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1.【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出$75×75$的方法，先用$100×7×8$，再加上25，得到的结果是5 625.”妹妹的话激发了哥哥的兴趣.他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动.
【活动1】
阅读材料：用$\overline{ab}$表示一个两位数，$a$代表十位上的数，$b$代表个位上的数，即$\overline{ab}=10a+b$.
观察思考：请观察下列运算规律：
$15×15=100×1×2+5×5=225$；
$25×25=100×2×3+5×5=625$；
$35×35=100×3×4+5×5=1\ 225$；
……
(1)根据材料可知$\overline{a5}=$；
(2)观察运算规律，猜想：$\overline{a5}×\overline{a5}=\_\_\_\_\_\_+5×5$；
【推理证明】
(3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想；
【活动2】
(4)如果$b+c=10$，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法，并证明你的结论.
【活动1】
阅读材料：用$\overline{ab}$表示一个两位数，$a$代表十位上的数，$b$代表个位上的数，即$\overline{ab}=10a+b$.
观察思考：请观察下列运算规律：
$15×15=100×1×2+5×5=225$；
$25×25=100×2×3+5×5=625$；
$35×35=100×3×4+5×5=1\ 225$；
……
(1)根据材料可知$\overline{a5}=$；
(2)观察运算规律，猜想：$\overline{a5}×\overline{a5}=\_\_\_\_\_\_+5×5$；
【推理证明】
(3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想；
【活动2】
(4)如果$b+c=10$，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法，并证明你的结论.
答案
1. (1) 10a+5
(2) 100a(a+1)
(3) 证明如下：$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5.$
(4) 当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$ 证明如下：$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc.$ $\because b+c=10,\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$ $\therefore \overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
(2) 100a(a+1)
(3) 证明如下：$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)=100a^2+100a+25=100a(a+1)+5×5.$
(4) 当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$ 证明如下：$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10ab+10ac+bc=100a^2+10a(b+c)+bc.$ $\because b+c=10,\therefore 100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc=100a(a+1)+bc.$ $\therefore \overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc.$
解析
【分析】
本题是数字规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第(1)题：根据题目给出的两位数代数表示规则$\overline{ab}=10a+b$，个位数字是5的两位数，十位为a、个位为5，直接代入规则即可写出表达式。
2. 第(2)题：观察给出的$15×15$、$25×25$等例子，对比结果的结构，发现前半部分都是100乘以十位数字a和a+1的乘积，即可归纳出规律。
3. 第(3)题：要证明猜想的规律，只需先将$\overline{a5}$用代数式表示，再根据多项式乘多项式的法则计算乘积，最后将计算结果整理成猜想的形式即可完成证明。
4. 第(4)题：类比第(3)题的证明思路，先将$\overline{ab}$、$\overline{ac}$用代数式表示，展开乘积后代入$b+c=10$的条件，整理化简即可得到对应的速算规律。
【解析】
(1) 根据题中对两位数的代数表示规则：$\overline{ab}=10a+b$，其中a为十位数字，b为个位数字，因此十位为a、个位为5的两位数$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察运算示例：
当a=1时，$15×15=100×1×2+5×5$，其中$2=1+1$；
当a=2时，$25×25=100×2×3+5×5$，其中$3=2+1$；
以此类推，可得$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
将$\overline{a5}$替换为代数式，得：
$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)$
展开计算得：
$=100a^2 + 100a + 25$
提取公因式后整理为：
$=100a(a+1) + 5×5$
与猜想形式一致，故猜想成立。
(4) 速算公式：当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明如下：
先将两个两位数写为代数式：$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{ac}=10a+c$，因此：
$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)$
展开计算得：
$=100a^2 + 10ac + 10ab + bc$
合并同类项得：
$=100a^2 + 10a(b+c) + bc$
代入$b+c=10$化简：
$=100a^2 + 100a + bc$
提取公因式后得：
$=100a(a+1) + bc$
故速算公式成立。
【答案】
(1) $10a+5$
(2) $100a(a+1)$
(3) 证明见解析；
(4) 当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见解析。
【知识点】
代数式表示两位数；整式乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题从特殊的两位数乘法运算入手，引导学生逐步归纳出通用的速算规律，再通过整式运算进行严谨证明，既锻炼了观察归纳的逻辑思维能力，也巩固了整式乘法的相关知识点，掌握该规律可快速计算“头同尾合十”类的两位数乘法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
本题是数字规律探究类题目，解题思路如下：
1. 第(1)题：根据题目给出的两位数代数表示规则$\overline{ab}=10a+b$，个位数字是5的两位数，十位为a、个位为5，直接代入规则即可写出表达式。
2. 第(2)题：观察给出的$15×15$、$25×25$等例子，对比结果的结构，发现前半部分都是100乘以十位数字a和a+1的乘积，即可归纳出规律。
3. 第(3)题：要证明猜想的规律，只需先将$\overline{a5}$用代数式表示，再根据多项式乘多项式的法则计算乘积，最后将计算结果整理成猜想的形式即可完成证明。
4. 第(4)题：类比第(3)题的证明思路，先将$\overline{ab}$、$\overline{ac}$用代数式表示，展开乘积后代入$b+c=10$的条件，整理化简即可得到对应的速算规律。
【解析】
(1) 根据题中对两位数的代数表示规则：$\overline{ab}=10a+b$，其中a为十位数字，b为个位数字，因此十位为a、个位为5的两位数$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察运算示例：
当a=1时，$15×15=100×1×2+5×5$，其中$2=1+1$；
当a=2时，$25×25=100×2×3+5×5$，其中$3=2+1$；
以此类推，可得$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
将$\overline{a5}$替换为代数式，得：
$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)(10a+5)$
展开计算得：
$=100a^2 + 100a + 25$
提取公因式后整理为：
$=100a(a+1) + 5×5$
与猜想形式一致，故猜想成立。
(4) 速算公式：当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明如下：
先将两个两位数写为代数式：$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{ac}=10a+c$，因此：
$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)$
展开计算得：
$=100a^2 + 10ac + 10ab + bc$
合并同类项得：
$=100a^2 + 10a(b+c) + bc$
代入$b+c=10$化简：
$=100a^2 + 100a + bc$
提取公因式后得：
$=100a(a+1) + bc$
故速算公式成立。
【答案】
(1) $10a+5$
(2) $100a(a+1)$
(3) 证明见解析；
(4) 当$b+c=10$时，$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见解析。
【知识点】
代数式表示两位数；整式乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题从特殊的两位数乘法运算入手，引导学生逐步归纳出通用的速算规律，再通过整式运算进行严谨证明，既锻炼了观察归纳的逻辑思维能力，也巩固了整式乘法的相关知识点，掌握该规律可快速计算“头同尾合十”类的两位数乘法，实用性较强。
【难度系数】
0.7
2. 在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分，而诸如“000000”“666666”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式.如：多项式$x(x^2 - y^2) - 2y(x^2 - y^2)$分解因式的结果为$(x - y)(x + y)(x - 2y)$，当$x = 16, y = 2$时，$x - y = 14, x + y = 18, x - 2y = 12$，此时可以得到6个6位数的数字密码141812，141218，181412，181214，121418，121814.
(1) 根据上述方法，当$x = 25, y = 2$时，对于多项式$x^3 - 9xy^2$分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个即可)
(2) 小敏同学设计了一个多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$，根据上述方法，当$a = 14, b = 2$时，写出多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$分解因式后形成的八位数的数字密码.(写出一个即可)
(1) 根据上述方法，当$x = 25, y = 2$时，对于多项式$x^3 - 9xy^2$分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个即可)
(2) 小敏同学设计了一个多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$，根据上述方法，当$a = 14, b = 2$时，写出多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$分解因式后形成的八位数的数字密码.(写出一个即可)
答案
2. (1) $x^3 - 9xy^2 = x(x - 3y)(x + 3y).$ 当$x=25,y=2$时，$x-3y=19,x+3y=31$，$\therefore$ 数字密码是251931，253119，192531.(答案不唯一)
(2) $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4=(a^2 - 4b^2)^2=(a + 2b)^2(a - 2b)^2.$ 当$a=14,b=2$时，$a+2b=18,a-2b=10.$ $\therefore$ 八位数的数字密码是18181010.(答案不唯一)
(2) $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4=(a^2 - 4b^2)^2=(a + 2b)^2(a - 2b)^2.$ 当$a=14,b=2$时，$a+2b=18,a-2b=10.$ $\therefore$ 八位数的数字密码是18181010.(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要理解题中“因式分解法生成密码”的规则：先对给定多项式彻底分解因式，再将字母取值代入各因式得到对应数值，最后将这些数值按不同顺序排列组合，就能得到对应密码。
(1) 处理第一问时，先对多项式$x^3 - 9xy^2$因式分解：先提取公因式$x$，再对剩余的二次式用平方差公式分解，得到三个因式；代入$x=25,y=2$算出三个因式的数值，任意排列三个数值即可得到6位密码。
(2) 处理第二问时，先对多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$因式分解：先用完全平方公式分解，再对得到的二次式用平方差公式继续分解，最终得到因式的形式；代入$a=14,b=2$算出对应因式的数值，按照因式重复次数排列数值即可得到8位密码。
【解析】
(1) 先分解因式：
$x^3 - 9xy^2 = x(x^2 - 9y^2) = x(x - 3y)(x + 3y)$
当$x=25,y=2$时，分别计算各因式的值：
$x=25$，$x-3y=25-3×2=19$，$x+3y=25+3×2=31$
将25、19、31三个数任意排列，即可得到6位密码。
(2) 先分解因式：
$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4 = (a^2 - 4b^2)^2 = [(a - 2b)(a + 2b)]^2 = (a - 2b)^2(a + 2b)^2$
当$a=14,b=2$时，分别计算各因式的值：
$a+2b=14+2×2=18$，$a-2b=14-2×2=10$
因为两个因式各出现2次，将18、10按重复次数排列即可得到8位密码。
【答案】
(1) 251931，253119，192531（答案不唯一，写出3个即可）
(2) 18181010（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题是新定义类的创新应用题，将因式分解的知识和密码生成的实际场景结合，既考查了因式分解的步骤和常用方法，也考查了对新规则的理解应用能力，解题时只要确保因式分解彻底、代入计算准确，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解题中“因式分解法生成密码”的规则：先对给定多项式彻底分解因式，再将字母取值代入各因式得到对应数值，最后将这些数值按不同顺序排列组合，就能得到对应密码。
(1) 处理第一问时，先对多项式$x^3 - 9xy^2$因式分解：先提取公因式$x$，再对剩余的二次式用平方差公式分解，得到三个因式；代入$x=25,y=2$算出三个因式的数值，任意排列三个数值即可得到6位密码。
(2) 处理第二问时，先对多项式$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$因式分解：先用完全平方公式分解，再对得到的二次式用平方差公式继续分解，最终得到因式的形式；代入$a=14,b=2$算出对应因式的数值，按照因式重复次数排列数值即可得到8位密码。
【解析】
(1) 先分解因式：
$x^3 - 9xy^2 = x(x^2 - 9y^2) = x(x - 3y)(x + 3y)$
当$x=25,y=2$时，分别计算各因式的值：
$x=25$，$x-3y=25-3×2=19$，$x+3y=25+3×2=31$
将25、19、31三个数任意排列，即可得到6位密码。
(2) 先分解因式：
$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4 = (a^2 - 4b^2)^2 = [(a - 2b)(a + 2b)]^2 = (a - 2b)^2(a + 2b)^2$
当$a=14,b=2$时，分别计算各因式的值：
$a+2b=14+2×2=18$，$a-2b=14-2×2=10$
因为两个因式各出现2次，将18、10按重复次数排列即可得到8位密码。
【答案】
(1) 251931，253119，192531（答案不唯一，写出3个即可）
(2) 18181010（答案不唯一）
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题是新定义类的创新应用题，将因式分解的知识和密码生成的实际场景结合，既考查了因式分解的步骤和常用方法，也考查了对新规则的理解应用能力，解题时只要确保因式分解彻底、代入计算准确，就能顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
