4. (2025 陕西) 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为4，点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，点 $ F $ 在 $ AD $ 上，$ EF ⊥ EC $，则 $ \triangle CEF $ 的面积为 ()

A.10
B.8
C.5
D.4

C

设正方形ABCD中，A(0,0)，B(4,0)，C(4,4)，D(0,4)。E为AB中点，故E(2,0)。设F(0,y)（F在AD上）。
∵EF⊥EC，向量EF=(-2,y)，向量EC=(2,4)，
∴EF·EC=(-2)×2 + y×4 = -4 + 4y=0，解得y=1，即F(0,1)。
EF=√[(2-0)²+(0-1)²]=√5，EC=√[(4-2)²+(4-0)²]=2√5。
∵EF⊥EC，∴S△CEF=1/2×EF×EC=1/2×√5×2√5=5。

5. (2024 河南，14 考法) 如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上，点 $ E $ 为 $ AB $ 的中点，将 $ \triangle BCE $ 折叠，点 $ B $ 落在 $ y $ 轴上的点 $ F $ 处，则点 $ F $ 的坐标为 。

(0,2)

设正方形ABCD中，点A(a,0)，则B(a+5,0)，C(a+5,5)，D(a,5)。E为AB中点，E(a+2.5,0)，EB=2.5。折叠后点B落在y轴上点F(0,f)，则FE=EB=2.5，FC=BC=5。
由FE=2.5得：√[(a+2.5-0)²+(0-f)²]=2.5，即(a+2.5)²+f²=6.25...①
由FC=5得：√[(a+5-0)²+(5-f)²]=5，即(a+5)²+(5-f)²=25...②
联立①②，解得f=2（f=0舍去），故F(0,2)。

6. (2025 南阳一模节选) 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”。如图2，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90° $，将线段 $ BC $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90° $ 得到线段 $ BD $，作 $ DE ⊥ AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $。
- (1) 线段 $ AB $ 与 $ DE $ 的数量关系是 。
- (2) 如图3，连接 $ CD $ 并延长，交 $ AB $ 的延长线于点 $ F $，若 $ AB = 1 $，$ AC = 3 $。
- ① 求线段 $ EF $ 的长；
- ② 连接 $ CE $ 交 $ BD $ 于点 $ N $，求 $ \frac{BN}{BC} $ 的值。

(1)AB=DE；(2)①2；②9/13

(1) ∵∠A=90°，DE⊥AB，∴∠A=∠E=90°。由旋转得BC=BD，∠CBD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°。又∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DBE。∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AB=DE。
(2) ① 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建系，A(0,0)，B(1,0)，C(0,3)。向量BC=(-1,3)，顺时针旋转90°得向量BD=(3,1)，∴D(4,1)，E(4,0)。直线CD：y=-1/2x+3，令y=0得F(6,0)，EF=6-4=2。
② 直线CE：y=-3/4x+3，直线BD：y=1/3x-1/3。联立得N(40/13,9/13)。BD=√(3²+1²)=√10，BN=√[(27/13)²+(9/13)²]=9√10/13，∴BN/BC=BN/BD=9/13。