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1. (2025·连云港海州区期末)下列说法中,错误的是(
A.三角形是边数最少的多边形
B.等边三角形和长方形都是正多边形
C.$n$ 边形有 $n$ 条边、$n$ 个顶点、$n$ 个内角、$2n$ 个外角
D.六边形从一个顶点出发可以画 3 条对角线,所有的对角线共有 9 条
B
).A.三角形是边数最少的多边形
B.等边三角形和长方形都是正多边形
C.$n$ 边形有 $n$ 条边、$n$ 个顶点、$n$ 个内角、$2n$ 个外角
D.六边形从一个顶点出发可以画 3 条对角线,所有的对角线共有 9 条
答案
1.B
2. (2025·苏州相城区期末)从某多边形的一个顶点出发的所有对角线,将其分成6个三角形,则多边形的边数为(
A.6
B.7
C.8
D.9
C
).A.6
B.7
C.8
D.9
答案
2.C
3. (2025·扬州期末)从八边形的一个顶点出发最多可以画
5
条对角线.答案
3.5
4. $a$ 个六边形,$b$ 个五边形共有
$6a+5b$
条边.答案
4.$6a+5b$
5. 中考新考法 归纳一般结论 如图,三角形的对角线有0条,四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条,六边形的对角线有9条.
(1)通过分析,请你说说十边形的对角线有多少条,你能总结出n边形的对角线有多少条吗?
(2)应用:10个人聚会,围坐在一个圆桌旁,每不相邻的人都握一次手,共握多少次手?
(1)通过分析,请你说说十边形的对角线有多少条,你能总结出n边形的对角线有多少条吗?
(2)应用:10个人聚会,围坐在一个圆桌旁,每不相邻的人都握一次手,共握多少次手?
答案
5.(1)十边形的对角线有$\frac{10×(10-3)}{2}=5×7=35$(条),n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条.
(2)$\frac{10×(10-3)}{2}=35$(次).
故共握35次手.
(2)$\frac{10×(10-3)}{2}=35$(次).
故共握35次手.
6. 数学文化 皮克定理 各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形,它的面积S可用公式$S=a+\dfrac{1}{2}b-1$
(a是多边形内的格点数,b是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick)定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积$S=$
(a是多边形内的格点数,b是多边形边界上的格点数)计算,这个公式称为“皮克(Pick)定理”.如图给出了一个格点五边形,则该五边形的面积$S=$
6
.答案
6.6
[解析]
∵a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积,
观察图形,可得a=4,b=6,
∴该五边形的面积$S=4+\frac{1}{2}×6-1=6$.
[解析]
∵a表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积,
观察图形,可得a=4,b=6,
∴该五边形的面积$S=4+\frac{1}{2}×6-1=6$.
7. 教材P194活动2·变式 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是
8
。答案
7.8
[解析]这个多边形的边数是6+2=8.
[解析]这个多边形的边数是6+2=8.
8. 已知从十边形的一个顶点出发，可以引 $m$ 条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成 $n$个三角形，则 $m+n=$
15
.答案
8.15
[解析]
∵从n边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,
∴当n=10时,从一个顶点出发可以引7条对角线,把十边形分成8个三角形,
∴m=7,n=8,
∴m+n=15.
[解析]
∵从n边形的一个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形,
∴当n=10时,从一个顶点出发可以引7条对角线,把十边形分成8个三角形,
∴m=7,n=8,
∴m+n=15.
9. 如图所示,将多边形分割成三角形.图(1)中可分割出2个三角形;图(2)中可分割出3个三角形;图(3)中可分割出4个三角形;由此你能猜测出$n$边形可以分割出
$(n-1)$
个三角形.答案
9.$(n-1)$
[解析]由题图知,三角形分割出了2个三角形,四边形分割出了3个三角形,
∴以此类推,n边形可以分割出$(n-1)$个三角形.
[解析]由题图知,三角形分割出了2个三角形,四边形分割出了3个三角形,
∴以此类推,n边形可以分割出$(n-1)$个三角形.
10. 如图,将图(1)中的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将图(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…,则图(2 025)中的正六边形共有
6073
个.答案
10.6073
[解析]第二个图形有1+3=4(个)正六边形;第三个图形有1+3=7(个)正六边形;
…;
第n个图形中,有1+3(n-1)=(3n-2)个正六边形.
第2025个图形中,共有2025×3-2=6073(个)正六边形.
[解析]第二个图形有1+3=4(个)正六边形;第三个图形有1+3=7(个)正六边形;
…;
第n个图形中,有1+3(n-1)=(3n-2)个正六边形.
第2025个图形中,共有2025×3-2=6073(个)正六边形.
11. 在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线,将多边形分割成若干个小三角形.
图(1)给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分割成了2个,3个,4个小三角形.
(1)请你根据上述方法将图(2)中的六边形进行分割,并写出得到的小三角形的个数;
(2)试把这一结论推广至$n$边形.
延伸探究提优 挑战自我,激发创新
图(1)给出了四边形的具体分割方法,分别将四边形分割成了2个,3个,4个小三角形.
(1)请你根据上述方法将图(2)中的六边形进行分割,并写出得到的小三角形的个数;
(2)试把这一结论推广至$n$边形.
延伸探究提优 挑战自我,激发创新
答案
11.(1)如图,得到的小三角形的个数分别为4,5,6.
(2)分割n边形时,若取多边形边上一点且该点为顶点时,该点与其他各顶点的连线将该多边形分割成(n-2)个三角形,若取多边形边上一点(非顶点),该点与各顶点的连线将该多边形分割成(n-1)个三角形;若取多边形内部一点,则该点与各顶点的连线,将该多边形分割成n个三角形.
