1. (2025郑州一模)如图,在平面直角坐标系中,正方形$OABC$的顶点$C,A$分别在$x$轴、$y$轴上,点$D$为$OA$的中点,连接$BD$.点$P$为$OC$上一点,连接$DP$,先以点$P$为圆心,$DP$长为半径画弧,交$BD$于点$E$,再分别以点$D,E$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}DE$的长为半径画弧,两弧交于点$F$,作射线$PF$交$DE$于点$G$.若$DG = DO,A(0,2)$,则点$P$的坐标为
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
.答案
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
解析
∵正方形$OABC$中，$A(0,2)$，∴$OA=OC=2$，$O(0,0)$，$C(2,0)$，$B(2,2)$。
点$D$为$OA$中点，∴$D(0,1)$，$DO=1$。
直线$BD$：设$y=kx+b$，代入$B(2,2)$、$D(0,1)$，得$b=1$，$2=2k+1$，解得$k=\frac{1}{2}$，故$BD:y=\frac{1}{2}x+1$。
设$E(e,\frac{1}{2}e+1)$，$P(p,0)$。由作图知$PF$是$DE$的垂直平分线，∴$G$为$DE$中点，且$DG=1$，则$DE=2$。
$DE$长度：$\sqrt{e^2+(\frac{1}{2}e)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}e=2$，解得$e=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，故$E(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}+1)$。
$G$为$DE$中点，$G(\frac{2\sqrt{5}}{5},1+\frac{\sqrt{5}}{5})$。
$DE$斜率为$\frac{1}{2}$，则$PG$斜率为$-2$。由$P(p,0)$、$G(\frac{2\sqrt{5}}{5},1+\frac{\sqrt{5}}{5})$，得$\frac{1+\frac{\sqrt{5}}{5}-0}{\frac{2\sqrt{5}}{5}-p}=-2$，解得$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
2. (2025郑州三模)如图,在平面直角坐标系中,正方形$OABC$的顶点$A,C$分别在$x$轴、$y$轴上,点$D$为对角线$OB$上一点,且$OD = 2BD$,连接$CD$,过点$O$作$OF⊥ CD$于点$E$,交$BC$于点$F$.若点$B$的坐标为$(6,6)$,则点$E$的横坐标为
$\frac{12}{5}$
.答案
$\frac{12}{5}$
解析
∵正方形$OABC$中，$B(6,6)$，
∴$O(0,0)$，$A(6,0)$，$C(0,6)$，对角线$OB$的方程为$y=x$。
∵$OD=2BD$，即$OD:DB=2:1$，
∴由定比分点公式得$D$点坐标为$\left(\frac{0+2×6}{1+2},\frac{0+2×6}{1+2}\right)=(4,4)$。
设直线$CD$的方程：$C(0,6)$，$D(4,4)$，斜率$k_{CD}=\frac{4-6}{4-0}=-\frac{1}{2}$，
∴直线$CD$：$y=-\frac{1}{2}x+6$。
∵$OF⊥ CD$，∴$k_{OF}=2$，直线$OF$：$y=2x$。
联立$\begin{cases}y=2x\\y=-\frac{1}{2}x+6\end{cases}$，解得$x=\frac{12}{5}$。
即点$E$的横坐标为$\frac{12}{5}$。
3. (2025洛阳三模)风力发电是一种常见的绿色环保发电形式,风力发电机有三个底端重合、两两成$120°$角的叶片.如图以三个叶片的重合点为原点,水平方向为$x$轴建立平面直角坐标系,点$A$的坐标为$(4,3)$,在一段时间内,叶片每秒绕原点$O$逆时针转动$90°$,则第2025秒时,点$A$的对应点的坐标为(
A.$(-3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(-4,3)$
D.$(3,4)$
A
)A.$(-3,4)$
B.$(3,-4)$
C.$(-4,3)$
D.$(3,4)$
答案
A
解析
点绕原点逆时针旋转90°，坐标变换规律为(x,y)→(-y,x)。每秒转动90°，4秒为一周期（360°）。2025÷4=506……1，余数为1，即转动1次90°。初始点A(4,3)，逆时针转90°后坐标为(-3,4)。
4. (2025 驻马店三模)如图,在平面直角坐标系中,直线$l$的解析式为$y = \sqrt{3}x$,在直线$l$上取$OB = 2$,过点$B$作$BA⊥ y$轴,垂足为$A$,将$\triangle ABO$沿射线$OB$方向平移,每次平移$2$个单位长度,第$1$次平移得$\triangle A_{1}B_{1}B$,第$2$次得$\triangle A_{2}B_{2}B_{1}······$则第$2025$次平移后,点$A_{2025}$的坐标为（ ）
A. $(2025\sqrt{3},2024)$
B. $(2026\sqrt{3},2025)$
C. $(2024,2025\sqrt{3})$
D. $(2025,2026\sqrt{3})$
A. $(2025\sqrt{3},2024)$
B. $(2026\sqrt{3},2025)$
C. $(2024,2025\sqrt{3})$
D. $(2025,2026\sqrt{3})$
答案
D
解析
1. 首先求点$B$的坐标：
已知直线$l:y = \sqrt{3}x$，设$B(x,\sqrt{3}x)$，由$OB = 2$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$（这里$O(0,0)$，$B(x,\sqrt{3}x)$），则$OB=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}$。
因为$\sqrt{x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}=\sqrt{x^{2}+3x^{2}}=\sqrt{4x^{2}} = 2\vert x\vert$，又因为$x\gt0$（根据图象），所以$2x = 2$，解得$x = 1$，则$y=\sqrt{3}$，所以$B(1,\sqrt{3})$，$A(0,\sqrt{3})$。
2. 然后分析平移规律：
第$1$次平移，$\triangle ABO$沿射线$OB$方向平移$2$个单位长度得到$\triangle A_{1}B_{1}B$。
由于$OB = 2$，每次平移$2$个单位长度，且$BA⊥ y$轴，$BA = 1$，$OA=\sqrt{3}$。
观察发现：$A_{1}$的横坐标为$\sqrt{3}$，纵坐标为$2\sqrt{3}$；$A_{2}$的横坐标为$2\sqrt{3}$，纵坐标为$3\sqrt{3}$。
总结规律：$A_{n}$的横坐标为$n\sqrt{3}$，纵坐标为$(n + 1)\sqrt{3}$（这里$n$表示平移次数）。
3. 最后求$A_{2025}$的坐标：
当$n = 2025$时，$x = 2025\sqrt{3}$，$y=(2025 + 1)\sqrt{3}=2026\sqrt{3}$。
所以点$A_{2025}$的坐标为$(2025\sqrt{3},2026\sqrt{3})$，答案是D。
已知直线$l:y = \sqrt{3}x$，设$B(x,\sqrt{3}x)$，由$OB = 2$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$（这里$O(0,0)$，$B(x,\sqrt{3}x)$），则$OB=\sqrt{x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}$。
因为$\sqrt{x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}=\sqrt{x^{2}+3x^{2}}=\sqrt{4x^{2}} = 2\vert x\vert$，又因为$x\gt0$（根据图象），所以$2x = 2$，解得$x = 1$，则$y=\sqrt{3}$，所以$B(1,\sqrt{3})$，$A(0,\sqrt{3})$。
2. 然后分析平移规律：
第$1$次平移，$\triangle ABO$沿射线$OB$方向平移$2$个单位长度得到$\triangle A_{1}B_{1}B$。
由于$OB = 2$，每次平移$2$个单位长度，且$BA⊥ y$轴，$BA = 1$，$OA=\sqrt{3}$。
观察发现：$A_{1}$的横坐标为$\sqrt{3}$，纵坐标为$2\sqrt{3}$；$A_{2}$的横坐标为$2\sqrt{3}$，纵坐标为$3\sqrt{3}$。
总结规律：$A_{n}$的横坐标为$n\sqrt{3}$，纵坐标为$(n + 1)\sqrt{3}$（这里$n$表示平移次数）。
3. 最后求$A_{2025}$的坐标：
当$n = 2025$时，$x = 2025\sqrt{3}$，$y=(2025 + 1)\sqrt{3}=2026\sqrt{3}$。
所以点$A_{2025}$的坐标为$(2025\sqrt{3},2026\sqrt{3})$，答案是D。
5. (2025焦作二模)如图,点$A(0,-2),B(1,0)$,将线段$AB$平移得到线段$DC$,若$\angle ABC = 90°,BC = 2AB$,则点$D$的坐标是(
A.$(4,-4)$
B.$(4,-6)$
C.$(6,-2)$
D.$(3,-4)$
A
)A.$(4,-4)$
B.$(4,-6)$
C.$(6,-2)$
D.$(3,-4)$
答案
A
解析
已知点$A(0,-2)$，$B(1,0)$，则$AB$向量为$(1-0,0-(-2))=(1,2)$，$AB$长度为$\sqrt{(1)^2+(2)^2}=\sqrt{5}$，故$BC=2AB=2\sqrt{5}$。
设$C(x,y)$，因$\angle ABC=90°$，则向量$\overrightarrow{BA}=(-1,-2)$与$\overrightarrow{BC}=(x-1,y)$垂直，数量积为$0$：$-1(x-1)-2y=0$，即$x+2y=1$。
又$BC=2\sqrt{5}$，则$(x-1)^2+y^2=20$。联立方程解得$\begin{cases}x=5\\y=-2\end{cases}$（另一解$(-3,2)$对应$D$不在选项中）。
因$AB$平移得$DC$，向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，故$D=C-\overrightarrow{AB}=(5-1,-2-2)=(4,-4)$。
设$C(x,y)$，因$\angle ABC=90°$，则向量$\overrightarrow{BA}=(-1,-2)$与$\overrightarrow{BC}=(x-1,y)$垂直，数量积为$0$：$-1(x-1)-2y=0$，即$x+2y=1$。
又$BC=2\sqrt{5}$，则$(x-1)^2+y^2=20$。联立方程解得$\begin{cases}x=5\\y=-2\end{cases}$（另一解$(-3,2)$对应$D$不在选项中）。
因$AB$平移得$DC$，向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，故$D=C-\overrightarrow{AB}=(5-1,-2-2)=(4,-4)$。
6. (2025商丘二模)如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCD$的边$AB$在$x$轴上,点$A$的坐标为$(-4,0)$,点$E$在边$CD$上.将$\triangle BCE$沿$BE$折叠,点$C$落在点$F$处.已知点$F$的坐标为$(0,6)$,且矩形$ABCD$中$AB = 12$,则点$E$的横坐标为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
7. (2025信阳三模)如图,平面直角坐标系中,正六边形$ABCDEF$的顶点$D,E$在$x$轴上,顶点$F$在$y$轴上,若正六边形的中心点$P$的坐标为$(2,\sqrt{3})$,则点$B$的坐标为(
A.$(2,2\sqrt{3})$
B.$(2\sqrt{3},3)$
C.$(2\sqrt{3},2)$
D.$(3,2\sqrt{3})$
D
)A.$(2,2\sqrt{3})$
B.$(2\sqrt{3},3)$
C.$(2\sqrt{3},2)$
D.$(3,2\sqrt{3})$
答案
D
解析
设正六边形边长为$a$，中心$P(2,\sqrt{3})$，则$P$到各顶点距离为$a$。
∵$D,E$在$x$轴上，设$E(x_E,0),D(x_D,0)$，由对称性知$E,D$关于直线$x=2$对称，设$E(2-m,0),D(2+m,0)$。
$DE=2m=a$，且$PE=\sqrt{m^2+(\sqrt{3})^2}=a$，解得$a=2,m=1$，故$E(1,0),D(3,0)$。
$F$在$y$轴上，设$F(0,y_F)$，由$PF=2$得$\sqrt{(0-2)^2+(y_F-\sqrt{3})^2}=2$，解得$y_F=\sqrt{3}$，即$F(0,\sqrt{3})$。
正六边形中心角为$60°$，$B$的中心角为$60°$，局部坐标$(2\cos60°,2\sin60°)=(1,\sqrt{3})$，原坐标$(1+2,\sqrt{3}+\sqrt{3})=(3,2\sqrt{3})$。
∵$D,E$在$x$轴上，设$E(x_E,0),D(x_D,0)$，由对称性知$E,D$关于直线$x=2$对称，设$E(2-m,0),D(2+m,0)$。
$DE=2m=a$，且$PE=\sqrt{m^2+(\sqrt{3})^2}=a$，解得$a=2,m=1$，故$E(1,0),D(3,0)$。
$F$在$y$轴上，设$F(0,y_F)$，由$PF=2$得$\sqrt{(0-2)^2+(y_F-\sqrt{3})^2}=2$，解得$y_F=\sqrt{3}$，即$F(0,\sqrt{3})$。
正六边形中心角为$60°$，$B$的中心角为$60°$，局部坐标$(2\cos60°,2\sin60°)=(1,\sqrt{3})$，原坐标$(1+2,\sqrt{3}+\sqrt{3})=(3,2\sqrt{3})$。
