1. 一副三角尺拼成的图案如图所示，∠AEC的度数为 （）

A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$

1. B

如图，将△ABC沿着DE翻折，使点B与点B'重合.若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为（）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
解析 由翻折可知∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE.
因为∠1+∠BED+∠B'ED=180°，
∠2+∠BDE+∠B'DE=180°，
所以 ∠1 + 2∠BED + ∠2 + 2∠BDE=360°.
因为∠1+∠2=80°，
所以2∠BED+2∠BDE=280°.
所以∠BED+∠BDE=140°.
因为∠BED+∠BDE+∠B=180°，
所以∠B=180°−140°=40°.
答案 C

C

解：
由翻折的性质可得：$∠ BED = ∠ B'ED$，$∠ BDE = ∠ B'DE$。
$\because ∠ 1 + ∠ BED + ∠ B'ED = 180°$，$∠ 2 + ∠ BDE + ∠ B'DE = 180°$，
$\therefore ∠ 1 + 2∠ BED + ∠ 2 + 2∠ BDE = 360°$。
又$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 80°$，
$\therefore 2∠ BED + 2∠ BDE = 360° - 80° = 280°$，
$\therefore ∠ BED + ∠ BDE = 140°$。
在$△ BDE$中，$∠ BED + ∠ BDE + ∠ B = 180°$，
$\therefore ∠ B = 180° - (∠ BED + ∠ BDE) = 180° - 140° = 40°$。

2. 如图，将$△ ABC$折叠，使点$A$落在点$A'$处，折痕为$DE$。若$∠ A＝25°$，则$∠2－∠1$的度数为 （）


A.$25°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$

2. B

某数学兴趣小组对“三角形内角平分线（或外角平分线）的夹角与第三个内角之间的数量关系”进行了探究.
（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，若$∠ A=66°$，则$∠ BPC=$；
（2）如图②，$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，若$∠ A=α$，则$∠ E=$（用含$α$的式子表示）；
（3）如图③，$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，请写出$∠ Q$与$∠ A$之间的数量关系，并说明理由.

（1）$123°$ 解析 因为$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$P$，所以$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$. 所以$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$.
因为$∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB=180°$，
所以$∠ BPC = 180° - (∠ PBC + ∠ PCB) = 180° - (\frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ ACB) = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=180°-90°+\frac{1}{2}∠ A =90°+\frac{1}{2}×66°=123°$.
（2）$\frac{1}{2}α$ 解析 因为$△ ABC$的内角$∠ ACB$的平分线与$△ ABC$的外角$∠ ABD$的平分线交于点$E$，所以$∠ ECB = \frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ ABD$.
因为$∠ ABD$是$△ ABC$的外角，$∠ EBD$是$△ BCE$的外角，
所以$∠ ABD = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ EBD=∠ ECB+∠ E$.
所以$∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB$.
即$\frac{1}{2}∠ A + ∠ ECB=∠ E+∠ ECB$.
所以$∠ E=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}α$.

（3）解 $∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$. 理由如下：
因为$∠ CBM$与$∠ BCN$是$△ ABC$的外角，
所以$∠ CBM = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCN=∠ A+∠ ABC$.
因为$△ ABC$的外角$∠ CBM$与$∠ BCN$的平分线交于点$Q$，
所以$∠ QBC = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)$，$∠ QCB=\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)$.
因为$∠ QBC+∠ QCB+∠ Q=180°$，
所以$∠ Q=180°-∠ QBC-∠ QCB=180°-\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)-\frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)=180°-\frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC+∠ ACB)=180°-\frac{1}{2}∠ A -90°=90°-\frac{1}{2}∠ A$.

解：
(1) $123°$
(2) $\frac{1}{2}α$
(3) $∠ Q = 90° - \frac{1}{2}∠ A$，理由如下：
$\because ∠ CBM$，$∠ BCN$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ CBM = ∠ A + ∠ ACB$，$∠ BCN = ∠ A + ∠ ABC$。
$\because BQ$平分$∠ CBM$，$CQ$平分$∠ BCN$，
$\therefore ∠ QBC = \frac{1}{2}∠ CBM = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB)$，
$∠ QCB = \frac{1}{2}∠ BCN = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$。
在$△ QBC$中，$∠ QBC + ∠ QCB + ∠ Q = 180°$，
$\therefore ∠ Q = 180° - (∠ QBC + ∠ QCB)$
$= 180° - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ACB) - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC)$
$= 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2}(∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB)$
又$\because$ 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
$\therefore ∠ Q = 180° - \frac{1}{2}∠ A - \frac{1}{2} × 180° = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。