再结合中位线的性质简化计算，综合性较强但难度适中。
【难度系数】
0.65
10.如图，在$\odot O$中，$AC=\frac{1}{2}AB$，直径$BC=2\sqrt{5}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，则$AD=$
$3\sqrt{2}$
。答案
10.$3\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先从题干中的“直径”条件切入，直径所对的圆周角为直角，因此可得到Rt△ABC，结合已知的直角边数量关系和斜边长度，用勾股定理先算出AB、AC的长度；再根据“等弧”的条件，可得等弧对应的弦相等、对应的圆周角相等，即BD=CD，AD平分∠BAC；最后通过构造角平分线的两条垂线，得到正方形和全等三角形，转化线段关系求出AD的长度即可。
【解析】
1.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2. 在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
$AC^2+AB^2=BC^2$，即$x^2+(2x)^2=(2\sqrt{5})^2$，
化简得$5x^2=20$，解得$x=2$（长度取正值），
∴$AC=2$，$AB=4$。
3.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$（等弧对等弦），
则△BDC为等腰直角三角形，
∴$BD=CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$。
4.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等），
又∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=45°。
5. 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，且∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是正方形，得$AE=AF$。
6. 在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则$BE=CF$。
7. 设$BE=CF=y$，则$AE=AB-BE=4-y$，$AF=AC+CF=2+y$，
由$AE=AF$得$4-y=2+y$，解得$y=1$，
∴$AE=3$。
8. 在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴$AD=AE·\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆的综合类常考题，将圆的基本性质和三角形、四边形的知识点结合考查，解题的核心是抓住直径、等弧的隐含性质，合理构造辅助线转化线段关系，能较好地考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先从题干中的“直径”条件切入，直径所对的圆周角为直角，因此可得到Rt△ABC，结合已知的直角边数量关系和斜边长度，用勾股定理先算出AB、AC的长度；再根据“等弧”的条件，可得等弧对应的弦相等、对应的圆周角相等，即BD=CD，AD平分∠BAC；最后通过构造角平分线的两条垂线，得到正方形和全等三角形，转化线段关系求出AD的长度即可。
【解析】
1.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°（直径所对的圆周角为直角）。
2. 在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=2x，由勾股定理得：
$AC^2+AB^2=BC^2$，即$x^2+(2x)^2=(2\sqrt{5})^2$，
化简得$5x^2=20$，解得$x=2$（长度取正值），
∴$AC=2$，$AB=4$。
3.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$BD=CD$（等弧对等弦），
则△BDC为等腰直角三角形，
∴$BD=CD=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$。
4.
∵$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等），
又∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAD=45°。
5. 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，且∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是正方形，得$AE=AF$。
6. 在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则$BE=CF$。
7. 设$BE=CF=y$，则$AE=AB-BE=4-y$，$AF=AC+CF=2+y$，
由$AE=AF$得$4-y=2+y$，解得$y=1$，
∴$AE=3$。
8. 在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴$AD=AE·\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，全等三角形判定
【点评】
本题是圆的综合类常考题，将圆的基本性质和三角形、四边形的知识点结合考查，解题的核心是抓住直径、等弧的隐含性质，合理构造辅助线转化线段关系，能较好地考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
11.已知圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角是$96°$，则侧面展开图的面积为
$60π$
.答案
11.$60π$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先明确侧面展开图是扇形，解题需分两步：第一步，利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关系，结合弧长公式求出圆锥的母线长（即扇形的半径）；第二步，将圆心角、母线长代入扇形面积公式，即可求出侧面展开图的面积。
【解析】
设圆锥的母线长为$ R $。
1. 计算圆锥底面周长（即侧面展开扇形的弧长）：
已知底面半径$ r=4 $，则底面周长$ C=2π r=2π×4=8π $，即侧面展开图的弧长$ l=8π $。
2. 根据弧长公式求母线长$ R $：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数），已知圆心角$ n=96° $，代入$ l=8π $得：
$ 8π=\frac{96π R}{180} $
两边约去$ π $，解得：$ R=\frac{8×180}{96}=15 $。
3. 计算侧面展开图（扇形）的面积：
扇形面积公式为$ S=\frac{nπ R^2}{360} $，代入$ n=96° $、$ R=15 $得：
$ S=\frac{96π×15^2}{360}=\frac{96π×225}{360}=60π $。
【答案】
$ 60π $
【知识点】
1. 圆锥与侧面展开图的关系
2. 弧长公式
3. 扇形面积公式
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一关键等量关系，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先明确侧面展开图是扇形，解题需分两步：第一步，利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一关系，结合弧长公式求出圆锥的母线长（即扇形的半径）；第二步，将圆心角、母线长代入扇形面积公式，即可求出侧面展开图的面积。
【解析】
设圆锥的母线长为$ R $。
1. 计算圆锥底面周长（即侧面展开扇形的弧长）：
已知底面半径$ r=4 $，则底面周长$ C=2π r=2π×4=8π $，即侧面展开图的弧长$ l=8π $。
2. 根据弧长公式求母线长$ R $：
扇形弧长公式为$ l=\frac{nπ R}{180} $（$ n $为圆心角度数），已知圆心角$ n=96° $，代入$ l=8π $得：
$ 8π=\frac{96π R}{180} $
两边约去$ π $，解得：$ R=\frac{8×180}{96}=15 $。
3. 计算侧面展开图（扇形）的面积：
扇形面积公式为$ S=\frac{nπ R^2}{360} $，代入$ n=96° $、$ R=15 $得：
$ S=\frac{96π×15^2}{360}=\frac{96π×225}{360}=60π $。
【答案】
$ 60π $
【知识点】
1. 圆锥与侧面展开图的关系
2. 弧长公式
3. 扇形面积公式
【点评】
本题是圆锥计算的基础题型，解题核心是抓住圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长这一关键等量关系，熟练掌握弧长、扇形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的半圆分别交AC,BC于点D,E.
(1)连接BD,求证:点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)当$BC=12$,且$AD:CD=1:2$时,求$\odot O$的半径.
(1)连接BD,求证:点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)当$BC=12$,且$AD:CD=1:2$时,求$\odot O$的半径.
答案
12.(1)证明:连接AE,DE.
$\because AB$为直径,$\therefore AE⊥ BC$，
$\because AB=AC,\therefore∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$,即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)设$AD=x$,则$CD=2x,\therefore AB=AC=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中$CD^2+BD^2=BC^2$,则$(2x)^2+8x^2=12^2$,解得$x=\pm2\sqrt{3}$(负值舍去)，
$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$.
$\because AB$为直径,$\therefore AE⊥ BC$，
$\because AB=AC,\therefore∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$,即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点.
(2)设$AD=x$,则$CD=2x,\therefore AB=AC=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中$CD^2+BD^2=BC^2$,则$(2x)^2+8x^2=12^2$,解得$x=\pm2\sqrt{3}$(负值舍去)，
$\therefore OA=\dfrac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理，同圆内相等圆周角所对弧相等，因此只需证弧对应的圆周角$∠ BAE=∠ CAE$。连接AE后，由AB是直径可得$AE⊥ BC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形三线合一性质，即可得AE平分$∠ BAC$，进而推出弧相等。
(2) 求$\odot O$半径只需先求出直径AB的长度。已知$AD:CD=1:2$，可设$AD=x$，则$CD=2x$，结合$AB=AC$得$AB=3x$。由AB是直径得$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形，先在$Rt△ ABD$中用勾股定理表示出$BD^2$，再代入$Rt△ CBD$的勾股定理公式，结合$BC=12$列方程求解x，即可求出AB长度，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ AE平分$∠ BAC$，即$∠ CAE=∠ BAE$，
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：设$AD=x$，
∵ $AD:CD=1:2$，
∴ $CD=2x$，
∴ $AC=AD+CD=3x$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB=3x$，
∵ AB是直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$CD^2+BD^2=BC^2$，
代入$CD=2x$、$BD^2=8x^2$、$BC=12$得：
$(2x)^2+8x^2=12^2$，
整理得$12x^2=144$，解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=3x=6\sqrt{3}$，
∴ $\odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$3\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一和方程思想求解，是圆类综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证点E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，只需证$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，根据圆周角定理，同圆内相等圆周角所对弧相等，因此只需证弧对应的圆周角$∠ BAE=∠ CAE$。连接AE后，由AB是直径可得$AE⊥ BC$，再结合$AB=AC$的等腰三角形三线合一性质，即可得AE平分$∠ BAC$，进而推出弧相等。
(2) 求$\odot O$半径只需先求出直径AB的长度。已知$AD:CD=1:2$，可设$AD=x$，则$CD=2x$，结合$AB=AC$得$AB=3x$。由AB是直径得$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$和$△ CBD$均为直角三角形，先在$Rt△ ABD$中用勾股定理表示出$BD^2$，再代入$Rt△ CBD$的勾股定理公式，结合$BC=12$列方程求解x，即可求出AB长度，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接AE。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$，即$AE⊥ BC$，
又
∵ $AB=AC$，
∴ AE平分$∠ BAC$，即$∠ CAE=∠ BAE$，
根据圆周角定理，相等的圆周角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{DE}$，即点E为$\overset{\frown}{BD}$的中点。
(2) 解：设$AD=x$，
∵ $AD:CD=1:2$，
∴ $CD=2x$，
∴ $AC=AD+CD=3x$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB=3x$，
∵ AB是直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AC$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2-AD^2=(3x)^2-x^2=8x^2$，
在$Rt△ CDB$中，由勾股定理得：
$CD^2+BD^2=BC^2$，
代入$CD=2x$、$BD^2=8x^2$、$BC=12$得：
$(2x)^2+8x^2=12^2$，
整理得$12x^2=144$，解得$x=2\sqrt{3}$（负值舍去），
∴ $AB=3x=6\sqrt{3}$，
∴ $\odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$3\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题核心是利用直径所对圆周角为直角的性质构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一和方程思想求解，是圆类综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
13.如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，点G为$\overset{\frown}{BC}$上一动点，CG与AB的延长线交于点F，连接OD，DG.
(1)$∠ AOD$与$∠ CGD$的大小关系为________，连接GB并求证：GB平分$∠ DGF$.
(2)在G点运动过程中，当$GD=GF$时，$DE=4$，$BF=4\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
(1)$∠ AOD$与$∠ CGD$的大小关系为________，连接GB并求证：GB平分$∠ DGF$.
(2)在G点运动过程中，当$GD=GF$时，$DE=4$，$BF=4\sqrt{5}$，求$\odot O$的半径.
答案
13.(1)$∠ AOD=∠ CGD$
证明:连接BG,BC,BD.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
$\because$四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形,$\therefore∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
$\because∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°,\therefore∠ BGD=∠ BGF$,即GB平分$∠ DGF$.
(2)$\because∠ BGD=∠ BGF,GD=GF,\therefore△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS}),\therefore BD=BF=4\sqrt{5}$，
$\because DE=4,\therefore BE=8$，
设$\odot O$的半径为$r$,则$OE=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中$OE^2+DE^2=OD^2$,则$(8-r)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$，
$\odot O$的半径为5.
证明:连接BG,BC,BD.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥ AB,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
$\because$四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形,$\therefore∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
$\because∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°,\therefore∠ BGD=∠ BGF$,即GB平分$∠ DGF$.
(2)$\because∠ BGD=∠ BGF,GD=GF,\therefore△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS}),\therefore BD=BF=4\sqrt{5}$，
$\because DE=4,\therefore BE=8$，
设$\odot O$的半径为$r$,则$OE=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中$OE^2+DE^2=OD^2$,则$(8-r)^2+4^2=r^2$,解得$r=5$，
$\odot O$的半径为5.
解析
【分析】
(1) 首先结合圆周角定理和垂径定理推导两角关系：垂径定理可得CD被AB垂直平分，对应弧AD=弧AC，弧CD=2弧AD，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠CGD是弧CD对应的圆周角，即可推出二者相等。要证GB平分∠DGF，即证∠BGD=∠BGF，先由垂径定理得弧BC=弧BD，对应圆周角相等，再结合圆内接四边形的性质、平角的定义即可推导两角相等。
(2) 已知GD=GF，结合(1)的角平分线结论，可证△BGD与△BGF全等，得到BD=BF；先在Rt△BDE中用勾股定理求出BE的长度，再设⊙O半径为r，用含r的式子表示OE，在Rt△ODE中根据勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AOD=∠ CGD}$，证明如下：
连接BG，BC，BD.
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴同弧所对的圆周角相等，即$∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
∵四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ BDC+∠ BGC=180°$，
又
∵$∠ BGC=∠ BGD+∠ CGD$，$∠ BGC+∠ BGF=180°$，
∴$∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
∵$∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°$，
∴$∠ BGD=∠ BGF$，即GB平分$∠ DGF$.
(2) 解：由(1)知$∠ BGD=∠ BGF$，
在$△ BGD$和$△ BGF$中：
$\{\begin{array}{l} GD=GF\\ ∠BGD=∠BGF\\ GB=GB\end{array} $
∴$△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BF=4\sqrt{5}$，
∵$CD⊥AB$，$DE=4$，在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{64}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE=BE-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
代入得：$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开整理得$80-16r=0$，解得$r=5$.
【答案】
(1) $∠ AOD=∠ CGD$，证明见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$.
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，第一问侧重考查圆的基本性质的应用，需要熟练掌握垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质；第二问结合全等三角形的判定与勾股定理，运用方程思想求解半径，是圆与几何计算结合的常考题型。
【难度系数】
0.6
(1) 首先结合圆周角定理和垂径定理推导两角关系：垂径定理可得CD被AB垂直平分，对应弧AD=弧AC，弧CD=2弧AD，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠CGD是弧CD对应的圆周角，即可推出二者相等。要证GB平分∠DGF，即证∠BGD=∠BGF，先由垂径定理得弧BC=弧BD，对应圆周角相等，再结合圆内接四边形的性质、平角的定义即可推导两角相等。
(2) 已知GD=GF，结合(1)的角平分线结论，可证△BGD与△BGF全等，得到BD=BF；先在Rt△BDE中用勾股定理求出BE的长度，再设⊙O半径为r，用含r的式子表示OE，在Rt△ODE中根据勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ AOD=∠ CGD}$，证明如下：
连接BG，BC，BD.
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴同弧所对的圆周角相等，即$∠ BCD=∠ BGD=∠ BDC$，
∵四边形BDCG为$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ BDC+∠ BGC=180°$，
又
∵$∠ BGC=∠ BGD+∠ CGD$，$∠ BGC+∠ BGF=180°$，
∴$∠ BGD+∠ CGD+∠ BDC=180°$，
∵$∠ BGF+∠ BGD+∠ CGD=180°$，
∴$∠ BGD=∠ BGF$，即GB平分$∠ DGF$.
(2) 解：由(1)知$∠ BGD=∠ BGF$，
在$△ BGD$和$△ BGF$中：
$\{\begin{array}{l} GD=GF\\ ∠BGD=∠BGF\\ GB=GB\end{array} $
∴$△ BGD≌△ BGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BF=4\sqrt{5}$，
∵$CD⊥AB$，$DE=4$，在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=\sqrt{64}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD=r$，$OE=BE-OB=8-r$，
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，由勾股定理得$OE^2+DE^2=OD^2$，
代入得：$(8-r)^2+4^2=r^2$，
展开整理得$80-16r=0$，解得$r=5$.
【答案】
(1) $∠ AOD=∠ CGD$，证明见解析；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$.
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，第一问侧重考查圆的基本性质的应用，需要熟练掌握垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质；第二问结合全等三角形的判定与勾股定理，运用方程思想求解半径，是圆与几何计算结合的常考题型。
【难度系数】
0.6
