16.如图，抛物线$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$经过$△ ABC$的三个顶点，点A，B在x轴上，点C在y轴上，抛物线的对称轴交x轴于点D，过点A作$AE// BC$交对称轴于点E，且$AC=\sqrt{13}$。
(1)求抛物线的表达式；
(2)求DE的长。

解:(1)
∵$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，
∴OC=3。
∵$AC=\sqrt{13}$，
∴$OA=\sqrt{AC^2-OC^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$。
∴A(-2,0)。
把(-2,0)代入$y=ax^2+\frac{3}{4}x+3$，得$0=4a-\frac{3}{2}+3$，解得$a=-\frac{3}{8}$。
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，
∴OD=1。
∴AD=2+1=3，DB=3。
∴OB=4。
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠CBO。
∵∠ADE=∠COB，
∴△ADE∽△BOC。
∴$\frac{DE}{OC}=\frac{AD}{OB}$。
∴$\frac{DE}{3}=\frac{3}{4}$，
∴$DE=\frac{9}{4}$。

17.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”。例如,点$M(1,3)$的特征线有:直线$x=1,y=3,y=x+2,y=-x+4$。如图,在平面直角坐标系中有正方形$OABC$,点$B$在第一象限,点$A,C$分别在$x$轴和$y$轴上,抛物线$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$经过$B,C$两点,顶点$D$在正方形内部。
(1)写出点$N(2,3)$的任意两条特征线;
(2)若点$D$有一条特征线是直线$y=x+1$,求此抛物线的表达式。

解:(1)点N(2,3)的任意两条特征线为直线y=3，y=x+1。(答案不唯一)
(2)
∵抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+b$，
∴点D的坐标为(a,b)。
∵点D有一条特征线是y=x+1，
∴b=a+1。
∴$y=\frac{1}{4}(x-a)^2+a+1$。
易得过点D且垂直于x轴的直线为正方形OABC的对称轴，
∴B(2a,2a)。
∴$\frac{1}{4}(2a-a)^2+a+1=2a$，解得a=2。
∴b=3。
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$。