1. 如图 1, 在等腰直角三角形 $ABC$ 中,
$∠ ACB=90°,D$ 为边 $AB$ 的中点,动点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $AC-CB$ 匀速运动,运动到点 $B$ 处时停止. 设点 $P$ 的运动路程为 $x$,$△ APD$ 的面积为 $y$,$y$ 与 $x$ 的函数图象如图 2 所示,当点 $P$ 运动到 $CB$ 的中点处时,$PD$ 的长为（）


A.$\sqrt{6}$
B.$4$
C.$8$
D.$16$

1. B 提示:根据题意,得在动点 P 匀速运动的过程中,△APD 的面积先增大再减小,当点 P 运动到点 C 处时,△APD 的面积最大,根据函数图象可得此时△APD 的面积为 16,即 $S_{△ ACD}=16$,所以 $S_{△ ABC}=2S_{△ ACD}=32=\frac{1}{2}AC^2$,所以 $AC=8$. 当点 P 运动到 CB 的中点处时,因为 D 为边 AB 的中点,所以 $PD=\frac{1}{2}AC=4$.

2. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，既展示了数学中的精确与秩序，又蕴含了自然界的生长与繁衍之美. 如图是勾股树及它的形成过程,其中图 1 是正方形,图 2是以这个正方形的边为斜边,在其外部构造一个直角三角形,再以这个直角三角形的两条直角边为边,分别向外生成两个新的正方形,重复上述步骤得到图 3……则图2 026 中共有个正方形.

2. $2^{2\ 026}-1$ 提示:由题图可知,题图 1 中有 1个正方形,题图 2 中有 $1+2^1=3$ 个正方形,题图 3 中有$1+2^1+2^2=7$ 个正方形……所以题图 $n$ 中共有 $1+2^1+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{n-1}=(2^n-1)$ 个正方形,所以题图2 026 中共有$(2^{2\ 026}-1)$个正方形.

3. 如图,在平面直角坐标系内,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在x轴正半轴上,$OA=1$,点B的坐标为$(5,3)$,点C在y轴正半轴上,且$BC⊥ y$轴,垂足为C,P是x轴正半轴上的一个动点,设点P的横坐标为$t(t＞0)$.
(1) 点A的坐标为,点C的坐标为.
(2) 连接PB,设$△ PAB$的面积为S.
①当$0＜t＜1$时,求S与t之间的函数表达式;
②当$S=\dfrac{3}{4}$时,直接写出t的值.
(3) 当$△ PAB$是等腰三角形时,直接写出t的值.

3. 解:(1) $(1,0)\quad (0,3)$
(2) ①过点 B 作 $BD⊥ x$ 轴于点 D. 因为点 B 的坐标为 $(5,3)$,所以 $BD=3$. 当 $0＜t＜1$时,因为点 $P(t,0),A(1,0)$,所以 $PA=1-t$,所以 $S=\frac{1}{2}PA· BD=\frac{1}{2}(1-t)×3=-\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}(0＜t＜1)$.
②$t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$. 提示:当 $0＜t＜1$ 时,$-\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$,解得 $t=\frac{1}{2}$. 当 $t≥1$ 时,$AP=t-1$,所以 $S=\frac{1}{2}AP· BD=\frac{1}{2}(t-1)×3=\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$,解得$t=\frac{3}{2}$. 综上所述,满足条件的 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{3}{2}$.
(3) $t$ 的值为 6 或 9 或 $\frac{33}{8}$. 提示:因为点$A(1,0),B(5,3)$,所以 $AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$. 如图 1,当$AP=AB$ 时,$AP=AB=5$,所以点 $P$ 的坐标为 $(6,0)$,即 $t$ 的值为 6;如图 2,当 $AB=BP=5$ 时,过点 $B$ 作$BE⊥ x$ 轴于点 $E$,因为 $AE=4$ 且等腰三角形三线合一,所以 $EP=AE=4$,所以点 $P$ 的坐标为 $(9,0)$,即 $t$ 的值为 9;如图 3,当 $AP=BP$ 时,因为点 $P(t,0),A(1,0)$,$B(5,3)$,所以 $(5-t)^2+3^2=(t-1)^2$,解得 $t=\frac{33}{8}$,所以 $t$的值为 $\frac{33}{8}$. 综上所述,$t$ 的值为 6 或 9 或 $\frac{33}{8}$.