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1. 在式子$\frac{1}{a},\frac{2xy}{π},\frac{3abc}{4},\frac{5}{6+x},\frac{x}{7}+\frac{y}{8},9x+\frac{10}{y},\frac{x^2}{x}$中，分式的个数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）。A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1. B
解析
【分析】
解题前首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B均为整式，且分母B中含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），则该式子为分式；判断时只需看原式的结构，不需要先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的7个式子，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{1}{a}$：分母为a，含有字母，属于分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为π，π是常数，不属于分式，是整式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4，是常数，不属于分式，是整式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母x，属于分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：两个项的分母都是常数，属于整式，不属于分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：式子中含$\frac{10}{y}$项，分母y是字母，整体属于分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为x，含有字母，判断分式看原式结构无需约分，属于分式。
综上，分式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题核心是牢记分式的判定规则，注意避开两个易错点：一是误将π当作字母，二是对$\frac{x^2}{x}$这类式子判断时先约分再判定，只要严格按照定义看原式分母是否含字母即可快速解题。
【难度系数】
0.6
解题前首先要明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B均为整式，且分母B中含有字母（注意π是固定常数，不属于字母），则该式子为分式；判断时只需看原式的结构，不需要先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的7个式子，统计符合分式定义的数量即可得到答案。
【解析】
根据分式的定义逐个判断：
1. $\frac{1}{a}$：分母为a，含有字母，属于分式；
2. $\frac{2xy}{π}$：分母为π，π是常数，不属于分式，是整式；
3. $\frac{3abc}{4}$：分母为4，是常数，不属于分式，是整式；
4. $\frac{5}{6+x}$：分母为$6+x$，含有字母x，属于分式；
5. $\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$：两个项的分母都是常数，属于整式，不属于分式；
6. $9x+\frac{10}{y}$：式子中含$\frac{10}{y}$项，分母y是字母，整体属于分式；
7. $\frac{x^2}{x}$：原式分母为x，含有字母，判断分式看原式结构无需约分，属于分式。
综上，分式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是分式概念的基础考查题，解题核心是牢记分式的判定规则，注意避开两个易错点：一是误将π当作字母，二是对$\frac{x^2}{x}$这类式子判断时先约分再判定，只要严格按照定义看原式分母是否含字母即可快速解题。
【难度系数】
0.6
2. 要使分式$\frac{6}{x-19}$有意义，则$x$需满足的条件是
$x≠19$
。答案
2. $x≠19$
解析
【分析】
要判断分式有意义的条件，首先回忆分式的相关性质：分式有意义的核心要求是分母不能为0，否则分式无意义。因此本题只需要让分式的分母不等于0，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：若分式$\frac{6}{x-19}$有意义，则分母不能为0，即：
$x-19 ≠ 0$
解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考察对分式基本性质的掌握，牢记分式有意义时分母不为0的规则即可快速解题，是分式章节的常考基础考点。
【难度系数】
0.9
要判断分式有意义的条件，首先回忆分式的相关性质：分式有意义的核心要求是分母不能为0，否则分式无意义。因此本题只需要让分式的分母不等于0，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：若分式$\frac{6}{x-19}$有意义，则分母不能为0，即：
$x-19 ≠ 0$
解得：$x ≠ 19$
【答案】
$x≠19$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，主要考察对分式基本性质的掌握，牢记分式有意义时分母不为0的规则即可快速解题，是分式章节的常考基础考点。
【难度系数】
0.9
3.若分式$\frac{x-1}{x+1}$无意义，则$x$的值为
$-1$
。答案
3. $-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确问题是求分式无意义时x的取值，我们需要回忆分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。因此解题步骤为：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母的取值为0，得到关于x的一元一次方程，第三步解方程即可得到x的取值。
【解析】
根据分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。
本题中分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，因此令$x+1=0$，
解这个一元一次方程，得$x=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查对分式无意义判定规则的掌握，只要牢记相关性质就能快速求解，是分式部分的常见基础题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确问题是求分式无意义时x的取值，我们需要回忆分式无意义的判定规则：当分式的分母为0时，分式无意义。因此解题步骤为：第一步找到给定分式的分母，第二步令分母的取值为0，得到关于x的一元一次方程，第三步解方程即可得到x的取值。
【解析】
根据分式无意义的条件：分式的分母为0时，分式无意义。
本题中分式$\frac{x-1}{x+1}$的分母为$x+1$，因此令$x+1=0$，
解这个一元一次方程，得$x=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查对分式无意义判定规则的掌握，只要牢记相关性质就能快速求解，是分式部分的常见基础题。
【难度系数】
0.9
4.某市对一段全长1 500 m的道路进行改造.原计划每天修x m,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修的长度比原计划的2倍还多35 m,那么修这条路实际用了
$\frac{1500}{2x+35}$
天.答案
4. $\frac{1500}{2x+35}$
解析
【分析】
解题时首先回忆工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先从题干提取工作总量：本题道路全长1500m即为总工作量；再推导实际工作效率：已知原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍还多35m，据此先表示出实际每天修路的长度，最后将工作总量和实际工作效率代入公式，即可得到实际用时的代数式。
【解析】
1. 求实际每天修路的长度：
已知原计划每天修$x$ m，实际每天修的长度比原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路$(2x+35)$ m。
2. 代入工程问题公式计算实际用时：
工程问题中，$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，已知工作总量为1500 m，实际工作效率为$(2x+35)$ m/天，
因此修这条路实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$天。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
列代数式；工程问题数量关系；分式的意义
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，核心是准确梳理题干中的数量关系，正确表示出实际工作效率，再结合工程问题三量的关系列式即可，注意代数式的书写规范即可避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆工程问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。首先从题干提取工作总量：本题道路全长1500m即为总工作量；再推导实际工作效率：已知原计划每天修x m，实际每天修的长度是原计划的2倍还多35m，据此先表示出实际每天修路的长度，最后将工作总量和实际工作效率代入公式，即可得到实际用时的代数式。
【解析】
1. 求实际每天修路的长度：
已知原计划每天修$x$ m，实际每天修的长度比原计划的2倍多35 m，因此实际每天修路$(2x+35)$ m。
2. 代入工程问题公式计算实际用时：
工程问题中，$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，已知工作总量为1500 m，实际工作效率为$(2x+35)$ m/天，
因此修这条路实际用时为$\frac{1500}{2x+35}$天。
【答案】
$\frac{1500}{2x+35}$
【知识点】
列代数式；工程问题数量关系；分式的意义
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，核心是准确梳理题干中的数量关系，正确表示出实际工作效率，再结合工程问题三量的关系列式即可，注意代数式的书写规范即可避免出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知分式$\frac{3x+4}{2x-3}$.
(1)当$x$取什么值时，分式无意义？
(2)当$x$取什么值时，分式有意义？
(1)当$x$取什么值时，分式无意义？
(2)当$x$取什么值时，分式有意义？
答案
5. 解 由$2x-3=0$,得$x=\frac{3}{2}$.
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义.
(1)当$x=\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2)当$x≠\frac{3}{2}$时,分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义.
解析
【分析】
解题的核心依据是分式有无意义的判定规则：对于分式来说，分母为0时分式无意义，分母不为0时分式有意义。本题中分式的分母是$2x-3$，我们可以先求出使得分母为0的$x$的值，再分别对应两个问题直接得出结论即可。
【解析】
首先求得分母为0时$x$的取值：
令 $2x - 3 = 0$，
解得 $x = \frac{3}{2}$。
(1) 因为分母为0时分式无意义，所以当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2) 因为分母不为0时分式有意义，所以当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；
(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件，分式无意义的条件
【点评】
本题属于分式的基础概念题，重点考察学生对分式有无意义判定规则的掌握情况，解题逻辑简单，只需牢记分式分母的取值限制，结合简单的一元一次方程计算即可，是分式部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是分式有无意义的判定规则：对于分式来说，分母为0时分式无意义，分母不为0时分式有意义。本题中分式的分母是$2x-3$，我们可以先求出使得分母为0的$x$的值，再分别对应两个问题直接得出结论即可。
【解析】
首先求得分母为0时$x$的取值：
令 $2x - 3 = 0$，
解得 $x = \frac{3}{2}$。
(1) 因为分母为0时分式无意义，所以当$x=\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$无意义；
(2) 因为分母不为0时分式有意义，所以当$x≠\frac{3}{2}$时，分式$\frac{3x+4}{2x-3}$有意义。
【答案】
(1) $x=\frac{3}{2}$；
(2) $x≠\frac{3}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件，分式无意义的条件
【点评】
本题属于分式的基础概念题，重点考察学生对分式有无意义判定规则的掌握情况，解题逻辑简单，只需牢记分式分母的取值限制，结合简单的一元一次方程计算即可，是分式部分的常规基础题。
【难度系数】
0.9
6. (1)若分式$\frac{x^2 + 3}{4x + 9}$的值为正数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
(2)若分式$\frac{x - 2}{2x + 6}$的值为负数，求$x$的取值范围.
答案
6. 解 (1)由题意可知$x^2+3$与$4x+9$同号,而$x^2+3＞0$,所以$4x+9＞0$,解得$x＞-\frac{9}{4}$.
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$.
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2$.
(2)由题意可知$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0\end{cases}$或$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0.\end{cases}$
解不等式组$\begin{cases}x-2＞0,\\2x+6＜0,\end{cases}$该不等式组无解；
解不等式组$\begin{cases}x-2＜0,\\2x+6＞0,\end{cases}$得$-3＜x＜2$.
综上,$x$的取值范围为$-3＜x＜2$.
解析
【分析】
（1）要使分式的值为正数，需满足分子和分母同号（同时为正或同时为负），且分母不为0。首先观察分子$x^2+3$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+3$恒大于0，所以只需分母$4x+9＞0$，解这个不等式即可得到x的取值范围。
（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母异号（一正一负），且分母不为0。因此分两种情况讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正，分别列出不等式组求解，最后合并有效解集即可。
【解析】
(1) 由分式的值为正数，可得分子分母同号。
∵ 对任意实数x，$x^2≥0$，
∴ $x^2+3≥3＞0$，即分子恒为正，
∴ 只需分母$4x+9＞0$，
解不等式得：$4x＞-9$，即$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式的值为负数，可得分子分母异号，分两种情况：
情况1：$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0 \end{cases}$，
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，无公共解，该不等式组无解；
情况2：$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0 \end{cases}$，
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，
所以该不等式组的解集为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\frac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
分式值的符号判定；解一元一次不等式组；平方的非负性
【点评】
本题考查分式正负性与不等式组的结合应用，解题时需先根据分式值的符号确定分子分母的符号关系，对于恒正或恒负的分子可简化计算，异号情况要注意分类讨论，同时要牢记分母不为0的隐含要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.75
（1）要使分式的值为正数，需满足分子和分母同号（同时为正或同时为负），且分母不为0。首先观察分子$x^2+3$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+3$恒大于0，所以只需分母$4x+9＞0$，解这个不等式即可得到x的取值范围。
（2）要使分式的值为负数，需满足分子和分母异号（一正一负），且分母不为0。因此分两种情况讨论：①分子为正、分母为负；②分子为负、分母为正，分别列出不等式组求解，最后合并有效解集即可。
【解析】
(1) 由分式的值为正数，可得分子分母同号。
∵ 对任意实数x，$x^2≥0$，
∴ $x^2+3≥3＞0$，即分子恒为正，
∴ 只需分母$4x+9＞0$，
解不等式得：$4x＞-9$，即$x＞-\frac{9}{4}$。
(2) 由分式的值为负数，可得分子分母异号，分两种情况：
情况1：$\begin{cases}x-2＞0 \\ 2x+6＜0 \end{cases}$，
解$x-2＞0$得$x＞2$，解$2x+6＜0$得$x＜-3$，无公共解，该不等式组无解；
情况2：$\begin{cases}x-2＜0 \\ 2x+6＞0 \end{cases}$，
解$x-2＜0$得$x＜2$，解$2x+6＞0$得$x＞-3$，
所以该不等式组的解集为$-3＜x＜2$。
综上，x的取值范围是$-3＜x＜2$。
【答案】
(1) $x＞-\frac{9}{4}$；(2) $-3＜x＜2$
【知识点】
分式值的符号判定；解一元一次不等式组；平方的非负性
【点评】
本题考查分式正负性与不等式组的结合应用，解题时需先根据分式值的符号确定分子分母的符号关系，对于恒正或恒负的分子可简化计算，异号情况要注意分类讨论，同时要牢记分母不为0的隐含要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.75
7.若无论$x$取何值，分式$\dfrac{2}{x^2 + x - m}$总有意义，则$m$应满足什么条件？
答案
7. 解 要使分式$\frac{2}{x^2+x-m}$总有意义,
则$x^2+x-m≠0$,即$x^2+x≠m$,
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$,
则有$m+\frac{1}{4}＜0$,
解得$m＜-\frac{1}{4}$.
则$x^2+x-m≠0$,即$x^2+x≠m$,
$x^2+x+\frac{1}{4}≠m+\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{2})^2≠m+\frac{1}{4}$,
则有$m+\frac{1}{4}＜0$,
解得$m＜-\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确分式总有意义的核心条件是分母恒不为0，即对任意实数x，都有$x^2+x - m≠0$。接下来我们可以通过配方法将含x的代数式转化为完全平方的形式，结合完全平方的非负性（任何实数的平方都大于等于0）分析：只要保证完全平方不可能等于含m的代数式，就能满足分母恒不为0的要求，进而求出m的取值范围。
【解析】
要使分式$\dfrac{2}{x^2 + x - m}$无论x取何值都有意义，需保证分母恒不为0，即：
$x^2 + x - m ≠ 0$
移项得：$x^2 + x ≠ m$
对左边配方，等式两边同时加$\dfrac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} ≠ m + \dfrac{1}{4}$
即：$(x + \dfrac{1}{2})^2 ≠ m + \dfrac{1}{4}$
因为$(x + \dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$，要使上述不等式对任意x都成立，需让不等号右边的数小于0（非负数不可能等于负数），即：
$m + \dfrac{1}{4} ＜ 0$
解得：$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【答案】
$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题将分式恒有意义的条件转化为代数式恒不等问题，结合配方法和完全平方的性质求解，解题关键是正确对二次式配方，准确利用完全平方的非负性推导不等关系。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确分式总有意义的核心条件是分母恒不为0，即对任意实数x，都有$x^2+x - m≠0$。接下来我们可以通过配方法将含x的代数式转化为完全平方的形式，结合完全平方的非负性（任何实数的平方都大于等于0）分析：只要保证完全平方不可能等于含m的代数式，就能满足分母恒不为0的要求，进而求出m的取值范围。
【解析】
要使分式$\dfrac{2}{x^2 + x - m}$无论x取何值都有意义，需保证分母恒不为0，即：
$x^2 + x - m ≠ 0$
移项得：$x^2 + x ≠ m$
对左边配方，等式两边同时加$\dfrac{1}{4}$得：
$x^2 + x + \dfrac{1}{4} ≠ m + \dfrac{1}{4}$
即：$(x + \dfrac{1}{2})^2 ≠ m + \dfrac{1}{4}$
因为$(x + \dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$，要使上述不等式对任意x都成立，需让不等号右边的数小于0（非负数不可能等于负数），即：
$m + \dfrac{1}{4} ＜ 0$
解得：$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【答案】
$m ＜ -\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法的应用；完全平方的非负性
【点评】
本题将分式恒有意义的条件转化为代数式恒不等问题，结合配方法和完全平方的性质求解，解题关键是正确对二次式配方，准确利用完全平方的非负性推导不等关系。
【难度系数】
0.6
