13.【综合与实践】阅读下面的材料:
在探究一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的解法时,小聪尝试借助图形对其进行配方。他的思考如下:先将方程变形为$2x^2 + 3x = 1$,即$x(2x + 3) = 1$。由$x(2x + 3) = 1$联想到了宽为$x$、长为$2x + 3$的矩形,且面积为1(如图①)。
配方法等号左边是完全平方式,由此联想到了正方形的面积,怎样由图①得到正方形呢?小聪参考证明勾股定理时用4个全等的直角三角形拼正方形的经验,用4个如图①所示的矩形拼成了如图②所示的正方形,并得到等式$(3x + 3)^2 = 4×1 + (x + 3)^2$,这里因为图②中中心正方形的边长为$x + 3$,所以得到的方程不符合用配方法得到的形式。
如果中心正方形的边长是个固定的值,那么得到的方程就符合用配方法得到的形式了,小聪发现中心正方形的边长是图①中矩形的两边长之差,而其一边为$2x + 3$,只要另一边是$2x$,即可完成配方,于是他又将方程$x(2x + 3) = 1$变形为$2x(2x + 3) = 2$,并构造了如图③所示的图形,由此得到方程$(4x + 3)^2 = 4×2 + 3^2$,即$(4x + 3)^2 = 17$,两边开平方,得$4x + 3 = ±\sqrt{17}$,所以$x = -\frac{3}{4} ±\frac{\sqrt{17}}{4}$,所以$x_1 = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$,$x_2 = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$。

请根据上述材料回答下面的问题:
(1)小敏模仿小聪的思路尝试对方程$3x^2 + 4x - 4 = 0$进行配方,请选择下列矩形中的一种,帮小敏画出拼成的正方形,并写出配方后的方程;

(2)小聪发现,上述配方的思路虽然借助了图形,但确可推广到任意的一元二次方程,请用这种方法解方程$2x^2 - 5x + 3 = 0$。
在探究一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的解法时,小聪尝试借助图形对其进行配方。他的思考如下:先将方程变形为$2x^2 + 3x = 1$,即$x(2x + 3) = 1$。由$x(2x + 3) = 1$联想到了宽为$x$、长为$2x + 3$的矩形,且面积为1(如图①)。
配方法等号左边是完全平方式,由此联想到了正方形的面积,怎样由图①得到正方形呢?小聪参考证明勾股定理时用4个全等的直角三角形拼正方形的经验,用4个如图①所示的矩形拼成了如图②所示的正方形,并得到等式$(3x + 3)^2 = 4×1 + (x + 3)^2$,这里因为图②中中心正方形的边长为$x + 3$,所以得到的方程不符合用配方法得到的形式。
如果中心正方形的边长是个固定的值,那么得到的方程就符合用配方法得到的形式了,小聪发现中心正方形的边长是图①中矩形的两边长之差,而其一边为$2x + 3$,只要另一边是$2x$,即可完成配方,于是他又将方程$x(2x + 3) = 1$变形为$2x(2x + 3) = 2$,并构造了如图③所示的图形,由此得到方程$(4x + 3)^2 = 4×2 + 3^2$,即$(4x + 3)^2 = 17$,两边开平方,得$4x + 3 = ±\sqrt{17}$,所以$x = -\frac{3}{4} ±\frac{\sqrt{17}}{4}$,所以$x_1 = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$,$x_2 = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$。
请根据上述材料回答下面的问题:
(1)小敏模仿小聪的思路尝试对方程$3x^2 + 4x - 4 = 0$进行配方,请选择下列矩形中的一种,帮小敏画出拼成的正方形,并写出配方后的方程;
(2)小聪发现,上述配方的思路虽然借助了图形,但确可推广到任意的一元二次方程,请用这种方法解方程$2x^2 - 5x + 3 = 0$。
答案
(1) 选择从左到右第3个矩形,拼成的正方形如图所示
(2) 原方程变形为$x(2x-5)=-3$,
$2x(2x-5)=-6$,
$(2x+2x-5)^2=4×(-6)+(-5)^2=1$,
即$(4x-5)^2=1$,
解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$。
登录