2. 如图，$△ ABC$ 三个顶点的坐标分别为
$A(1,4),B(2,1),C(4,2).$
(1)作出与$△ ABC$ 关于原点对称的$△ A_1B_1C_1.$
(2)作出$△ A_1B_1C_1$ 向右平移6个单位长度得到的$△ A_2B_2C_2.$
(3)$△ ABC$ 内一点 $P(m,n)$经过第(1)问和第(2)问的两次变换,对应的点 $P_2$ 的坐标是.

2. 【解】(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(-m+6,-n)$

【分析】
解题思路如下：1. 解决第一问需牢记关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，先求出△ABC三个顶点关于原点对称的点的坐标，再描点连线即可画出△A₁B₁C₁。2. 解决第二问需掌握平移的坐标变化规律：向右平移时横坐标加平移距离，纵坐标不变，求出△A₁B₁C₁三个顶点平移后的坐标，描点连线得到△A₂B₂C₂。3. 解决第三问可直接对P(m,n)依次应用两次坐标变换规律，即可得到P₂的坐标。
【解析】
(1) 根据“点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)”，可得：
A(1,4)关于原点对称的点A₁坐标为(-1,-4)，
B(2,1)关于原点对称的点B₁坐标为(-2,-1)，
C(4,2)关于原点对称的点C₁坐标为(-4,-2)，
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三点，得到△A₁B₁C₁。
(2) 根据“点向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变”，可得：
A₁(-1,-4)平移后A₂坐标为(-1+6,-4)即(5,-4)，
B₁(-2,-1)平移后B₂坐标为(-2+6,-1)即(4,-1)，
C₁(-4,-2)平移后C₂坐标为(-4+6,-2)即(2,-2)，
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接三点，得到△A₂B₂C₂。
(3) 点P(m,n)先经过关于原点对称的变换，得到对应点坐标为(-m,-n)；再将该点向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变，最终得到的点P₂的坐标为(-m+6,-n)。
【答案】
(1)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$即为所求.
(3)$(-m+6,-n)$

【知识点】
1. 原点对称的坐标特征
2. 图形平移的坐标规律
3. 坐标与图形变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称与平移变换，属于基础题，核心是熟练掌握两种变换对应的坐标变化规则，按规则计算坐标、描点作图即可完成解答。
【难度系数】
0.8

1. 在平面直角坐标系中，与点$P(-2,1)$关于原点对称的点$P_1$的坐标是（）

A.$(-1,-2)$
B.$(1,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$

1. C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标变化规律：关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们只需要将已知点P的横、纵坐标分别取相反数，就能得到对称点$P_1$的坐标，再匹配选项选出答案即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律：若某点坐标为$(x,y)$，则它关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P$的坐标为$(-2,1)$，则对称点$P_1$的横坐标为$-(-2)=2$，纵坐标为$-1$，即$P_1$的坐标是$(2,-1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题，核心考查原点对称的坐标变化规律，牢记规律即可快速解题，是平面直角坐标系相关性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.9

2. 在平面直角坐标系中，与点$M(3,-4)$关于原点对称的点为$N$，连接$MN$，则线段$MN$的长是（）

A.6
B.8
C.10
D.12

2. C

【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标规律，先求出点N的坐标；接下来求线段MN的长度，可直接代入两点间的距离公式计算，也可以利用原点是线段MN的中点，先求出点M到原点的距离，再乘2得到MN的长度，两种方法都能快速得出结果。
【解析】
方法1：
1. 求点N的坐标：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，已知点$M(3,-4)$，因此点N的坐标为$(-3,4)$。
2. 计算线段MN的长度：根据两点间距离公式，若两点为$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，则$PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入M、N坐标得：
$MN=\sqrt{[3-(-3)]^2+(-4-4)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
方法2：
1. 计算点M到原点O的距离：由勾股定理得$OM=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$。
2. 利用对称性求MN长度：因为M、N关于原点对称，所以原点是MN的中点，因此$MN=2OM=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；两点间距离公式
【点评】
本题属于平面直角坐标系基础应用题，考查核心知识点的直接应用，解题关键是熟练掌握对称点坐标规律和距离计算方法，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8

3.若点$A(a,-5)$和点$B(4,b)$关于原点对称，则点$P(a,b)$在第象限。

3. 二

【分析】
解题时首先回忆关于原点对称的点的坐标性质：若两点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们先利用这个性质求出a、b的值，得到点P的坐标后，再结合各象限内点的坐标符号特征，就能判断点P所在的象限。
【解析】
解：
∵ 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，
点$A(a,-5)$和点$B(4,b)$关于原点对称，
∴ $a=-4$，$b=5$，
∴ 点P的坐标为$(-4,5)$，
根据象限内点的符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号
【点评】
本题属于基础题，核心考查原点对称的坐标性质和平面直角坐标系象限的判断，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

4.若一元二次方程$x^2 - x -12=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则与点$(m,n)$关于原点对称的点的坐标是.

4. (-1,12)

【分析】
解题分两步进行：第一步，运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算$m$、$n$的值，确定点$(m,n)$的坐标。对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；第二步，根据关于原点对称的点的坐标规律求解对称点坐标：两个点关于原点对称时，横、纵坐标均互为原坐标的相反数。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x -12=0$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=-12$。
根据根与系数的关系：
两根之和$m=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{1}=1$，
两根之积$n=\frac{c}{a}=\frac{-12}{1}=-12$，
即点$(m,n)$为$(1,-12)$。
根据原点对称的坐标特征，将原坐标横、纵坐标均取相反数，可得对称点坐标为$(-1,12)$。
【答案】
$(-1,12)$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程和平面直角坐标系的基础知识点，考察对基础概念的掌握情况，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

5.在平面直角坐标系中，$Q(2,-3),M(-1,2)$.若$PQ// x$轴，$PM// y$轴，则与点$P$关于原点对称的点的坐标是.

5. (1,3)

【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：①平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等；②平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数。首先根据PQ平行x轴确定点P的纵坐标，再根据PM平行y轴确定点P的横坐标，得到P点坐标后，再根据原点对称的坐标特征求出对称点坐标即可。
【解析】
解：
∵$PQ// x$轴，Q点坐标为$(2,-3)$，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为$-3$；
∵$PM// y$轴，M点坐标为$(-1,2)$，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，
∴点P的横坐标为$-1$；
即点P的坐标为$(-1,-3)$。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，
∴与点P关于原点对称的点的坐标是$(1,3)$。
【答案】
$(1,3)$
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标规律
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题，重点考查特殊位置点的坐标变化规律，熟练掌握相关特征即可快速求解，出错点多为混淆平行于坐标轴的点的横、纵坐标对应规律。
【难度系数】
0.8

6.如图，已知点$A(-3,\sqrt{3})$，$B(-1,-\sqrt{3})$，菱形$ABCD$的对角线相交于原点.
(1)求$C$，$D$两点的坐标.
(2)求菱形$ABCD$的面积.

6.【解】(1)
∵菱形ABCD的对角线相交于原点，
∴点$A(-3,\sqrt{3})$与点C关于原点对称，点$B(-1,-\sqrt{3})$与点D关于原点对称.
∴点C的坐标为$(3,-\sqrt{3})$,点D的坐标为$(1,\sqrt{3})$.
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=2AO· OD$.
∵$A(-3,\sqrt{3}),D(1,\sqrt{3})$,
∴$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=2\sqrt{3}$,$OD=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=2$.
∴$S_{菱形ABCD}=2AO· OD=2×2\sqrt{3}×2=8\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 求解C、D坐标：菱形是中心对称图形，对角线交点为对称中心，本题中对角线交于原点，因此点A与点C、点B与点D均关于原点对称；关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，结合已知A、B的坐标即可直接推出C、D的坐标。
(2) 求解菱形面积：菱形面积等于对角线乘积的一半，由于菱形对角线互相平分，因此AC=2AO，BD=2OD，先利用两点到原点的距离公式（勾股定理）算出AO、OD的长度，再代入面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵菱形ABCD的对角线相交于原点，
∴点$A(-3,\sqrt{3})$与点C关于原点对称，点$B(-1,-\sqrt{3})$与点D关于原点对称，
∴点C的坐标为$(3,-\sqrt{3})$，点D的坐标为$(1,\sqrt{3})$。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD$，
又
∵对角线互相平分，$AC=2AO$，$BD=2OD$，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×2AO×2OD=2AO· OD$，
根据距离公式计算：
$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$，
$OD=\sqrt{(1-0)^2+(\sqrt{3}-0)^2}=\sqrt{1+3}=2$，
代入得$S_{菱形ABCD}=2×2\sqrt{3}×2=8\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $C(3,-\sqrt{3})$，$D(1,\sqrt{3})$；
(2) $8\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，关于原点对称的点的坐标，菱形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查菱形的相关性质，解题核心是熟练掌握菱形的中心对称性和对角线求面积的公式，计算难度较低，属于基础题型。
【难度系数】
0.7