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16. $(x - \frac{4}{5})(x^2 + \frac{16}{25})(x + \frac{4}{5})$
答案
$x^4 - \frac{256}{625}$
17. 计算$(a-1)(a+1)(a^2 +1)(a^4 +1)$的过程如下：
原式$=(a^2 -1)(a^2 +1)(a^4 +1)$
$=(a^4 -1)(a^4 +1)=a^8 -1.$
利用上面的方法，计算下列各题：
(1) $(a-1)(a+1)(a^2 +1)(a^4 +1)(a^8 +1)···(a^{256} +1).$
(2) $(2+1)(2^2 +1)(2^4 +1)···(2^{2^n} +1)+1.$
($n$为正整数)
原式$=(a^2 -1)(a^2 +1)(a^4 +1)$
$=(a^4 -1)(a^4 +1)=a^8 -1.$
利用上面的方法，计算下列各题：
(1) $(a-1)(a+1)(a^2 +1)(a^4 +1)(a^8 +1)···(a^{256} +1).$
(2) $(2+1)(2^2 +1)(2^4 +1)···(2^{2^n} +1)+1.$
($n$为正整数)
答案
17. (1) 解:原式 $=(a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)\dots(a^{256} + 1)$
$=(a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)\dots(a^{256} + 1)$
$= \dots = (a^{256} - 1)(a^{256} + 1)$
$= a^{512} - 1.$
(2) 解:原式 $=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$= \dots = 2^{4^n} - 1 + 1 = 2^{4^n}.$
$=(a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)\dots(a^{256} + 1)$
$= \dots = (a^{256} - 1)(a^{256} + 1)$
$= a^{512} - 1.$
(2) 解:原式 $=(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$=(2^4 - 1)(2^4 + 1)\dots(2^{2^n} + 1) + 1$
$= \dots = 2^{4^n} - 1 + 1 = 2^{4^n}.$
18.设$ a $是无理数$ \sqrt{5} $的小数部分.
（1）比较$ a $与$ \sqrt{5} - 2 $的大小.
（2）求代数式$ a · (\sqrt{5} + 2) $的值.
（1）比较$ a $与$ \sqrt{5} - 2 $的大小.
（2）求代数式$ a · (\sqrt{5} + 2) $的值.
答案
18. 提示:(1) $\because 2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3, \therefore a = \sqrt{5} - 2.$
(2) $a · (\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 1.$
(2) $a · (\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 1.$
19. 根据平方根的意义，利用平方差公式进行计算，并将这种方法拓展应用：
(1) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$。
(2) $(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})$。
(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$。
(4) 比较$(\sqrt{59}-\sqrt{58})$与$(\sqrt{99}-\sqrt{98})$的大小关系。
(1) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$。
(2) $(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})$。
(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{9}}$。
(4) 比较$(\sqrt{59}-\sqrt{58})$与$(\sqrt{99}-\sqrt{98})$的大小关系。
答案
19. 提示:(1) 原式 $= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1.$
(2) 原式 $= (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1.$
(3) 原式 $= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \dots + \sqrt{10} - \sqrt{9} = \sqrt{10} - 1.$
(4) $\sqrt{59} - \sqrt{58} = \frac{1}{\sqrt{59} + \sqrt{58}},$
$\sqrt{99} - \sqrt{98} = \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{98}},$
由于$\sqrt{59} + \sqrt{58} ＜ \sqrt{99} + \sqrt{98},$
所以$\sqrt{59} - \sqrt{58} ＞ \sqrt{99} - \sqrt{98}.$
(2) 原式 $= (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2 = 7 - 6 = 1.$
(3) 原式 $= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + \dots + \sqrt{10} - \sqrt{9} = \sqrt{10} - 1.$
(4) $\sqrt{59} - \sqrt{58} = \frac{1}{\sqrt{59} + \sqrt{58}},$
$\sqrt{99} - \sqrt{98} = \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{98}},$
由于$\sqrt{59} + \sqrt{58} ＜ \sqrt{99} + \sqrt{98},$
所以$\sqrt{59} - \sqrt{58} ＞ \sqrt{99} - \sqrt{98}.$
