1 [2024 安徽安庆二模，中]已知非零有理数 $a$，$b$，$c$ 满足：$a - b + c = 0$，$3a - 2b + c ＞ 0$，则下列结论正确的是()

A.$a ＜ c$
B.$2a - b ＜ 0$
C.$-a - b + 3c ＞ 0$
D.$5a - 3b + c ＞ 0$

1. D 【解析】由 $ a - b + c = 0 $，得 $ b = a + c $，将其代入 $ 3 a - 2 b + c ＞ 0 $ 中，得 $ a - c ＞ 0 $，则 $ a ＞ c $，故 A 选项错误；由 $ a - b + c = 0 $，可得 $ c = b - a $，将其代入 $ 3 a - 2 b + c ＞ 0 $ 中，可得 $ 2 a - b ＞ 0 $，故 B 选项错误；因为 $ c = b - a $，所以 $ - a - b + 3 c = - a - b + 3 b - 3 a = - 4 a + 2 b = - 2 ( 2 a - b ) ＜ 0 $，故 C 选项错误；因为 $ c = b - a $，所以 $ 5 a - 3 b + c = 5 a - 3 b + b - a = 4 a - 2 b = 2 ( 2 a - b ) ＞ 0 $，故 D 选项正确. 故选 D.

2 [中]已知有理数 $a$，$b$，$c$ 满足 $2a + 2b + c = 0$，$2a - 2b + c ＞ 0$，则()

A.$b ＞ 0$，$b^{2} - 2ac ≥ 0$
B.$b ＞ 0$，$b^{2} - 2ac ≤ 0$
C.$b ＜ 0$，$b^{2} - 2ac ≤ 0$
D.$b ＜ 0$，$b^{2} - 2ac ≥ 0$

2. D 【解析】因为 $ 2 a + 2 b + c = 0 $，所以 $ 2 a + c = - 2 b $. 因为 $ 2 a - 2 b + c ＞ 0 $，所以 $ - 2 b - 2 b ＞ 0 $，所以 $ - 4 b ＞ 0 $，所以 $ b ＜ 0 $. 因为 $ 2 a + c = - 2 b $，所以 $ b = - a - \frac { c } { 2 } $，所以 $ b ^ { 2 } - 2 a c = ( - a - \frac { c } { 2 } ) ^ { 2 } - 2 a c = a ^ { 2 } + a c + \frac { c ^ { 2 } } { 4 } - 2 a c = ( a - \frac { c } { 2 } ) ^ { 2 } $. 因为 $ ( a - \frac { c } { 2 } ) ^ { 2 } ≥ 0 $，所以 $ b ^ { 2 } - 2 a c ≥ 0 $. 综上，$ b ＜ 0 $，$ b ^ { 2 } - 2 a c ≥ 0 $，故选 D.

3 [2024 江苏宿迁期末，较难]已知 $a$，$b$，$c$ 满足 $a + 2b = 3c$，则下列结论不正确的是()

A.$a - b = 3(c - b)$
B.$a - c = 2(c - b)$
C.若 $a ＞ b$，则 $a ＞ c ＞ b$
D.若 $a ＞ c$，则 $2(b - a) ＞ c - a$

3. D 【解析】因为 $ a + 2 b = 3 c $，所以 $ a + 2 b - 3 b = 3 c - 3 b $，即 $ a - b = 3 ( c - b ) $，故选项 A 正确，不符合题意. 因为 $ a + 2 b = 3 c $，所以 $ a + 2 b - ( 2 b + c ) = 3 c - ( 2 b + c ) $，即 $ a - c = 2 ( c - b ) $，故选项 B 正确，不符合题意. 若 $ a ＞ b $，因为 $ a + 2 b = 3 c $，所以 $ a - ( a + 2 b ) ＞ b - 3 c $，即 $ - 2 b ＞ b - 3 c $，所以 $ - 3 b ＞ - 3 c $，所以 $ b ＜ c $. 因为 $ a ＞ b $，所以 $ 2 a ＞ 2 b $. 因为 $ 3 c = a + 2 b $，所以 $ 2 a - 3 c ＞ 2 b - ( a + 2 b ) $，整理得 $ a ＞ c $，所以 $ a ＞ c ＞ b $，故选项 C 正确，不符合题意. 由选项 B 知 $ a - c = 2 ( c - b ) $，所以 $ c - a = 2 ( b - c ) $. 若 $ a ＞ c $，则 $ c - a ＜ 0 $，所以 $ b - c ＜ 0 $. 由选项 A 知 $ a - b = 3 ( c - b ) $，所以 $ b - a = 3 ( b - c ) $，所以 $ 2 ( b - a ) - ( c - a ) = 6 ( b - c ) - 2 ( b - c ) = 4 ( b - c ) ＜ 0 $，所以 $ 2 ( b - a ) ＜ c - a $，故选项 D 不正确，符合题意. 故选 D.

4 [中]已知有理数 $a$，$b$，$c$，满足 $a + b = 8$，$c - a = 10$。若 $a ≥ -2b$，则 $a + b + c$ 的最大值为。

4. 34 【解析】由 $ c - a = 10 $ 得 $ c = a + 10 $，由 $ a + b = 8 $ 得 $ a + b + c = a + 18 $. 因为 $ a + b = 8 $，且 $ a ≥ - 2 b $，所以 $ a ≤ 16 $，所以 $ a $ 的最大值为 16，所以 $ a + b + c $ 的最大值为 $ 18 + 16 = 34 $. 故答案为 34.

5 [2024 江苏泰州期中，中]已知 $a = m^{2} + mn + n^{2}$，$b = mn - n^{2}$，$c = 5mn - 4m^{2} - 2n^{2}$($m$，$n$ 为常数且均不为 $0$)，比较 $a$，$b$，$c$ 的大小：。

5. $ a ＞ b ≥ c $ 【解析】解法 1：令 $ m = 1 $，$ n = 2 $，则 $ a = 7 $，$ b = - 2 $，$ c = - 2 $. 令 $ m = 1 $，$ n = 1 $，则 $ a = 3 $，$ b = 0 $，$ c = - 1 $，所以 $ a ＞ b ≥ c $.
解法 2：因为 $ a - b = ( m ^ { 2 } + m n + n ^ { 2 } ) - ( m n - n ^ { 2 } ) = m ^ { 2 } + 2 n ^ { 2 } ＞ 0 $，所以 $ a ＞ b $. 因为 $ b - c = ( m n - n ^ { 2 } ) - ( 5 m n - 4 m ^ { 2 } - 2 n ^ { 2 } ) = - 4 m n + 4 m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = ( 2 m - n ) ^ { 2 } ≥ 0 $，所以 $ b ≥ c $，所以 $ a ＞ b ≥ c $.

6 [2024 重庆渝北区期末，中]关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + y = p,\\5x + 3y = 26\end{cases}$ 的解是正整数，则所有满足条件的整数 $p$ 的值的和为 ______ 。

6. 14 【解析】$ \{ \begin{array} { l } { x + y = p , \textcircled { 1 } } \\ { 5 x + 3 y = 26 , \textcircled { 2 } } \end{array} $ 由 ① 可得 $ \{ \begin{array} { l } { x = p - y , } \\ { y = p - x . } \end{array} $ 把 $ x = p - y $ 代入 ②，得 $ 5 ( p - y ) + 3 y = 26 $，整理得 $ y = \frac { 5 p - 26 } { 2 } $. 把 $ y = p - x $ 代入 ②，得 $ 5 x + 3 ( p - x ) = 26 $，整理得，$ x = \frac { 26 - 3 p } { 2 } $. 因为方程组的解为正整数，所以 $ \frac { 5 p - 26 } { 2 } $，$ \frac { 26 - 3 p } { 2 } $ 均为正整数，所以 $ 5 p ＞ 26 $，$ 3 p ＜ 26 $，且 $ p $ 为偶数，解得 $ 5. 2 ＜ p ＜ \frac { 26 } { 3 } $，且 $ p $ 为偶数，所以 $ p = 6 $，8，所以满足条件的所有整数 $ p $ 的值的和为 $ 6 + 8 = 14 $. 故答案为 14.

7 [2024 江苏常州期末，中]数 $a$，$b$，$c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有(填序号)。

①$b + c ＞ 0$；②$a + b ＞ a + c$；③$bc ＜ ac$；④$ab ＞ ac$。

7. ②④ 【解析】由题意得 $ c ＜ 0 ＜ b ＜ a $，$ | b | ＜ | c | $ $ | a | $. 因为 $ c ＜ 0 ＜ b $，$ | c | ＞ | b | $，所以 $ b + c ＜ 0 $，故 ① 错误，不合题意；因为 $ b ＞ c $，所以 $ a + b ＞ a + c $，故 ② 正确，符合题意；因为 $ b ＜ a $，$ c ＜ 0 $，所以 $ b c ＞ a c $，故 ③ 错误，不合题意；因为 $ b ＞ c $，$ a ＞ 0 $，所以 $ a b ＞ a c $，故 ④ 正确，符合题意. 故答案为 ②④.

8 [较难]已知有理数 $a$，$b$，$c$ 满足不等式 $|a| ≥ |b + c|$，$|b| ≥ |c + a|$，$|c| ≥ |a + b|$，试说明：$a + b + c = 0$。

8. 【解】因为 $ | a | ≥ | b + c | $，$ | b | ≥ | c + a | $，$ | c | ≥ | a + b | $，所以 $ a ^ { 2 } ≥ ( b + c ) ^ { 2 } $，$ b ^ { 2 } ≥ ( c + a ) ^ { 2 } $，$ c ^ { 2 } ≥ ( a + b ) ^ { 2 } $，所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ≥ ( b + c ) ^ { 2 } + ( c + a ) ^ { 2 } + ( a + b ) ^ { 2 } = 2 ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) + 2 a b + 2 b c + 2 c a $，所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 c a ≤ 0 $，所以 $ ( a + b + c ) ^ { 2 } ≤ 0 $，而 $ ( a + b + c ) ^ { 2 } ≥ 0 $，所以 $ a + b + c = 0 $.

9 核心素养 应用意识 [2025 广东深圳质检，较难]
【阅读理解】我们解决数学问题时，经常要用“作差法”比较两个数或代数式的大小，依据是不等式(或等式)的性质：若 $x - y ＞ 0$，则 $x ＞ y$；若 $x - y = 0$，则 $x = y$；若 $x - y ＜ 0$，则 $x ＜ y$。
例：已知 $M = a^{2} - ab$，$N = ab - b^{2}$，其中 $a ≠ b$，试说明：$M ＞ N$。
解：$M - N = a^{2} - ab - ab + b^{2} = (a - b)^{2}$。
因为 $a ≠ b$，所以 $(a - b)^{2} ＞ 0$，所以 $M ＞ N$。
【新知理解】(1)比较大小：$x - 3$$2 + x$。(填“＞”“=”或“＜”)
【问题解决】(2)有甲、乙两个平行四边形，其底和高的长度如图所示($a$ 为正整数)，其面积分别为 $S_{1}$，$S_{2}$，请比较 $S_{1}$，$S_{2}$ 的大小关系。
【拓展应用】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题。制作某产品有两种用料方案，方案一：用 $5$ 块 $A$ 型钢板，$6$ 块 $B$ 型钢板；方案二：用 $4$ 块 $A$ 型钢板，$7$ 块 $B$ 型钢板。每块 $A$ 型钢板的面积比每块 $B$ 型钢板的面积小，方案一钢板的总面积记为 $S_{3}$，方案二钢板的总面积记为 $S_{4}$，试比较 $S_{3}$，$S_{4}$ 的大小。
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9. 【解】(1) 因为 $ x - 3 - 2 - x = - 5 ＜ 0 $，所以 $ x - 3 ＜ 2 + x $，故答案为 $ ＜ $.
(2) 因为 $ S _ { 1 } = ( a + 1 ) · ( a + 7 ) = a ^ { 2 } + 8 a + 7 $，$ S _ { 2 } = ( a + 4 ) · ( a + 2 ) = a ^ { 2 } + 6 a + 8 $，所以 $ S _ { 1 } - S _ { 2 } = a ^ { 2 } + 8 a + 7 - a ^ { 2 } - 6 a - 8 = 2 a - 1 $. 因为 $ a $ 为正整数，所以 $ a ≥ 1 $，所以 $ 2 a ≥ 2 $，所以 $ 2 a - 1 ≥ 1 ＞ 0 $，所以 $ S _ { 1 } ＞ S _ { 2 } $.
(3) 设每块 A 型钢板的面积为 $ S _ { \mathrm { A } } $，每块 B 型钢板的面积为 $ S _ { \mathrm { B } } $. 根据题意可知 $ S _ { \mathrm { A } } ＜ S _ { \mathrm { B } } $，$ S _ { 3 } = 5 S _ { \mathrm { A } } + 6 S _ { \mathrm { B } } $，$ S _ { 4 } = 4 S _ { \mathrm { A } } + 7 S _ { \mathrm { B } } $，所以 $ S _ { 3 } - S _ { 4 } = 5 S _ { \mathrm { A } } + 6 S _ { \mathrm { B } } - 4 S _ { \mathrm { A } } - 7 S _ { \mathrm { B } } = S _ { \mathrm { A } } - S _ { \mathrm { B } } $. 因为 $ S _ { \mathrm { A } } ＜ S _ { \mathrm { B } } $，所以 $ S _ { \mathrm { A } } - S _ { \mathrm { B } } ＜ 0 $，所以 $ S _ { 3 } ＜ S _ { 4 } $.