登录
1 (2025·广西南宁三中月考)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为$\frac{40}{π}$米的半圆，其边缘AB=CD=20米，点E在CD上，CE=5米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为(
A.24米
B.25米
C.26米
D.27米
B
).A.24米
B.25米
C.26米
D.27米
答案
如图是其侧面展开图，由题意，得 $AD=\frac{1}{2}×π×\frac{40}{π}=20$(米)，AB=CD=20米，DE=CD-CE=15(米)，在Rt△ADE中，$20^2+15^2=AE^2$，解得AE=25(负值舍去)，故他滑行的最短距离为25米。故选B。解后反思 本题考查了平面展开——最短路径问题，熟练掌握该知识点是关键。
2 教材P22复习题T11·变式 如图，长方体的长$BE=15\ \mathrm{cm}$，宽$AB=10\ \mathrm{cm}$，高$AD=20\ \mathrm{cm}$，点$M$在$CH$上，且$CM=5\ \mathrm{cm}$，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点$A$爬到点$M$，需要爬行的最短距离是多少？
答案
分三种情况比较最短距离：不明确爬行的路线时需分类讨论
①如图(1)所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，$AM^2=10^2+(20+5)^2=725$；
②如图(2)所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，$AM^2=20^2+(10+5)^2=625=25^2$；
③如图(3)所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，$AM^2=5^2+(10+20)^2=925$。
$\because 925＞725＞625$，
$\therefore$第二种短些，此时最短距离为25 cm。
3 教材P15习题T2·变式 如图，长为2.5 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5 m，则梯子顶端的高度h是(
A.1.8 m
B.2 m
C.2.2 m
D.2.4 m
B
)。A.1.8 m
B.2 m
C.2.2 m
D.2.4 m
答案
B
4（2025·江苏无锡锡山区期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（
A.1.2米
B.1.3米
C.1.5米
D.2米
B
）.A.1.2米
B.1.3米
C.1.5米
D.2米
答案
如图，过点D作$DH⊥ AB$于点H，$\therefore DH=BC=1.2$米，
$CD=BH=1.5$米。$\because AB=2$米，
$\therefore AH=AB-BH=2-1.5=0.5$(米)，
在Rt△AHD中，$AD^2=1.2^2+0.5^2=1.69$，
$\therefore AD=1.3$米。故选B。
5 教材P13例·变式 传统文化 《九章算术》《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架. 其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问：折断处离地面多高？故折断处离地面
4.55
尺。答案
4.55 [解析]设折断处离地面x尺，根据题意，得 $x^2+3^2=(10-x)^2$，解得$x=4.55$。故折断处离地面4.55尺。
归纳总结 本题考查勾股定理的应用.根据题意正确应用勾股定理是解题关键。
归纳总结 本题考查勾股定理的应用.根据题意正确应用勾股定理是解题关键。
6 教材P13“尝试·思考”·变式 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.
答案
$\because$ 四边形ABCD是长方形，
$\therefore CD=AB=8\ \mathrm{cm},AD=BC=10\ \mathrm{cm}.$
由折叠可知，$AF=AD=10\ \mathrm{cm},EF=DE.$
在Rt△ABF中，$AB^2+BF^2=AF^2$，$\therefore BF=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore FC=10-6=4(\mathrm{cm}).$
设$EC=x\ \mathrm{cm}$，则$EF=DE=(8-x)\mathrm{cm}.$
在Rt△CEF中，由勾股定理，得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得$x=3.$ $\therefore EC$的长为3 cm.
$\therefore CD=AB=8\ \mathrm{cm},AD=BC=10\ \mathrm{cm}.$
由折叠可知，$AF=AD=10\ \mathrm{cm},EF=DE.$
在Rt△ABF中，$AB^2+BF^2=AF^2$，$\therefore BF=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore FC=10-6=4(\mathrm{cm}).$
设$EC=x\ \mathrm{cm}$，则$EF=DE=(8-x)\mathrm{cm}.$
在Rt△CEF中，由勾股定理，得$x^2+4^2=(8-x)^2$，
解得$x=3.$ $\therefore EC$的长为3 cm.
