例 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$。
思路点拨）用正方形的面积表示单位“1”，算式的意思可以用右图表示。通过正方形的分割，将“分数求和”转化为“整体减剩余部分”，直观体现了分数和的变化规律，是数形结合思想在分数运算中的典型应用。
答案详解）从右图中可以看出：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
$=1-\frac{1}{32}$
$=\frac{31}{32}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
$=1-\frac{1}{32}$
$=\frac{31}{32}$

1. 计算下面各题。
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}$
$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}$

1. $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{48}+\frac{1}{96}$
$=\frac{2}{3}-\frac{1}{96}$
$=\frac{21}{32}$
$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{7}{8}+\frac{15}{16}+\frac{31}{32}+\frac{63}{64}$
$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{4})+(1-\frac{1}{8})+(1-\frac{1}{16})+(1-\frac{1}{32})+(1-\frac{1}{64})$
$=6-(1-\frac{1}{64})$
$=5\frac{1}{64}$

例 计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$。
思路点拨 每个分数的分母都可以分解为两个连续自然数的积，再把每个分数都拆分为两个分数的差。$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…，拆开后的一些分数在计算过程中可以相互抵消，这样就可简化运算。
答案详解 $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
$=1-\frac{1}{7}$
$=\frac{6}{7}$

$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
$=1-\frac{1}{7}$
$=\frac{6}{7}$