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20.(本题6分)某校八年级学生参加传统文化知识竞赛,从中随机抽取20名学生的竞赛成绩(竞赛成绩均为整数,满分为10分)绘制成如图所示统计图:
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数;
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
(1)求这20名学生竞赛成绩的中位数和众数;
(2)求这20名学生竞赛成绩的平均数。
答案
20.解:(1)中位数为8分,众数为7分；
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分)。
(2)$\overline{x}=\frac{2×6+7×7+3×8+4×9+4×10}{20}=8.05$(分)。
解析
【分析】
要解决本题，需掌握中位数、众数、加权平均数的计算方法：①中位数是将数据从小到大排列后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③加权平均数需用各成绩乘以对应人数的总和除以总人数。首先从条形统计图中提取各成绩对应的人数，再通过累计人数确定中位数位置，找出出现次数最多的成绩作为众数，最后代入加权平均数公式计算。
【解析】
(1) 从统计图可知：成绩6分有2人，7分有7人，8分有3人，9分有4人，10分有4人，总人数为2+7+3+4+4=20人。
将20个成绩从小到大排列，中位数是第10和第11个数据的平均数。累计成绩6分和7分的总人数为2+7=9人，因此第10、11个数据均为8分，故中位数为$\frac{8+8}{2}=8$分；
众数是出现次数最多的成绩，7分出现7次，次数最多，故众数为7分。
(2) 根据加权平均数公式，代入数据计算：
$\overline{x}=\frac{2×6 + 7×7 + 3×8 + 4×9 + 4×10}{20}=\frac{12+49+24+36+40}{20}=\frac{161}{20}=8.05$（分）。
【答案】
(1) 中位数为8分，众数为7分；(2) 平均数为8.05分。
【知识点】
中位数、众数、加权平均数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，关键是从条形统计图中准确提取数据，掌握各统计量的定义，计算中位数时需通过累计人数确定中间位置，避免出错，整体难度不大，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需掌握中位数、众数、加权平均数的计算方法：①中位数是将数据从小到大排列后，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；②众数是一组数据中出现次数最多的数；③加权平均数需用各成绩乘以对应人数的总和除以总人数。首先从条形统计图中提取各成绩对应的人数，再通过累计人数确定中位数位置，找出出现次数最多的成绩作为众数，最后代入加权平均数公式计算。
【解析】
(1) 从统计图可知：成绩6分有2人，7分有7人，8分有3人，9分有4人，10分有4人，总人数为2+7+3+4+4=20人。
将20个成绩从小到大排列，中位数是第10和第11个数据的平均数。累计成绩6分和7分的总人数为2+7=9人，因此第10、11个数据均为8分，故中位数为$\frac{8+8}{2}=8$分；
众数是出现次数最多的成绩，7分出现7次，次数最多，故众数为7分。
(2) 根据加权平均数公式，代入数据计算：
$\overline{x}=\frac{2×6 + 7×7 + 3×8 + 4×9 + 4×10}{20}=\frac{12+49+24+36+40}{20}=\frac{161}{20}=8.05$（分）。
【答案】
(1) 中位数为8分，众数为7分；(2) 平均数为8.05分。
【知识点】
中位数、众数、加权平均数
【点评】
本题考查基础统计量的计算，关键是从条形统计图中准确提取数据，掌握各统计量的定义，计算中位数时需通过累计人数确定中间位置，避免出错，整体难度不大，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
21.(本题6分)如图,将$□ ABCD$的边$DC$延长到点$E$,使$CE=DC$,连结$AE$,交$BC$于点$F$。
(1)求证:四边形$ABEC$是平行四边形；
(2)连结$AC$,$BE$,若要使四边形$ABEC$是矩形,则$∠ AFC$与$∠ D$应满足什么数量关系?并说明理由。
(1)求证:四边形$ABEC$是平行四边形；
(2)连结$AC$,$BE$,若要使四边形$ABEC$是矩形,则$∠ AFC$与$∠ D$应满足什么数量关系?并说明理由。
答案
21.解:(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD$,$AB=CD$。因为$CE=DC$,所以$AB=EC$,$AB// EC$,所以四边形ABEC是平行四边形；
(2)当$∠AFC=2∠D$,四边形ABEC是矩形,理由:因为$AB=EC$,$AB// EC$,所以四边形ABEC是平行四边形,所以$FA=FE$,$FB=FC$。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$∠ABC=∠D$。又因为$∠AFC=2∠D$,所以$∠AFC=2∠ABC$。因为$∠AFC=∠ABC+∠BAF$,所以$∠ABC=∠BAF$,所以$FA=FB$,所以$FA=FE=FB=FC$,所以$AE=BC$,所以四边形ABEC是矩形。
(2)当$∠AFC=2∠D$,四边形ABEC是矩形,理由:因为$AB=EC$,$AB// EC$,所以四边形ABEC是平行四边形,所以$FA=FE$,$FB=FC$。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$∠ABC=∠D$。又因为$∠AFC=2∠D$,所以$∠AFC=2∠ABC$。因为$∠AFC=∠ABC+∠BAF$,所以$∠ABC=∠BAF$,所以$FA=FB$,所以$FA=FE=FB=FC$,所以$AE=BC$,所以四边形ABEC是矩形。
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形ABEC是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的关系，结合CE=DC，推导AB与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问要使平行四边形ABEC成为矩形，需利用矩形“对角线相等”的判定条件，结合平行四边形的角的关系、三角形外角性质和等腰三角形判定，推导∠AFC与∠D的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD。
又
∵ CE = DC，
∴ AB = EC，且AB//EC，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABEC是平行四边形。
(2) 当∠AFC = 2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ FA = FE，FB = FC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠D。
又
∵ ∠AFC = 2∠D，
∴ ∠AFC = 2∠ABC。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，根据三角形外角性质：∠AFC = ∠ABC + ∠BAF，
∴ 2∠ABC = ∠ABC + ∠BAF，
化简得∠ABC = ∠BAF，
∴ FA = FB（等角对等边）。
结合FA = FE，FB = FC，可得FA = FE = FB = FC，
∴ AE = 2FA，BC = 2FB，即AE = BC。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABEC是矩形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 当∠AFC = 2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形和矩形的核心知识，解题需熟练运用平行四边形的性质、判定定理，结合三角形外角性质、等腰三角形判定进行逻辑推导，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明四边形ABEC是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的关系，结合CE=DC，推导AB与EC平行且相等，依据平行四边形判定定理完成证明；第(2)问要使平行四边形ABEC成为矩形，需利用矩形“对角线相等”的判定条件，结合平行四边形的角的关系、三角形外角性质和等腰三角形判定，推导∠AFC与∠D的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB = CD。
又
∵ CE = DC，
∴ AB = EC，且AB//EC，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABEC是平行四边形。
(2) 当∠AFC = 2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ FA = FE，FB = FC。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ABC = ∠D。
又
∵ ∠AFC = 2∠D，
∴ ∠AFC = 2∠ABC。
∵ ∠AFC是△ABF的外角，根据三角形外角性质：∠AFC = ∠ABC + ∠BAF，
∴ 2∠ABC = ∠ABC + ∠BAF，
化简得∠ABC = ∠BAF，
∴ FA = FB（等角对等边）。
结合FA = FE，FB = FC，可得FA = FE = FB = FC，
∴ AE = 2FA，BC = 2FB，即AE = BC。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形ABEC是矩形。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 当∠AFC = 2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、矩形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形和矩形的核心知识，解题需熟练运用平行四边形的性质、判定定理，结合三角形外角性质、等腰三角形判定进行逻辑推导，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
