训练 1. (2025浙江)已知抛物线$ y = x ^ { 2 } - a x + 5 $（$ a $为常数）经过点$ ( 1,0 ) $.
(1)求$ a $的值.
(2)过点$ A ( 0,t ) $与$ x $轴平行的直线交抛物线于$ B $，$ C $两点，且点$ B $为线段$ A C $的中点，求$ t $的值.
(3)设$ m \lt 3 \lt n $，抛物线的一段$ y = x ^ { 2 } - a x + 5 $（$ m \leq x \leq n $）夹在两条均与$ x $轴平行的直线$ l _ { 1 } $，$ l _ { 2 } $之间.若直线$ l _ { 1 } $，$ l _ { 2 } $之间的距离为$ 16 $，求$ n - m $的最大值.

(1)6；(2)-3；(3)8

(1)将点$(1,0)$代入$y=x^2 - ax + 5$，得$0=1 - a + 5$，解得$a=6$。
(2)由(1)知抛物线为$y=x^2 - 6x + 5$。直线$y=t$与抛物线交于$B(x_1,t)$，$C(x_2,t)$，联立方程$t=x^2 - 6x + 5$，即$x^2 - 6x + 5 - t=0$，则$x_1 + x_2=6$。因$B$是$AC$中点，$A(0,t)$，故$x_1=\frac{0 + x_2}{2}$，即$x_2=2x_1$。联立$x_1 + 2x_1=6$，得$x_1=2$，$x_2=4$。由$x_1x_2=5 - t$，得$2×4=5 - t$，解得$t=-3$。
(3)抛物线$y=(x - 3)^2 - 4$，顶点$(3,-4)$，开口向上。因$m ＜ 3 ＜ n$，区间含顶点，最小值为$-4$。直线距离16，故最大值为$-4 + 16=12$。解方程$(x - 3)^2 - 4=12$，得$x=-1$或$7$。则$m=-1$，$n=7$时，$n - m=8$为最大值。

2. 已知抛物线$ y = - ( x - m ) ^ { 2 } + m + 1 $经过点$ A ( 1,a ) $，将抛物线向左平移$ k $个单位长度，再向下平移$ k $个单位长度（$ k \gt 0 $），再次经过点$ A $.
(1)若$ a = 0 $，求$ m $的值.
(2)求$ m $与$ k $的关系式.
(3)当$ 2 \leq x \leq m + 2 $时，二次函数$ y = - ( x - m ) ^ { 2 } + m + 1 $的最大值与最小值的差为$ 4 $，求$ k $的取值范围.

(1)$m=0$或$3$；(2)$k=2m - 3$；(3)$1\leq k\leq5$

(1)当$a = 0$时，点$A(1,0)$在抛物线$y=-(x - m)^2 + m + 1$上，代入得：
$0=-(1 - m)^2 + m + 1$
展开得：$0=-(m^2 - 2m + 1) + m + 1$
化简：$-m^2 + 3m = 0$，解得$m=0$或$m=3$。
(2)原抛物线向左平移$k$个单位，再向下平移$k$个单位后解析式为$y=-(x - m + k)^2 + m + 1 - k$。
点$A(1,a)$在原抛物线和新抛物线上，故：
$a=-(1 - m)^2 + m + 1$且$a=-(1 - m + k)^2 + m + 1 - k$
联立消去$a$：$-(1 - m)^2 =-(1 - m + k)^2 - k$
平方差公式化简：$k[2(1 - m) + k]=-k$，$k＞0$，得$2(1 - m) + k=-1$，即$k=2m - 3$。
(3)抛物线$y=-(x - m)^2 + m + 1$开口向下，对称轴$x=m$，区间$[2, m + 2]$。
当$m\geq2$时，对称轴在区间内，最大值为$m + 1$。
若$2\leq m\leq4$，最小值为$f(m + 2)=m - 3$，差$(m + 1)-(m - 3)=4$，满足条件。
若$m＞4$，最小值为$f(2)=-m^2 + 5m - 3$，差$(m + 1)-(-m^2 + 5m - 3)=(m - 2)^2=4$，解得$m=4$（舍）或$m=0$（舍）。
当$m＜2$时，区间在对称轴右侧，函数递减，差$-m^2 + 4m=4$，解得$m=2$（舍）。
综上，$2\leq m\leq4$，由$k=2m - 3$得$1\leq k\leq5$。